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1、第十七章 多元函数微分学 一、证明题 1.证明函数 0yx0,0yx,yxyxy)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2.证明函数 0y x0,0y x,yx1)siny(xy)f(x,22222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而 f 在原点(0,0)可微.3.证明:若二元函数 f 在点 p(x0,y0)的某邻域 U(p)内的偏导函数 fx与 fy有界,则 f 在 U(p)内连续.4.试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 xy1yxarctgx+y.5.试证:(1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2)商的相
2、对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设 Z=22yxfy,其中 f 为可微函数,验证 x1xZ+y1yZ=2yZ.7.设 Z=sin y+f(sin x-sin y),其中 f 为可微函数,证明:xZ sec x+yZsecy=1.8.设 f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 x=u cos-v sin,y=u sin+v cos 之下.2xf+2yf是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos-v sin,u sin+v cos).则必有 2xf+2yf=2ug+2vg.(其中旋转角 是常数)9.设 f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:
3、Fx(0,0)与 Fg(0,0)10.若函数 u=F(x,y,z)满足恒等式 F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t0)则称 F(x,y,x)为 K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数 F(x,y,z)为 K 次齐次函数的充要条件是:z,y,xxFx+z,y,xyFy+z,y,xZFx=KF(x,y,z).并证明:Z=xyyxxy222为二次齐次函数.11.设 f(x,y,z)具有性质 fZt,yt,txmk=ftn(x,y,z)(t0)证明:(1)f(x,y,z)=mknxZ,xy,1fx;(2)z,y,xxfx+z,y,xkyfy+z,y,xmzfz=nf(x,y
4、,z).12.设由行列式表示的函数 D(t)=ta ta ta ta ta tata ta tannn21n2n22211n1211 其中taij(i,j=1,2,n)的导数都存在,证明 dttdD=n1kta ta ta ta ta ta ta ta tannn21nknk21k1n1211 13.证明:(1)grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2)graqd(u+v)=grad u+grad v(,为常数);(3)grsdu v=u grad v+v grsd u;(4)grad f(u)=f(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L1与L2是R2上的一组线性无关向量,
5、试证明;若0,yxfi(i=1,2)则f(x,y)常数.15.通过对 F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某(0,1),有 43=6cos3cos36sin3sin6.16.证明:函数 u=ta4bx22eta21(a,b 为常数)满足热传导方程:tu=222xua 17.证明:函数 u=22byaxln(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22xu+22yu=0.18.证明:若函数 u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:22xu+22yu=0.则函数 V=f(22yxx,22yxy)也满足此方程.19.设函数 u=yx,证明:xuyxu2=yu22xu.20.设 fx,fy和
6、 fyx在点(x0,y0)的某领域内存在,fyx在点(x0,y0)连续,证明 fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0),21.设 fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在且在点(x0,y0)可微,则有 fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)二、计算题 1.求下列函数的偏导数:(1)Z=x2y;(2)Z=ycosx;(3)Z=22yx1;(4)Z=ln(x+y2);(5)Z=exy;(6)Z=arctgxy;(7)Z=xyesin(xy);(8)u=zxyZxy;(9)u=(xy)z;(10)u=zyx.2.设 f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx;
7、求 fx(x,1).3.设 0yx0,0yx,yx1ysiny)f(x,222222 考察函数 f 在原点(0,0)的偏导数.4.证明函数 Z=22yx 在点(0,0)连续但偏导数不存在.5.考察函数 0yx0,0yx,yx1xysiny)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6.求下列函数在给定点的全微分;(1)Z=x4+y4-4x2y2在点(0,0),(1,1);(2)Z=22yxx在点(1,0),(0,1).7.求下列函数的全微分;(1)Z=ysin(x+y);(2)u=xeyx+e-z+y 8.求曲面 Z=arctgxy在点4,1,1处的切平面方程和法线方程.9.求曲面 3x2
8、+y2-Z2=27 在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10.在曲面 Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面 x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11.计算近似值:(1)1.0022.00323.0043;(2)sin29tg46.12.设园台上下底的半径分别为 R=30cm,r=20cm 高 h=40cm.若 R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13.设二元函数 f 在区域 D=a,bc,d上连续(1)若在 intD 内有 fx0,试问 f 在 D 上有何特性?(2)若在 intD 内有 fx=fy0,f 又怎样?(3)在(1)
9、的讨论中,关于 f 在 D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14.求曲面 Z=4yx22与平面 y=4 的交线在 x=2 处的切线与 OZ 轴的交角.15.测得一物体的体积v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为 0.018,求由公式 d=vw算出的比重 d 的相对误差限和绝对误差限.16.求下列复合函数的偏导数或导数:(1)设 Z=arc tg(xy),y=ex,求xdZ;(2)设 Z=xyyx2222exyyx,求xZ,yZ;(3)设 Z=x2+xy+y2,x=t2,y=t,求dtZ;(4)设 Z=x2lny,x=vu
10、,y=3u-2v,求uZ，vZ；(5)设 u=f(x+y,xy),求xu,yu;(6)设 u=fZy,yx,求xu,yu,Zu.17.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,45,60)的方向导数.18.求函数 u=xyz 在点 A(5,1,2)处沿到点 B(9,4,14)的方向 AB 上的方向导数.19.求函数 u=x2+2y2+3z2+xy-4x+2y-4z 在点 A(0,0,0)及点 B(5,-3,3z)处的梯度以及它们的模.20.设函数u=lnr1,其中r=222cz0yax 求u的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu=1.21 设函数
11、u=222222byaxcz,求它在点(a,b,c)的梯度.22.设 r=222zyr,试求:(1)grad r;(2)grad r1.23.设u=x3+y3+z33xyz,试问在怎样的点集上grad u分加满足:(1)垂直于Z轴,(2)平行于Z轴(3)恒为零向量.24.设 f(x,y)可微,L 是 R2上的一个确定向量,倘若处处有 fL(x,y)0,试问此函数 f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1)Z=x4+y44x2y2,所有二阶偏导数;(2)Z=ex(cos y+x sin y),所有二阶偏导数;(3)Z=xln(xy),yxz23,23yxz;(4)u=xyzex+y+z,
12、rqpzqpzyxu;(5)Z=f(xy2,x2y),所有二阶偏导数;(6)u=f(x2+y2+x2),所有二阶偏导数；(7)Z=f(x+y,xy,yx),zx,zxx,Zxy.26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1)f(x,y)=sin(x2+y2)在点(0,0)(到二阶为止);(2)f(x,y)=yx在点(1,1)(到三阶为止);(3)f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4)f(x,y)=2x2xyy26x36+5 在点(1,2).27.求下列函数的极值点:(1)Z=3axyx3y3(a0);(2)Z=x2+5y26x+10y+6;(3)Z=e2x(x+y2+2y).28
13、.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1)Z=22yx,2xy,x+4y2；(2)Z=22yxyx,1yxy,x;(3)Z=sinx+singsin(x+y),2yx,0 xy,xy,x 29.在已知周长为 2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在 xy 平面上求一点,使它到三直线 x=0,y=0,及 x+2y16=0 的距离平方和最小.31.已知平面上 n 个点的坐标分别是 111y,xA,222y,xA,nnny,xA.试求一点,使它与这 n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y xzy x 1 1 1 求(1)ux+uy+uz;(2)xux+yux+zuz
14、;(3)uxx+uyy+uzz.33.设 f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,试按 h,k,L 的下正整数幂展开 f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题 1.设 f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,证明 fx+fy+fz=(x+y+z)2.2.求函数 0yx0,0yx,yxyxy)f(x,22222233在原点的偏导数fx(0,0)与fy(0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3.设 1nn1n21n12n2221n21 x xx x xx x xx1 1 1u 证明:(1)n1kk0;xu (2)n1kkku21)n(nxux.4.设
15、函数 f(x,y)具有连续的 n 阶偏导数:试证函数 g(t)=f(a+ht,b+kt)的 n 阶导数 kt)bht,f(aykxhdtg(t)dnnn.5.设 22x求xk zhy gyfx e zdzcy bx az)y,(x,.6.设 (z)h (z)h (z)h(y)g (y)g (y)g(x)f (x)f (x)fz)y,(x,321321321求zyx3.7.设函数 u=f(x,y)在 R2上有 uxy=0,试求 u 关于 x,y 的函数式.8.设 f 在点 p0(x0,y0)可微,且在 p0给定了 n 个向量 Li(i=1,2,n).相邻两个向量之间的夹角为n2，证明 n1i0Li0)(pf.9.设 f(x,y)为 n 次齐次函数,证明 1)fm(n1)n(nfyyxxm.10.对于函数 f(x,y)=sinxy,试证 myyxxf=0.