《2022年多元函数微分学及应用_ .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年多元函数微分学及应用_ .pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法(1)多元复合函数设二元函数),(vufz在点),(00vu处偏导数连续，二元函数),(),(yxvvyxuu在点),(00yx处 偏 导 数 连 续 , 并 且),(),(000000yxvvyxuu, 则 复 合 函 数),(),(yxvyxufz在点),(00yx处可微，且xyxvvvufxyxuuvufxzyx00000000),(,00yyxvvvufyyxuuvufyzyx00000000),(,00多元函数微分形式的不变性：设),(),(),(yxvvyxuuvufz，均为连续可微，则将z看成yx,的函数，有d
2、yyzdxxzdz计算yvvfyuufyzxvvfxuufxz,，代人，dvvfduufdyyvdxxvvfdyyudxxuufdyyvvfyuufdxxvvfxuufdyyzdxxzdz我们将dvvfduufdyyzdxxzdz叫做微分形式不变性。例1 设xyxyfxz,3，求yzxz,。解：xydfxydfxfdxxdfxdxxfdz213232)(3322132(3xydxxdyfydxxdyfxfdxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 -
3、- - - - - - - - dyfxfxdxxyfyfxfx221421323由微分形式不变性，dyfxfxdxxyfyfxfxdyyzdxxzdz221421323故22142132,3fxfxyzxyfyfxfxxz。例2 已知)1(1xyx，求dydx. 解 考虑二元函数vuy, uxvx11,，应用推论得.dxdvvydxduuydxdy).ln1(11)(ln112221xxxuuxvuxvv(2) 隐函数若函数xyy, 由方程0, yxF确定，求导之函数？按隐函数定义有恒等式：0,xyxF0,xyxFdxd，0,xyxyxFxyxFyxxyxFxyxFxyyx,。从这是可见：函
4、数xyy可导有一个必要条件是，0, yxFy. 例3 已知函数 yfx() 由方程,22bayxfbyax是常数，求导函数。解：方程22yxfbyax两边对 x 求导，dxdyyxyxfdxdyba22)(22)(2)(22222yxfybayxfxdxdy一般来说，若函数xyy, 由方程0, yxF确定，求导之函数？将y看作是nxx ,.,1的函数),.,(1nxxyxyy, 对于方程0),.,(,.,(11nnxxyxxF两端分别关于ix求偏导数得到，并解ixf, 可得到公式 :yxFyxFxyyxii,例4 设函数y(z)yzxx),(由方程组01201222222zyxzyx确定，求名
5、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - dzdydzdx,. 解121222222zyxzyxzdydzydxdzxzdydzydxdzx242222解方程得：dzdydzdx=xzyzxyzzxxyyxy8124122222441由此得到yzdzdyxzdzdx2,3. 例5 已知函数yxzz,由参数方程 :uvzvuyvuxsincos, 给定，试求yzxz,. 解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. yx,
6、是自变量,vu ,是中间变量(vu,是yx,的函数 ), 先由zuv得到xvuxuvxvvzxuuzxzyvuyuvyvvzyuuzyzu v,是由方程),(),(yxvvyxuu的 x y,的隐函数， 在这两个等式两端分别关于x y,求偏导数， 得xvvuxuvxvvuxuvcossin0sincos1，yvvuyuvyvvuyuvcossin1sincos0得到uvxvvyuuuxvvxucos,sin,sin,cos将这个结果代入前面的式子, 得到vvvxvuxuvxzsincos与vvvyvuyuvyzcossin(3) 隐函数 函数),(yxuu由方程0),(0),(),(tzhtz
7、ygtzyxfu确定，求yuxu,解：函数关系分析 : 5 (变量 ) 3 ( 方程 )=2( 自变量 ); 一函 (u), 二自 ( x, y ), 二中 ( z, t ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - xfxu, yttfyzzfyfyu0),(),(1tgzgzhtgthtzhgytyz, zhtgthzgygthzfzhtfyfyu. 二阶偏导数：一阶导函数的偏导数例6 ),(yxzz由2222azy
8、x决定，求yxz2解：022xzzx，022yzzyzyyzzxxz,xzzyyxz223zxy例7 设22,xxxfxg，其中函数f 于的二阶偏导数连续，求22dxxgd例8 设 zfxyxy(,)， f 二阶连续可微，求22xz. 解记yxvxyu,; vffuff21, 22222211,vffuff,uvffvuff221212,则211fyfyxvvfxuufxz, xfyxfyxzxxz21221因为vffuff21,都是以u v,为中间变量，以yx,为自变量的函数，所以xvfxufxf1211112111fyfyxvfxufxf2221222211fyfy将以上两式代入前式得:
9、fyffyxz222121122212. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 例9 设),(yxzz二阶连续可微，并且满足方程0222222yzCyxzBxzA若令,yxvyxu试确定,为何值时能变原方程为02vuz. 解将yx,看成自变量，vu,看成中间变量，利用链式法则得zvuvzuzxvvzxuuzxzzvuvzuzyvvzyuuzyzzvuvzvuzuzvzuzxxz2222222222222222222v
10、zvuzuzvzuzyyzzvu2222222vzvuzuzvzuzxyxz=zvuvu由此可得 , 2222220yzCyxzBxzA= =vuzCBAuzCBA2222222222vzCBA=0 只要选取,使得020222CBACBA, 可得02vuz. 问题成为方程022tCtBA有两不同实根，即要求：02CAB. 令ACBB2,ACBB2, 即可。此时，02vuz02vuz0vzuvvzufdvvz. yxgyxfvgufz. 例10设2),(Cyxu, 又02222yuxu,xxxu)2,(, 2)2,(xxxux,求)2,(xxuxx, )2,(xxuxy)2,(xxuyy解: 2
11、)2,(xxxxu, 两边对 x 求导, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - xxxyxuxxxu22)2,()2,(222. (1) xxxu)2,(, 两边对 x 求导, 122,2,xxyuxxxu, 212,2xxxyu. 两再边对 x 求导 , xxxyuxxyxu2)2,()2,(222. (2) 由已知02,2,2222xxyuxxxu, (3) (1), (2), (3) 联立可解得 : xxxyx
12、uxxxyuxxxu352,342,2,22222多元微分的应用 : 几何应用，物理应用极值与条件极值问题条件极值无条件极值极值切平面法线曲面法平面切线曲线几何多元微分的应用空间曲面(1) 空间曲面的表达式显函数表示：yxfz,隐函数表示 : 0,zyxF参数表示：2),(),(),(),(RDvuvuzzvuyyvuxxuv(2) 空间曲面的切平面与法线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 空间曲面 S 由显函数表
13、示yxfz,， 设000, yxfz， 空间曲面 S 过000, yxP切平面方程为0,000000zzyyyyxfxxxyxf法线方程是1,0000000zzyyxfyyxyxfxx法向量为1,0000yyxfxyxfn空间曲面 S 存在切平面的条件： 若曲面 S 由显函数表示yxfz,在点00, yxp可微 , 则曲面 S 在点00, yxp有不平行z轴的切平面 . 若曲面 S 由隐函数0,zyxF表示 , 曲面 S 过0,00,zyx切平面方程为00000000,yyyzyxFxxxzyxF0,0000zzzzyxF法线方程为zzyxFzzyzyxFyyxzyxFxx0000000000
14、00,法向量zzyxFyzyxFxzyxFn,若曲面 S 由参数表示：2),(),(),(),(RDvuvuzzvuyyvuxxuv，其切平面为)(,()(,(),()(,()(,(),()(,()(,(),(000000000000000000000000vvvuvzuuvuuzvuzzvvvuvyuuvuuyvuyyvvvuvxuuvuuxvuxx或0),(),(),(00),(00),(00),(000000vuzzvyuyvxuxvuyyvxuxvzuzvuxxvzuzvyuyvuvuvu名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
15、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 法线方程为),(00),(00),(00000000),(),(),(vuvuvuvyuyvxuxvuzzvxuxvzuzvuyyvzuzvyuyvuxx法向量),(),(),(000000,vuvuvuvyuyvxuxvxuxvzuzvzuzvyuyn例11 求曲面 S :122222zyx上切平面与直线0523:zyxzyxL平行的切点的轨迹。解: (1) 直线5554:xzxyxxL的方向：kjikji54111123. 切点为zyxP,处曲面 S 的法向：kjyixn
16、244. (2) 所求轨迹：n010164yxn, 轨迹为空间曲线：122258222zyxyx645760608522xxzxyxx例12 证明球面RzyxS22221:与锥面zayxS22222:正交 . 证明所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直. 记zayxzyxGRzyxzyxF22222222),(,),(曲面1S上任一点Mx y z(,)处的法向量是TzyxzyxgradF)2,2,2(),(或者Tzyxv),(1曲面2S上任一点Mx y z(,)处的法向量为Tzayxv),(22. 设点Mx y z(,)是两曲面的公共点，则在该点有0),(),(2222221zayxz
17、ayxzyxvvT即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交. 例13 过直线0,272210zyxzyx作曲面273222zyx的切平面，求该切平面的方程解：设切平面过曲面273222zyx上的),(000zyx点，则切平面的法向量为)2,2,6(000zyx过直线0,272210zyxzyx的平面可以表示为0272210zyxzyx其法向量为)2,2,10(0002222610zyx（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - -
18、- - - - - ),(000zyx是曲面273222zyx上的点，273202020zyx（）0272210000000zyxzyx（）联立（）， （）， （） ，解得)1 ,1 ,3(),(000zyx，或)17,17,3(),(000zyx，切平面方程为0279zyx，或02717179zyx例14 通过曲面:S3zyxezyx上点)1,0,1(的切平面（ B ）（A）通过y轴；（B）平行于y轴；（ C ）垂直于y轴；（D）A，B， C 都不对 . 解题思路令3),(zyxezyxFxyz. 则S在其上任一点M的法向量为)(gradMFMzFyFxF),(于是S在点M)1,0, 1(的
19、法向量为)1 ,0, 1()1,1,1()1,0, 1(xyzxyzxyzxyexzeyze因此 , 切平面的方程为0)1()1(zx. S在)1,0,1(的法向量垂直于y轴，从而切平面平行于y轴但是由于原点不在切平面，故切平面不含y轴. 例15 已知 f 可微，证明曲面0,czbyczaxf上任意一点处的切平面通过一定点，并求此点位置证明：设yffxff21,，于是有：czfyfczfxf1,121, .)()(2221czybfczxafzf则曲面在),(0000zyxP处的切平面是：czyyPfczxxPf00020001)()(0)()()()()(02000220001zzczybP
20、fczxaPf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 可以得到：)()()()(00020001yyczPfxxczPf.0)()()()(00020001zzybPfzzxaPf易见当byczax,时上式恒等于零。 于是知道曲面0,czbyczaxf上任意一点处的切平面通过一定点，此定点为),(bca例16S由方程222zyxGczbyax确定 , 试证明：曲面 S上任一点的法线与某定直线相交。证明 : 曲面上任意一
21、点),(000zyxP的法线为)(2)(2)(2202020002020200020202000zyxGzczzzyxGybyyzyxGxaxx设相交的定直线为111zzyyxx, 与法线向交 : )(2),(2),(2202020020202002020200zyxGzczyxGybzyxGxa不 平行于,0,)(2),(2),(2010101202020020202002020200zzyyxxzyxGzczyxGybzyxGxa0)(2)(2)(2010101202020020202002020200zzyyxxzyxGzczyxGybzyxGxa0)(21110002020200101
22、01zyxzyxzyxGzzyyxxcba只要取)0,0,0(),(),(,111zyxcba即可 .例17 求过直线0523:zyxzyxL且与曲面8522222zyx相切的平面的方程. 解：直线 L 平面 F 可表示为0)(523zyxzyx，设曲面为G 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 则相切处有2,4,4()1,2,3(yxkgradGkgradF解得24/5,12/5,6/5,78/15,4/1,2/
23、3,3zyxorzyx因此切平面方程为0)8/15(2)4/1()2/3(6zyx或0)24/5(6)12/5(5)6/5(10zyx例18 在椭球面xayazc2222221上求一点， 使椭球面在此点的法线与三个坐标轴的正向成等角。解：椭球面在此点的法线矢量为)1, 1 ,1(，设该点为),(000zyx，则有)1 ,1 ,1()2,2,2(202020),(000kczbyaxgradFzyx该点坐标为),(1222222cbacba空间曲线的切线和法平面(1) 空间曲面的表达式空间曲面的参数方程: )()()()(ttzztyytxx参数方程又可以写作)(;)(ttztytxtrrT空间
24、曲线的交面式：一条空间曲线L，可以看作通过它的两个曲面1S与2S的交线，若设1S的方程为0),(zyxF，2S的方程为0),(zyxG，则L的方程是0),(0),(zyxGzyxF(2) 空间曲线的切线与法平面空间曲面的参数方程表示，其切线为)()()(000000000tttzzztttyyxtttxxx切向量为：)(),(),(000tztytx法平面为：0)()()(000000zztzyytyxxtx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 -
25、- - - - - - - - 空间曲线的交面式表达方式，其切线为),(0),(0),(0000000000zyxzyxzyxyGyGxFxFzzxGxGzFzFyyzGzGyFyFxx切向量为：),(),(),(000000000,zyxzyxzyxyGyGxFxFxGxGzFzFzGzGyFyF法平面为：00),(0),(0),(000000000zzyGyGxFxFyyxGxGzFzFxxzGzGyFyFzyxzyxzyx例19 求螺线ctztaytaxsincos；)0,0(ca, 在点)4,2,2(caaM处的切线与法平面. 解 由于点M对应的参数为40t，所以螺线在M处的切向量是)
26、,2,2()4(),4(),4(caazyxv因而所求切线的参数方程为,4,22,22tccztaaytaax法平面方程为0)4()2(2)2(2czcayaaxa. 例20 求曲线00622222yxzzyx, 在点)2, 1 ,1(0M处的切线方程. 解: 取6),(222zyxzyxF，yxzzyxG22),(，则)1 ,2,2()(),4,2,2()(00MgradGMgradF所以曲线在01 1 2M( , ,)处的切向量为)0,10,10()()(00MgradGMgradFv，于是所求的切线方程为2101101ztytx例21 设曲线32,tztytx，求曲线上一点，使曲线在该点
27、的切线平行于平面名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 42zyx解：曲线32,tztytx的切线方向为)3,2,1(2tt曲线在该点的切线平行于平面42zyx可知03412tt1,31t所求的点为1, 1 ,1,271,91,31名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -