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1、1 高等数学下册复习提纲第八章 多元函数微分学本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列):复合函数求导（）条件极值-拉格朗日乘数法（）无条件极值（）曲面切平面、曲线切线（）隐函数（组）求导（）一阶偏导数、全微分计算（）方向导数、梯度计算（）重极限、累次极限计算（）函数定义域求法（）1.多元复合函数高阶导数例 设),cos,(sinyxeyxfz其中 f 具有二阶连续偏导数，求xyzxz2及.解yxefxfxz31cos，yxyxyxyxeefyffexefyfyxzxyz)sin(cos)sin(33323131222析 1）明确函数的结构(树形图)这里yxewyvxu,cos,sin，那么
2、复合之后z是关于yx,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x的导数，有几条线通到“树梢”上的x，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”.2）31,ff是),cos,(sin),cos,(sin31yxyxeyxfeyxf的简写形式，它们与z的结构相同，仍然是yxeyx,cos,sin的函数.所以1f对y求导数为zuvwxxyy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -2 yxefyfyf13121)sin(.所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.3）f 具有二阶连续偏导数，从
3、而yxzxyz22,连续，所以yxzxyz22.练 1.设),2(22xyxfxz其中 f 具有二阶连续偏导数，求22xz.2.设),sin()2(22yxyegyxfzx其中 f 二阶可导，g具有二阶连续偏导数，求yxz2.2.多元函数极值例 1.求函数)2(e),(22yxyxfyx的极值.解（1）求驻点.由0e4)2(e),(,0e2)2(e),(2222yxyxyyxyxxyyxyxfxyxyxf得两个驻点)0,0(，)2,4(，（2）求),(yxf的二阶偏导数)242(e),(22xyxyxfyxxx，)422(e),(22yxxyyxfyxxy，)482(e),(22yyxyxfy
4、xyy，（3）讨论驻点是否为极值点在)0,0(处，有2A，0B，4C，082BAC，由极值的充分条件知)0,0(不是极值点，0)0,0(f不是函数的极值；在)2,4(处，有2e6A，2e8B，2e12C，0e842BAC，而0A，由极值的充分条件知)2,4(为极大值点，2e8)2,4(f是函数的极大值.析 1）这是二元函数无条件极值问题.2）解题步骤：第一步是求出驻点-一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -3 数；第三步求出驻点的判别式2BAC，判断是否为极值点以及极大极小.2.将正数 12 分成三个正数zyx,之
5、和使得zyxu23为最大.解：令)12(),(23zyxzyxzyxF，则.12,0,02,0323322zyxyxFyzxFzyxFzyx解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.691224623maxu析 1）题目是为了熟悉条件极值的求法-拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成)12(lnln2ln3),(zyxzyxzyxF.2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式62362233342722433327zyyxxxzyyxxxzyx691224276.方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具有一般性.3.求函数22yxz在圆9)2()2(22yx上的最大值与最小值.解
6、先求函数在圆内部可能的极值点.令02,02yzxzyx解得点)0,0(，而0)0,0(z.再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数9)2()2(),(2222yxyxyxF，.9)2()2(,0)2(22,0)2(2222yxyyFxxFyx解之得)22,22(),225,225(，而1)22,22(,25)225,225(zz.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -4 比较)22,22(),225,225(),0,0(zzz三值可知，在圆9)2()2(22yx上函数最大值为25z，最小值为0z.析 1）在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点，
7、最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点.2）在求方程组的解时，要注意方程的对称性，必要时也可做换元处理，以简化计算.3）本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程，将问题转化为一元函数的最值问题.练 1.求yxxyxyxf12153),(23的极值.2.证明函数yyyexeyxfcos)1(),(有无穷多个极大值，但无极小值.3.在椭球面1222222czbyax的第一卦限求一点，使该点的且平面与三坐标面围成的四面体的体积最小.4.求抛物线2xy与直线02yx之间的距离.3.偏导数的几何应用例 1.求曲面2132222zyx平行于平面064zyx的切平面方程.解令2132),(222z
8、yxzyxF，曲面在点),(zyx处的法向量为)6,4,2(),(zyxFFFnzyx，已知平面的法向量为)6,4,1(1n，而切平面与已知平面平行，所以1/nn，从而有664412zyx，（1）又因为点在切面上，应满足曲面方程2132222zyx（2）(1)、（2）联立解得切点为)2,2,1(及)2,2,1(，所以所求切平面方程为：0)2(6)2(4)1(zyx，或0)2(6)2(4)1(zyx.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -5 析1）由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可.2）法向量的求法:由曲面方程0),(zyx
9、F得),(zyxFFFn.如果曲面方程为),(yxfz,那么),(),(yxfzzyxF,或),(zyxFzyxf),(.对应的法向量就为)1,(yxffn或)1,(yxffn.3）注意不要把1/nn写成1nn，它们的分量是对应成比例而不一定相等，否则将得出错误结论.4）两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊.2.求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(0P处的切线及法平面方程.解曲线方程为06222zyxzyx，取x为自变量，则y和z看作x的函数，即)(),(xzzxyy.那么曲线的切向量)(),(,1(xzxy.方程组两边对x求导，得016
10、222zyzzyyx，解得zyyxzzyxzy,.将点)1,2,1(0P代入，得切向量为)1,0,1(.所以曲线在点)1,2,1(0P处的切线为110211zyx，法平面为0)1()1(zx.析 1）曲线方程为参数形式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -6),(),(),(tzztyytxx在点),(0000zyxP处对应参数为0t，那么曲线在0P处的切向量为)(),(),(000tztytx.由直线的对称式（点向式）方程可得切线方程为)()()(000000tzzztyyytxxx，法平面方程为0)()()(000000zztzyytyxxtx.2）若曲
11、线方程是一般式(隐函数形式)0),(,0),(zyxGzyxF，则，那么曲线在0P处的切向量为0,PyxyxzzxzzyzyGGFFGGFFGGFF.由于此公式较为复杂，我们经常从zyx,三个变量中选取一个作为参数，剩余两个看作其函数例题中的解法就是如此.练1.设 曲 线0,122322zyx绕y轴 旋 转 一 周 得 到 一 旋 转 曲 面，求 该 曲 面 在 点)2,3,0(指向外侧的单位法向量.2.求椭球面2132222zyx上某点M处的切平面的方程，使过已知直线2121326:zyxL.3.在曲线32,xzxy上求点，使该点处的切线平行于平面42zyx.4.求曲线04532,03222
12、zyxxzyx在点)1,1,1(处的切线方程.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -7 4.隐函数(组)导数例 1.设0e2ezxyz，求xz，yz.解 方程两端对x求偏导数，得0e2)(exzxzyzxy即xz=zxyye2e；方程两端对y求偏导数，得0e2)(eyzyzxzxy即yz=zxyxe2e.析当然题目也可用公式法求隐函数的偏导数，那是将),(zyxF看成是三个自变量x，y，z的函数，即x，y，z处于同等地位.方程两边对x求偏导数时，x，y是自变量，z是x，y的函数，它们的地位是不同的.2.设01,0222xyvuyxvu，求yvxvyuxu,.
13、解方程组两端对x求导，得.0,0222yvuxvvuuxxxx即yvuxvvuuxxxx,222则vuyvxvuyvxxu1122122，vuyuxvuyxuxv1122122.同样方程组两端对y求导，得vuxvyu2221,vuxuyv2221.析 1)方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”.2)大家解线性方程组时可以用代入法或直接使用求解公式.练 1.设方程xyzez确定隐函数yxfz,，求xz和22yz.2.设函数yxfz,由方程0),(xzyyzxF确定,求xz和xyz2.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第
14、7 页，共 10 页 -8 3.设),(txfy,而),(ytxx是由方程0),(tyxF所确定的函数,其中Ff,都具有一阶连续偏导数.求txdd.4.设),(),(2yvxugvyvxufu，,其中gf,都具有一阶连续偏导数.求yu，和yv.5.偏导数及全微分例 1.设)2(ln22yxyxz，求xz，yz.解xz)2(2)2(ln2222yxyxyxyx，yz)2()2(ln32222yxyxyxyx.析 1)利用一元函数求导即可.对其中变量求导,其余的自变量都看作常数.2)也可利用多元复合函数求导公式求导.2.已知)ln(e),(23sinxyxyxfxy，求)0,1(xf.解)0,(x
15、fxln3.于是xxfx3)0,(，3)0,1(xf.析 1)此类题目“先代后求”,或“先求后代”.对于确定一点的一般选后一种方法.2)另外分段函数在分界点处要用偏导数定义来求.3.设)ln(22yxz，求11dxyz解设uyx22，则uzln，所以d12dzzuxxuxu，d12dzzuyyuyu，从而11dxyz1111ddxxyyzzxyxy=ddxy练 1.设0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf，求(0,0),(0,0)xyff.2.求xyzcosln在点)4,1(处的全微分.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -9 3.求2sinz
16、uxy e的全微分.4.证明函数0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在)0,0(不连续，而f在)0,0(可微6.方向导数级梯度例 求32yzxyu在)1,1,2(0P的梯度及沿)1,2,2(l方向的方向导数.解kzujyuixuugrad,而2323,2,yzzuzxyyuyxu故kzujyuixuugradkyzjzxyiy2323)2(,则在)1,1,2(0P处的梯度为kjiu35grad.又)1,2,2(l,故其方向余弦为31cos,32cos,32cos,所以沿l方向的方向导数为38coscoscosgrad0zuy
17、uxuululP.析 1)熟悉方向导数和梯度概念及求法.2)需要注意的是只有在才可用coscoscoszuyuxulu求方向导数.如分段函数在分界点常用定义求出方向导数.练 设函数0,00,),(22222222yxyxyxyxyxyxf名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -10 求函数在点)0,0(处沿方向)cos,(cos的方向导数7.二重极限及累次极限例 1.讨论2200limyxxyyx的收敛性.解 令,kxy2200limyxxyyx2220limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在2.221lim)sin(lim)sin(lim)sin(lim20202020yxyxyyxyxyxxyyxyxyxyx.练 1.讨论二元函数yxyxyxyxf22),(在点)0,0(的二重极限及两个二次极限.2.讨论函数0,00,),(2222242yxyxyxyxyxf在点)0,0(的连续性.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -