《2022年-高考数学大题专题练习——立体几何 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年-高考数学大题专题练习——立体几何 2.pdf（43页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 2019-2020 年高考数学大题专题练习 立体几何（三）53.如图，在四棱锥EABCD 中，平面 CDE平面 ABCD，DAB =ABC=90 ，AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2（1）证明： AB平面 BCE；（2）求直线AE 与平面 CDE 所成角的正弦值54.如图1，2，已知ABCD是矩形，M，N分别为边AD，BC的中点，MN与AC交于点O，沿 MN 将矩形 MNCD 折起，设 AB=2，BC=4，二面角BMNC 的大小为 （1）当 =90 时，求 cosAOC 的值；（2）点 =60 时，点P 是线段MD 上一点，直线AP 与平面AOC 所成角为 若sin =714，求线段
2、 MP 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 55. 在 四 棱 锥P ABCD中 ， PA 平 面ABCD ， 底 面ABCD为 直 角 梯 形 ，CDA = BAD=90 ，AD=DC=2，AB=PA=22，且 E 为线段 PB 上的一动点（1）若 E 为线段 PB 的中点，求证：CE平面 PAD；（2）当直线CE 与平面PAC 所成角小于3，求 PE 长度的取值范围56.如图，在几何体111ABCA B
3、 C中，平面11A ACC底面ABC，四边形11A ACC是正方形，11B CBC，Q是1A B的中点，且112ACBCB C，23ACB() 证明：1B Q平面11A ACC；() 求直线AB与平面11A BB所成角的正弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 43 页 - - - - - - - - - 3 57.如图，已知ABCV和BCDV所在平面互相垂直，且090BACBCD，,ABACCBCD，点,E F分别在线段,BD CD上，沿直线EF将EFDV向
4、上翻折使得D与A重合（）求证：ABCF；（）求直线AE与平面ABC所成角。58.如图，四边形ABCD 是圆台1OO的轴截面，24ABCD，点M在底面圆周上，且2AOM， DMAC （）求圆台1OO的体积；（）求二面角ADMO 的平面角的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 43 页 - - - - - - - - - 4 59.如图，已知菱形ABCD与等腰PAB所在平面相互垂直.120PABBADo. E为PB 中点 （）求证：/ /PD平面 ACE ；（
5、）求二面角BCED的余弦值60.如图，在四面体ABCD中，平面ACD平面BCD，90BCA，1AC，2AB，BCD为等边三角形 . （）求证：AC平面BCD（）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 43 页 - - - - - - - - - 5 61.已知：平行四边形ABCD 中， DAB=45 ，AB=2AD=22，平面 AED平面ABCD，AED 为等边三角形，EFAB，EF=2，M 为线段 BC 的中点。（I）求证
6、：直线MF 平面 BED ；（II ）求平面BED 与平面 FBC 所成角的正弦值；（III ）求直线 BF 与平面 BED 所成角的正弦值。62.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2AB，60BAD. （1）若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；（2）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 43 页 - - - - - - - - - 6 63.在如图所示的几何体中，四边形ABCD
7、为正方形，PA平面ABCD，PABEP，4ABPA，2BE（）求证：/CE平面PAD；（）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF平面PCE？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由64.如图，在四棱锥PABCD中，ABAP，ABCD，且PBBC6BD,22 2CDAB，120PADo. （）求证：平面PAD平面PCD；（）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 43 页 - - -
8、- - - - - - 7 65.如图，四面体ABCD中，31132ABBCCDBDAD，平面ABD平面CBD（1）求AC的长；（2）点E是线段AD的中点，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值66.在四棱锥ABCDP中，BCAD /，90ABCAPB，点M是线段AB上的一点，且CDPM，BMADPBBCAB422（1）证明：面PAB面ABCD；（2）求直线CM与平面PCD所成角的正弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 43 页 - - - - - - - -
9、 - 8 67.如图，四棱锥PABCD,底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，2PAPB，E为CD的中点，60ABC. （I）求证：直线AE平面PAB；（II ）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值. 68.如图，四棱锥EABCD中，平面EAD平面ABCD，DCAB，BCCD，EAED，且4AB，2BCCDEAED（1）求证：BD平面ADE；（2）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（3）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF平面CDE，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
10、- - 第 8 页，共 43 页 - - - - - - - - - 9 69.如图，在空间几何体ABCDFE 中，底面ABCD是边长为2 的正方形，AFAB，/ /AFBE，22BEAF. （1）求证： AC/ 平面 DEF ；（2）已知5DF，若在平面DEF上存在点P，使得BP平面DEF，试确定点P的位置 . 70.如图，在四棱锥PABCD中，PBD是等边三角形，ADBC，22APABADBD. （1）求证：平面PAB平面PAD；（2）若直线PB与CD所成角的大小为60 ，求二面角BPCD的大小 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
11、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1 071.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为梯形，/ /ABCD，12ADCDBCAB ，PAD为等边三角形，PABD. （1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）求二面角APBC大小的余弦值 . 72.在正三棱柱111ABCAB C 中，已知1AB，12AA，E，F，G分别是1AA ，AC和11AC 的中点以,FA FB FGuu u r uuu r u uu r为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz求异面直线AC与BE所成角的余弦值；求二面角
12、1FBCC 的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1 173.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，PAPD，PA=PD，AB AD ，AB=1，AD=2 ，AC=CD=5（1）求证： PD平面 PAB（2）求直线PB 与平面 PCD 所成角的正弦值（3）在棱 PA上是否存在点M，使得 BM 平面 PCD？若存在，求APAM的值；若不存在，说明理由74.如图，已知梯形ABCD 中，
13、 AD BC，AD AB ，AB=BC=2AD=2 ，四边形 EDCF 为矩形， CD=3，平面EDCF平面 ABCD （1）求证： DF平面 ABE（2）求平面ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值（3）在线段DF 上是否存在点P，使得直线BP 与平面 ABE 所成角的正弦值为43，若存在，求出线段BP 的长DABCPDABCEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1 275.在四棱锥ABCDP中，底面A
14、BCD是矩形，PA平面ABCD，PAD是等腰三角形，ADAB2，E是AB的一个三等分点（靠近点A），CE与DA的延长线交于点F，连接PF. （）求证：平面PCD平面PAD；（）求二面角FPEA的正切值76.在等腰梯形ABCD中，/ /,2,60ADBC BCADABCo，将梯形ABCD沿着AB翻折至11ABC D（如图），使得平面ABCD与平面11ABC D垂直（）求证：1BCAC；（）求直线1DD与平面1BCD所成角的正弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，
15、共 43 页 - - - - - - - - - 1 377.已知在四棱锥CABDE中，DB平面ABC,/ /AEDB,ABC是边长为2的等边三角形，1AE，M为AB的中点 . （1）求证：CMEM；（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角BCDE的大小 . 78.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，60ABC，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB底面ABCD（1）设AB的中点为 Q ，求证： PQ平面ABCD（2）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角MBDC的大小为60，求CMCP的值51015ACDEMBMDABCPQ
16、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1 4试卷答案53.证明：（ 1） DAB= ABC=90，四边形 ABCD 是直角梯形，AB=BC=1 ，AD=ED=3 ，EC=2CD=，CE2+DC2=DE2，ECCD，面 EDC面 ABCD ，面 EDC 面 ABCD=DC ，CE面 ABCD ，CEAB ，又 AB BC，BC CE=C ，AB 面 BCE解：（ 2）过 A 作 AH DC，交 DC 于 H，则 AH
17、 平面 DCE，连结 EH，则 AEH 是直线 AE 与平面 DCE 所成的平面角，=，AH=，AE=，sinAEH=，直线 AE 与平面 CDE 所成角的正弦值为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1 554.解：如图，设E 为 AB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系（ 1 ） 当=90 时 ， A （ 2 ， 1 ， 0 ） ， C （ 0 ， 1 ， 2 ） ， ，（2）由 =60得，M（0， 1，0）
18、，设，则，设平面 AOC 的法向量为，取，由题意，得，即 3210+3=0 ，或 =3 （舍去），在线段 MD 上存在点 P，且55.证明：（ 1）取 PA的中点 F，连结 EF，DF，则 EFAB ，EF=AB ，又 DCAB ，DC=AB，EFCD， EF=DC，四边形EFDC是平行四边形，CEDF，又 CE? 平面 PAD，DF? 平面 PAD，CE平面 PAD解：（ 2） AD=CD=，AD CD，AC=2，又 AB=2，BAC=45 ，BC=2 ，AC BC，又 PA平面 ABCD ，BC? 平面 ABCD ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
19、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1 6PABC，又PA AC=A，BC平面 PAC，过 E 作 EMBC，则 EM平面 PAC， PCE 为 CE 与平面 PAC 所成的角，即 PCEPA=2，AC=2 ，PC=2，BC=2，PB=4， BPC=，当 PCE=时， CEPB，此时 PE=3，当PCE时，PE356.() 证明：如图1 所示，连接11,ACA C交于M点，连接MQ. 因为四边形11A ACC是正方形，所以M是1AC的中点又已知Q是1A B的中点所以12MQBC又因为1
20、1B CBC且11=2BCB C所以11MQBC，即四边形11B C MQ是平行四边形所以11B QC M，因此1B Q平面11A ACC. 7分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1 7() 如图 2 所示，过点B作面11A B B与 面ABC的交线BD，交直线CA于D. 过A作线BD的垂线AH，垂足为H.再过A作线1A H的垂线AG，垂足为G. 因为1,AHBD AABD, 所以BD面1A AH, 所以BDA
21、G,又因为1A HAG, 所以AG面11A B B，所以ABG即AB与面11A B B所成的角 10 分因为11A B面ABC，所以11A BBD，且A为CD的中点，如图 3 所示，CP为BD边上的高，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1 822=2 +2 +22=23AB, 22=2 +4 +24=27BD，因为011sin12022CB CDBD CP所以2 37CP，所以3=27CPAH因为12AA，所以
22、21331277A H, 11322 3731317AHAAAGA H所以2 313131sin312 331ABG15分57. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1 9（1）090FCABCABCFBCDCFBC面ABC面BCD面ABC面BCD=BC面.5 分（2）设12,2,2ABACCDBD，则 BC=, tBE设，则 ED=EA=2-t,取,BCHHE AH的中点，连接, 又0221452EBHHEtt
23、，则（3）AHBCDAHBC面ABC面BCD面ABC面BCD=BC面.7 分22222,112-,122AHBCD AEAHEHtttt又面，EBD点是的中点,.10 分,HEBCHEABC面PBEA为所求角的线面角.12 分22122AEAHEH，.14 分2sin2BEA所以直线AE与平面ABC所成角为4.15 分法 2：ABCEEBCAVV,22EABC到面的距离为2sin2所以直线AE与平面ABC所成角为4（酌情给分）58. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1
24、9 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 0解法一：（ ）由已知可得: OM平面 AOD. 又 ACDM. 从而有 ACDO 由平面几何性质可得ACCB -4 设 OO1=h ，在直角 ABC 中，有 AC2+BC2=AB2即 (9+h2)+(1+h2)=16 3h圆台1OO的体积337)(31222121rrrrhV. -7 （）过点 O 在DOM 内作 OEDM ，作 OH平面 DAM ，垂足分别为E，H，连 EH. 易得 EHDM, 故OEH 就是二面角ADMO的平面角 . -10 在DOM 中,OE=2由 VD-AOM=VO-ADM得 OH=2217 -13 在直角
25、 OEH 中,6sin7OEH则二面角ADMO的余弦值为77 -15 解法二：（ ）由题意可得1OO、OM、OB两两互相垂直，以O为原点，分别以直线OM、OB、1OO为x、y、z轴建立空间直角坐标系 -2 设1(0)OOh h，则(0, 1, )Dh，(2,0,0),M(0, 2,0)A，(0,1, )Ch(2,1,)DMhuuuu r，(0,3, )AChuuu rDMACQ230DMAChuuuu ruuu r解得3h -5 圆台1OO的体积337)(31222121rrrrhV. -7 （）(2,2,0)AMuuuu r,(2,1,3)DMuuuu r,(2,0,0)OMuuuu r -
26、9 设平面ADM、平面ODM的法向量分别为111(,)ux yzr，222(,)vxyzr则00u AMu DMruuuu rruuuu r且00v DMv OMr uuuu rr uuuu r即11111220230 xyxyz且222223020 xyzx取(3,3,1)ur(0,3,1)vr -13 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 17cos,7| |u vu vuvr rr rrr. 则二面角AD
27、MO的余弦值为77 -15 59. 证：（ I）. 连结 BD ，设 BD 交 AC 于 M 点，连结 ME .2分在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相互平分，即DM=BM ，又 PE=BE 在BDP中，/ /EMPDAECMEAECPDQ面，面/ /EMPD.6 分解：（ II） . 过 D 作 DO 垂直 BA 延长线与 O 点，连结 PO，易得 DO，PO，BO 两两垂直建立如图坐标系，设AB=2 ，则(0,3,0),(0,2,3),( 3,0,0),(0,0,3)BCPD3 3(,0)22E333 3(0,1, 3),(,0), DC(0, 2,0),(,3)2222BCBEDE
28、uuu ruu u ruu u ruuu r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 2.10 分（注：每对一个给1 分）设面 BCE 的一个法向量为11(,1)mx yu r，面 DCE 的一个法向量22(,1)nxyr，则212211030,33333002222n DCym BCyn DExym BExyr uuu ru r u uu rr uuu ru r u uu r(3,3,1),(2,0,1)mnu
29、rr.12 分（注：每对一个给1 分）77 65cos,6565m nm nmnu r ru r ru rr14 分二面角BCED的余弦值为76565.15 分60. 证：（ 1）取CD中点M，连结BM，BCDQ为等边三角形. BMCD， (2分) 又Q平面ACD平面BCD，平面ACDI平面BCD=CD，BM平面BCD，BM平面ACD，BMAC， (5分) 又BCAC，AC平面BCD(7 分) （2）法一：设点C 到平面ABD的距离为 d， 由-C ABDA BCDVV， (10分) 即11131333 132234d，得313d (13分) 设直线CD与平面ABD所成角为，则3s391313
30、3indCD (15分) 法二：取BD中点N，连NC，则ANBD，CNBD，BD平面ANC，平面ANC平面ABD，又平面ANC I平面ABD=AN，过点 C 作CGAN，垂足为G，则CG平面ABD，所以CDG就是所求角 . (10 分) 在Rt ANC中，算得313CG， (13分)所以33913133sinCGCDCDG (15分) 法三：如图建立空间直角坐标系Cxyz，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2
31、3则3 3(1,0,0),(0,3,0),(0,)22ABD所以3 3(0,)22CDuuu r (10分) 3 3( 1,3,0),( 1,)22ABADu uu ruu u r设( , , )nx y zABDr是平面的一个法向量所以3033022xyxyz取3,(3,3,1)ynr则(13 分) 设直线CD与平面ABD所成角为，则sin=1333+|3922| | |133CD nCDnu uu r ruu u ru r (15分) 61. （I）证明：在 ADB 中， DAB=45 AB=2AD=22，AD BD 取 AD 中点 O，AB 中点 N，连接 ON，则 ONBD，AD ON
32、 又平面 AED 平面 ABCD ，平面 AED 平面 ABCD=AD ，AD OE，EO平面 ABCD ，以 O 为原点， OA，ON，OE 分别为 x 轴， y轴， z 轴，建立空间直角坐标系，如图取BD的中点 H，连接 FH，OH，则 OHAB EF，且 OH=EF ，FHEO，FH平面 ABCD ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 4D（-1,0,0） B（-1,2,0） H（-1,1，3） F（-
33、1,1，3） C（-3,2,0） M（-2,2,0），DB=（0,2,0）DE=（1,0，3）MF=（1，-1，3），设平面 AED 的一个法向量为n（x，y，z），则0nDE0nDB0z3x0y不妨设n=（3，0，-1）MFn，又MF平面 AED 直线 MF平面 AED （II ）解： BC=（-2,0,0），BF=（0，-1，3）设平面 FBC 的一个法向量为m（x，y，z），则0mBF0mBC0z3y0 x不妨设n=（0，3，1）设平面 BED 与平面 FBC 所成的角为则丨 cos丨 =丨丨丨丨丨mnmn丨=41，sin415平面 BED 与平面 FBC 所成角的正弦值为415（III
34、 ）解：直线BF 与平面 BED 所成角为 a，则 sina=丨 cos丨=丨丨丨丨丨nBFnBF丨=43。直线 BF 与平面 BDE 所成角的正弦值为4362. （1）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD. 又因为PA平面ABCD，所以PABD. 又PAACAI，所以BD平面PAC. 设ACBDOI. 因为60BAD，2PAPB，所以1BO，3AOCO，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz. 则0,3,2P，0,3,0A，1,0,0B，0,3,0C，所以1, 3,2PBuu r，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
35、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 50,2 3,0ACuuu r. 设PB与AC所成角为，则cosPB ACPB ACuu r uuu ruu r uuu r6642 22 3. （2）由（ 1）知1,3,0BCuu u r，设0,3,Pt（0t），则1,3,BPtuu r，设平面PBC的法向量, ,mx y zu r，则0BC muu u r u r，0BP muu r u r，所以3030 xyxytz，令3y，则3x，6zt，所以63,3,mtu r. 同理，平面PDC的法向量63,3,ntr. 因
36、为平面PBC平面PDC，所以0m nu r r，即23660t，解得6t.所以6PA. 63. 解：（ ）设PA中点为G，连结EGDG，因为PA/BE，且42PABE，所以BE/AG且BEAG，所以四边形BEGA为平行四边形，所以EG/AB，且EGAB因为正方形ABCD，所以CD/ABCDAB，所以EG/CD，且EGCD，所以四边形CDGE为平行四边形，所以CE/DG因为DG平面PAD，CE平面PAD，所以CE/平面PAD(4 分)（）如图，建立空间坐标系，则4,0,0B，4,4,0C，4,0,2E，0,0,4P，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
37、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 60,4,0D，所以PC=(4,4,4)，PE=(4,0,2)，PD=(0,4,4)设平面PCE的一个法向量为),(zyxm，所以令1x，则211zyx，所以)2, 1 , 1(m设PD与平面PCE所成角为，则所以PD与平面PCE所成角的正弦值是36(8 分)（）假设存在点,0,0F a满足题意，则)2, 0,4(aFE，)2 , 4, 4(DE设平面DEF的一个法向量为),(zyxn，则，令2x，则422azayx，所以)4,2, 2(aan名师资料
38、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 7因为平面DEF平面PCE，所以0nm，即22802aa，所以1245a， 故存在点12,0,05F满足题意，且35AFAB(12 分)64. ()证明：取CD中点为E，连接BE，因为BCBD，所以BECD，又2CDAB，AB / / CD，所以/ /ABDE，所以四边形ABED为矩形，所以ABAD，又ABAP，所以AB平面PAD.-4分又/ /ABCD，所以CD平面PAD，又CD
39、平面PCD，所以平面PAD平面PCD.-6分第19 题GFEPCABD ()在ABP中，2AB，6PB，ABAP，所以2AP；在ABD中，2AB，6BD，ABAD，所以2AD. 取PD和PC的中点分别为F和G，则/ /12FGCD，又/ /12ABCD，所以/ /ABFG，所以四边形AFGB为平行四边形，又2PAAD，F为PD的中点，所以AFPD，所以AF平面PCD，所以BG平面PCD，所以平面PBC平面PCD，-10分所以PC为PD在平面PBC上的射影，所以DPC为PD与平面PBC所成的角。 - 12分在RtPDC中，2 2CD，2 3PD，所以2 5PC，名师资料总结 - - -精品资料欢
40、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 8所以2 210sin52 5CDDPCPC。即直线PD与平面PBC所成角的正弦值为105- 15分（用其它方法（如用空间向量法、等体积法等）解答，酌情给分！）65. （1）1AB，3BD，2AD，ABBD，又平面ABD平面CBD，平面ABD I平面CBDBD，AB平面CBD，ABBC，1ABBC，2AC（2）由（ 1）可知AB平面BCD，过B作BGCD于点G，连接AG，则有CD平面ABG，平面AGD平面A
41、BG，过B作BHAG于点H，则有BH平面AGD，连接HE，则BEH为BE与平面ACD所成的角由1BCCD，3BD，得120BCD，32BG，又1AB，72AG，又 112BEAD，21sin7BHBEHBE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 43 页 - - - - - - - - - 2 966. （1）由BMPBAB42，得ABPM，又因为CDPM，且CDAB，所以PM面ABCD，5 分且PM面PAB所以，面PAB面ABCD。7 分（2）过点M作CDMH
42、，连结HP，因为CDPM，且MMHPM，所以CD平面PMH，又由CD平面PCD，所以平面PMH平面PCD，平面PMH平面PHPCD，过点M作PHMN，即有MN平面PCD，所以MCN为直线CM与平面PCD所成角 10 分在四棱锥ABCDP中，设tAB2，则tCM215，tPM23，tMH1057，tPH554，tMN1637从而4057sinCMMNMCN，即直线CM与平面PCD所成角的正弦值为405715 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 43 页 -
43、- - - - - - - - 3 067. （I）证明：60ADEABCQ，12EACADEDD，又AB/CD,AEABQ又PAQ平面ABCD,PAAE PAABA直线AE平面PAB. （II ）（方法一）连接,PE过A点作AHPE于H点. ,CDEA CDPA EAPAAQ, CD平面PAE，CDAH. 又PEAHQ，AH平面PCD. 所以AEP为直线AE与平面PCD所成的角 . 在PAERt中，2,3PAAE，22 7sin77PAAEPPE直线AE与平面PCD所成角的正弦值为2 77（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系Axyz. 0,0,2,0,3,0 ,1,3,0 ,1,3,0PE
44、CD. 0,3,0 ,1, 3,2 ,2,0,0AEPCDCu uu ruu u ruu ur设平面PCD的法向量, ,znx yr，0332z=00 122x=00PC nxynDCnuu u rrruu u rr， ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 43 页 - - - - - - - - - 3 12 7co,s7AE nAE nAEnuuu rruuu rru uu u rr.所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为2 7768. （1）由BCC
45、D，2BCCD，可得22BD由EAED，且2EAED，可得22AD又4AB所以BDAD又平面EAD平面ABCD，平面ADE I平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面ADE（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz，则0,0,0D，0,22,0B，2,2,0C，2,0,2E，2,2 2,2BEuur，2,0,2DEuuu r，2,2,0DCuuu r，设, ,nx y zr是平面CDE的一个法向量，则0n DEr uuu r，0n DCr uuu r，即0,0.xzxy令1x，则1,1, 1nr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
46、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 31 页，共 43 页 - - - - - - - - - 3 2设直线BE与平面CDE所成的角为，则sincos,BE nBE nBEnuur ruur ruurr22 22232 33所以BE和平面CDE所成的角的正弦值23（3）设CFCEuu u ruur，0,12,2,0DCuuu r，2 2,2,2CEuur，0,2 2,0DBuu u r则DFDCCFDCCEuuu ruuu ruu u ruuu ruur2 21,1,设,mx y zu r是平面BEF一个法向量，则0n EBr uu r，0n EFruu u r，即0
47、,2110yxyz令1x，则211,0,mu r若平面BEF平面CDE，则0m nu r r，即2110，10,13所以，在线段CE上存在一点F使得平面BEF平面CDE69. 解：（ 1）连 BD 交 AC 于 O，取 DE 中点 K，良 OK、KF AC、BD 是正方形ABCD的对角线O 为 BD 中点， /12OKBEAF， 四边形 AOKF 为平行四边形，/AOFK又AO平面 DEF，FK平面 DEF AC/平面 DEF （2）在 DAF 中，5DF，2AD，1AF，所以FADA又因为AFAB， DAABAI，,DA AB平面 ABCD AF平面ABCD. 以A为原点，AD、AB、AF分
48、别为 x 、y、 z轴建立空间直角坐标系（如图）. 则0,0,0A，0,2,0B，2,2,0C，2,0,0D，0,2,2E，0,0,1F设 DPDEDFuuu ruu u ruuu r，因为2,2,2DEuu u r，2,0,1DFuu ur，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 32 页，共 43 页 - - - - - - - - - 3 3又2, 2,0,BDuuu r，2 ,2,22,0,DPDEDFuu u ru uu ruu u r22 ,2,2所以222 ,2
49、2,2BPBDDPuuu ruu u ruu u r，0,0,BPDFBPDE?uuu ruu uruuu ruu u r2 22220,2 2222 222 20,解得0,2,3即23DPDEuuu ru uu r. 所以P是线段DE上靠近E的三等分点 . 70. （1）22APABADBD，且PBD是等边三角形PAB，PAD，BAD均为直角三角形，即DAAB，DAPA，DA平面PABDA平面ABD平面PAB平面PAD（2）以,AB AD APuu u r uuu r uu u r为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz令1APABAD，2BD，0,0,0A，1,0,0B，0,1
50、,0D，0,0,1P设1, ,0Ct，则1,0, 1PBuu r，1,1,0CDtuu u r直线PB与CD所成角大小为60 ，所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 33 页，共 43 页 - - - - - - - - - 3 41cos,2PB CDPB CDPB CDuu r uu u ruu r uu u ruu ruu u r，即2112211t，解得2t或0t（舍），1,2,0C，设平面BPC的一个法向量为, ,nx y zr0,2,0BCuu u r，1,