多元函数微分学总结.pdf

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1、精品资料欢迎下载 第八章多元函数微分学8.1 基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函

2、数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。8.2 基本题型及解题思路分析题型 1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念二元函数极限的定义：设()(,)f Pf xy的定义域为 D,000(,)P xy是 D 的聚点.若常数 A，对于0，总0，使得当0(,)(,)P x yDU P时，都有()(,)f PAf x yA成立，则称 A为函数(,)f x y当00(,)(,)x yxy

3、时的极限，记作000(,)(,)lim(,)lim()x yxyPPf x yAf PA或。二元函数的连续：设()(,)f Pfx y的定义域为 D,000(,)P xy为 D 的聚点，且0PD.若0000(,)(,)lim(,)(,)x yxyf x yf xy，则称(,)f x y在点000(,)P xy连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0lim()PPf PA存在的定义中，0PP方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。证明二元函数的极限不存在：若0PP以两种不同的方式趋于时，()fP的极-第 1 页

4、，共 37 页精品p d f 资料 可编辑资料-精品资料欢迎下载限不同，则0lim()PPf P 一定不存在（见例1）。求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例 1证明：224(,)xyf x yxy在原点0,0（）的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径2xky。证明：2224242442000lim(,)limlim1yyyxkyxkyx

5、ykykf x yxyk yyk，k不同，极限值就不同，故(,)(0,0)lim(,)x yf x y 不存在。【评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关键是选择适当的0PP的路径，注意总结其选择路径的规律。例 2(,)(0,0)1-coslim21xyx yxye。【分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化，再进行等价无穷小代换。解：(,)(0,0)(,)(0,0)1-cos1-coslimlim211(1)1xyxyx yx yxyxyee(,)(0,0)(,)(0,0)2limlim112xyx yx yxyxyexy【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性

6、质与运算法则，求法一般不难，这里不再多举例子。例 3设3222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx yf x yxyx y，证明函数),(yxf在点(0,0)连续。-第 2 页，共 37 页精品p d f 资料 可编辑资料-文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H

7、9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK

8、1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5

9、Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 Z

10、B7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1

11、J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文

12、档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN

13、2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10精品资料欢迎下载【分析】：通过观察分子、分母中变量,x y的各次幂的特点，可以看出),(yxf在(0,0)点的极限存在且为 0，但不易利用例2 中的评注直接求解，可以考虑将点(,)x y转化成极坐标来表示。证明：3222(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)limx yx yxyf x yxy2320(cossin)cos,sinlim0(0,0)xyf(,)f x y在点(0,0)连续。2.偏导数的概念二元函数的偏导数的概念：设(,)zf x y在点00(,)xy的某一邻域内有定义如果极限xyxfyxxfx),(),

14、(lim00000存在则称此极限为函数(,)zf x y在点00(,)xy处对 x 的偏导数记作00yyxxxz00yyxxxf00yyxxxz或),(00yxfx。如果极限yyxfyyxfy),(),(lim00000存在则称此极限为函数(,)zf x y在点00(,)xy处对 y 的偏导数，记作00yyxxyz00yyxxyf00yyxxyz或 fy(x0y0)例 4设24(,),xyf x ye则函数在原点偏导数存在的情况是A(0,0),(0,0)xyff存在存在B(0,0),(0,0)xyff存在不存在C(0,0),(0,0)xyff不存在存在D(0,0),(0,0)xyff不存在不存

15、在（研）解：应选【C】2400011(0,0)=limlim00 xxxxxeefxx，-第 3 页，共 37 页精品p d f 资料 可编辑资料-文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8

16、 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C1

17、0S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W

18、6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F

19、2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A

20、10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码

21、:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10精品资料欢迎下载因为

22、0011limlim100 xxxxeexx，01lim10 xxex故0011limlim00 xxxxeexx，所以(0,0)xf不存在。2420200011(0,0)limlimlim000yyyyyyeeyfyyy所以(0,0)yf存在。故选【C】。【评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点。例 5 设22(,)(0,0)(,)34lim2x yf x yxyxy,则2(0,0)(0,0)xyff（2008-北京赛）.【分析】为了利用偏导数的定义求出(0,0)xf和(0,0)yf，需要写出函数的表达式，为此要想到利用结论：0

23、()(),limPPf PAf PA其中00limPP。解：22(,)(0,0)(,)34lim2,x yf x yxyxy22(,)342,f x yxyxy其中(,)(0,0)lim0,x y从而2222(,)342()()f x yxyxyxy，2200(0,0)(0,0)320(0,0)limlim30 xxxfxfxxxfxx2200(0,0)(0,0)420(0,0)limlim40yyxfyfyyyfyy故2(0,0)(0,0)642xyff。【评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。3.全微分概念及以上几个概念之间的关系二元函数全微分

24、的概念：如果函数(,)zf x y在点(xy)的全增量(,)(,)zf xx yyf x y可表示为-第 4 页，共 37 页精品p d f 资料 可编辑资料-文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5

25、U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8

26、 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C1

27、0S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W

28、6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F

29、2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A

30、10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10精品资料

31、欢迎下载22()()()zA xB yoxy则称函数(,)zf x y在点(xy)可微分而称 A x B y 为函数(,)zf x y在点(xy)的全微分记作 dz即dzA xB y关系：偏导连续可微偏导存在；可微连续；但偏导存在可微；连续偏导存在【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。例 6 设)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf，（1）),(yxf在（0，0）点是否连续？（2）求(,)xfx y；（3）),(yxf在（0，0）点是否可微；（4）(,)xfx y在（0，0）点是否连续。（天津工业大学竞赛题）【分析】讨论分段函数在分段

32、点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义。解(1)由夹逼准则2210(,)sinf x yxyxyxy，(,)(0,0)lim(,)0(0,0)x yf x yf因此，故(,)0,0f x y 在（）点连续。(2)当(,)(0,0)x y时22222211(,)2 sincosxxfx yxxyxyxy,当(,)(0,0)x y，利用偏导数的定义得00(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0 xxxfxffxx，故222222112 sincos,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xxxx yfx yxyxyxyx y同理可得-第 5 页，共 37 页精品p d f 资料

33、可编辑资料-文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10

34、文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:C

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36、H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 H

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39、ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10精品资料欢迎下载222222112 sincos,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)yyyx yfx yxyxyxyx y(3)为了考察),(yxf

40、在(0,0)点是否可微，我们来考察(0,0)(0,0)xyzfxfy 是否为22()()xy的高阶无穷小，因为22221sin(0,0)(0,0)()()02()()xyx yzfxfyxyx yx yxy0(0,0)2x yxy，故0(0,0)(0,0)lim0 xyzfxfy，即(0,0)(0,0)()xyzfxfyo所以),(yxf在(0,0)点可微。（4）由于222222(,)(0,0)(,)(0,0)11lim(,)lim(2 sincos)xx yx yxfx yxxyxyxy不存在，所以(,)xfx y 在(0,0)点不连续。【评注 1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存

41、在性和可微性，既是重点也是难点，需掌握。【评注 2】若),(yxf在(0,0)点连续，且偏导数存在，则判别),(yxf在0,0（）点是否可微，需考察(0,0)(0,0)xyzfxfy 是否为22()()xy的高阶无穷小。【评注 3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件。【评注 4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处。例 7设函数(,)|(,)f x yxyx y,其中(,)x y在点(0,0)的一个邻域内连续,证明:(,)f x y在点(0,0)处可微的充要条件为(0,0)0。（2007-天津赛）证明：（必要性）已知x,yf在点(0,0)处可微，故00,fx与

42、00,fy都存在。而000000 000,0limlimxxxxx,xx,fxx，-第 6 页，共 37 页精品p d f 资料 可编辑资料-文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK

43、1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5

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45、B7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1

46、J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文

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48、2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10文档编码:CN2N5U9H9D8 HK1C10S5Y6W6 ZB7F2F1J6A10精品资料欢迎下载其 中00

49、|(,0)|(,0)lim(0,0),lim(0,0),xxxxxxxx由 于00,fx存 在，故000,。（充 分 性）已 知000,，类 似 于 必 要 性 的 过 程 容 易 推 出(0,0)0,(0,0 xyff欲证x,yf在点(0,0)处可微，只需证2222(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(0,0)(0,0)|(,)lim=lim0.xyx yx yfx yffxfyxyx yxyxy注意到：222222|2xyxyxyxyxy，所以2202xyx,yx,yxy。又(,)(0,0)lim0 00 x yx,y,，由夹逼定理知22(,)(0,0)lim0 x yxyx,

50、yxy。从而x,yf在点(0,0)处可微，并且0dx,yf。【评注】此题是一元函数中的重要结论“设()x在xa点连续，则()|()fxxax在xa可导的()0a”在多元函数中的推广，但证明过程要比一元函数复杂的多。题型 2 多元函数的偏导数的计算1.复合函数求导例 8 设函数20sin(,)1xytF x y zdtt，则2202xyFx（2011-研）解：2sin1()Fyxyxxy，为了计算简便，由偏导数的定义，可得22222200022sin24(1 4)cos 216 sin2()414(1 4)xxxyFxxxxxxxx。【评注】0000,x xxxyyfxyfx y同时000(,)