《多元函数微分学知识解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元函数微分学知识解析.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、多元函数微分学知识解析多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念l.二元函数的定义及其几何意义设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)ED,按照某一对应规则f,变量z都有一个值与之对应，则称z是变量X,y的二元函数，记以z=f(x,y),D称为定义域。二元函数z=f(x,y)的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域D。z y x 例如z气l-X2-y2,D:x2+y2:;1二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球而，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为l的闭圆。2.三元函数与n元函数u=f(x,y,z),(x,y,z)EQ空间一个点集，称为三元函数U=j
2、(x1,X2,.,X11)称为n元函数。它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变益的多元涵数。二、二元函数的极限设f(x,y)在点(xo,Y。)的邻域内有定义，如果对任意&0,存在oO,只要扣X矿（y-y。)20，就叨(x,y)斗0 例2求函数z妒4X2-y2+n(y2-2x+l)的定义域解：要求4-x2-y2凶0和y2-2x+10即x2+y2 2x 函数定义域D在圆x2+y2 22的内部（包括边界）和抛物线y2+1=2x的左侧（不包括抛物线上的点）二、有关二元复合函数例l设f(x+y,xy)=x为y2，求f(x,y)-3 ZZ乡4-O/II
3、/-3 x)x 1 1 解：设x+y=u,x-y=v解出x=-:-(u+v),y=-:-(uv)2 2 l l 代入所给函数化简f(u,v)=(u+v)2(u-v)+(u-v)2 8 4 l l 故f(x,y)=(x+y)2(x-y)+(x-y)2 8 4 例2设f(x+y,xy)=x2+3xy+y2+5，求f(x,y)解：飞x2+3xy+y2+5=(x2+2xy+y2)+xy+5=(x+y)2+xy+5.f(x,y)=x2+y+5 例3设z=叮（五l），当y咐，z=x，求函数郬z解：由条件可知x=l+f（五l)，令五l=u，贝旷（u)=xl=(u+l)21=u2+2 寸(x)=x2+2x,z
4、=fy+x-1 三、有关二元函数的极限2 l X 例1讨论lim(1+-）丘yX-户axy(a-:t:O常数）)y 盂_ 汀、丿l-xy 十l(_ 厮二_ 式原觯e=I)l-t+l(lrm-y x=t 令xy)l-xy+l f lrm二而?又1imx-=lim 1 1=芦xy(x+y)_i切Ya y玉y(l+)X l-a e=式原2 例2讨论lim x y(x,y)(0,0)X 4+y 2=lim 4 矿解：沿y=Ix原式=0 心x4+z2 x2 沿y矿，原式1iin=lx4 l X-0 x4+l2x4 1+l2.原式的极限不存在?例3讨论lim x2IYl2(x,y)(O,Ol X 4 2
5、解：+y x4+y2之2.,2IYI(x2-I外）2之O)3 3 0 司y|2.dy+fz,（l+x)ex（言le:y)eydy合并化简也得du=(J;+j.,x+l;+J;ex-z)dx+(J;.-f,y+l ey-z)dy z+1z z+l a2J,a汀例5设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足一一1,ou2彻2g(x,y)=fxy,；矿y2)，求解：u=xy,1 v=(x2-y勹2 6g 6f 6f =y+X 函au彻6g奇砑-=X-y 6y 6u 6v 故：扩g2句句x2Q十翌淑2=y+2xy 6u2 6u加彻2,av 护g62f 6汀26汀创=x2-2xy+y-句26矿6u6v彻2
6、彻二)f堑ouof-Ov(82 g82 g-/.2.2护j、282f 所以：=（x2+y)+（xz+y)=x红y2床扩8u2 矿例6已知F(立）0确定z=z(x,y)其中F(u,v),z(x,y)z z oz oz 均有连续编导数，求证x-y-z函函X y 证：F(u,v)=FC-:_,.:_)=G(x,y,z)=0 z z G=F,;.,1 z G=F -1 y v,z x y G尸E(飞)+E（飞）z z 根据隐函数求导公式6zGzF6z GzF=-上=上 函G;xE+yFv彻G：正，yF，az az 则得x斗y-z 祁函例7设x=旷Vz,y=u+vz 求au加au函axaz解：对2 x=
7、u-+v+z,y=u+vz 的两边求全微分，得dx=-2udu+dv+dz 2udu-dv=-dx+dz dy=du+zdv+vdz du+zdv=dy-vdz du=-zdx+(z-v)dz+dy 2uz+I dv=2udy+dx-(1+2uv)dz 2uz+l OU z彻lOU z-v=函2uz+Iox2uz+I oz 2uz+I 多元函数的极值和最值一、求z=f(x,y)的极值第一步ii(x,y)0j伈(x,y)=O求出驻点(xk,yk)(k=l,2,-,/)第二步令A人，尺(xk,Yk）坏(xK,yk)尺(xk,Y寸000 AKAAK 若若若则f(xk,Yk)不是极值则不能确定（有时需
8、从极直定义出发讨论）则f(xk,Yk)是极值进一步若只(xk,Yk)0则f(xk,Yk.）为极小值若只(xk,Yk)0则f(xk,Yk)为极大值二、求多元(n2)函数条件极值的拉格朗日乘子法求u=f(x1,.,xn)的极值约束条件:1(x/l,.,xxr:1)/0(m 0 又A=10 0,:.(1,1)是极小值点极小值(l,l)=-2在点(-1,-1)处B=扩z=-2,函函(-1.-1)C=6讫函2 1(l,l)=10 A 扩z=|函2(-1.-1)=10,=AC-B2=96 0 A=lO O,:.(-1,-1)也是极小值点C 扩z=函t lc-1.-1)=10 极小值纠(-1,-1)=-2在
9、点(O,0)处A=护zI=-2,函2(0,01 ti=AC-B2=0 护zB=-2,硒(0,0)C=护z一一=-2 函21(0.0)不能判定这时取X=6,y=-6（其中6为充分小的正数）贼2忒0而取x=y戌寸z=2e44e2 0,36 为z(9,3)=3.类似地，由扩zl1 A=一6x2(-9,-3,-3)6 B=护z1=丿6泣Yl(9.3.3)2 1 又A=0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点极小值6 护zl5 C=-矿=-,(9.3.J)3 B=2|(-9 3 3)飞扩zl5 C=了(-9,3,3)=一，函3l l 可知AC-B2=0,又A=-0,y 0,z 0)用拉格朗日乘子法令
10、150.11x2,y2,z2 F=F(x,y,z，入）=-+A(+-+-1)xyz 52了22150 2入Fr=-+X=0(1)2 x yz 25 F=150 2.J-+y 2 y=0(2)xyz 9 FZ=-150 2入xyz2+了z=0(3)X2 y2 Z2 F2=+-1=0(4)52.32.22 450 用x乘(1)+y乘(2)+z乘(3)得2入0 xyz 则2l450 忑(5)将(5)分别找代入(1),(2),(3)得5 x=fj y上Jj 2一=z 所以P点坐标为（,5 3 2 333）而最小体积V=153 例2求坐标原点到曲线C:卢厂z2=l的蔽短距离。2x-y-z=l 解：设曲线
11、C上点(x,Y,z)到坐标原点的距离为d，令W=d 2=x2+y2+z 2 2 约束条件x2+y2z21=0,2xyz1=0用拉格朗日乘子法，令F=F(x,y,z,A,)=(x2+y2+z2)+A(x2+y2-z2-1)+(2x-y-z-1)F;=2x+2杠 2=0(1)F;=2y+2入y-=0(2)F;=2z-2Jz-=0(3)Fl=x2+y2-z2-1=0(4)F;=2x-y-z-1=0(5)首先，由(1),(2)可见，如果取入l，则=0,由3)可知z=O，再由4),(5)得x2+y2-l=0,2x-y-l=0 解得厂y=l 4-53-5=xy,V 4 3 这样得到两个驻点Pi(0,-1,
12、0)，几(,0)其次，如果取入1,由(3)得=0,再由5 5(1)(2)得x=O,y=O这样(4)成为z2=1，是矛盾的，所以这种情形设有驻点。最后，讨论J*l,J-:j;-1情形，由(1)(2),(3)可得 x=-,y=1+J.,2(1入）2(1入）z=代入(4),(5)消去得3矿9J+8=0此方程无解，所以这种情形也没有驻点。综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是l，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。另外，由千C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。例3已知涵数z=f(x,y)的全微分dz=2x心2ydy，并且f(l,1)=2求f(x,y)在椭圆域D=(x,
13、y)x2气,;I上的最大值和最小值解法l由dz=2xdx-2ydy可知z=f(x,y)=x2-y2+C,再由f(l,1)=2，得C=2，故z=f(x,y)=x2-y2+2 令笠2x=0，包2y=0，解得驻点（0,0).淑函?在椭圆XL+y 2=l上，z=x2-(4-4x2)+2，即4 z=5x2-2(-1:S:X:S:1),其最大值为zl.,rj;J=3,最小值为z=|入,.o=-2,再与/(0,0)=2比较，可知f(x,y)在椭圆域D上的最大值为3,最小值为2。解法2同解法1，得驻点(0,0).2 用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆x2十义1上的极值。4 y 2 设L=x2-y2+2+,;l(x2+-1),4 且2x+2杠0,入L;=-2y+-y=0,?L:=X2+义-1=04 解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0)令又f(0,2)=-2,f(0,-2)=-2,f(1,0)=3,f(-1,0)=3,再与f(0,0)=2比较，得f(x,y)在D上的最大值为3,最小值为2。