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1、 第 1 页 共 12 页 2008 年高考数学试题分类汇编 第四部分 三角函数 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1【安徽理5】将函数sin(2)3yx的图象按向量平移后所得的图象关于点(,0)12中心对称，则向量的坐标可能为（）A(,0)12 B(,0)6 C(,0)12 D(,0)6【解析】C 2【福建理9】函数 f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数 y=-f(x)的图象，则 m 的值可以为 A.2 B.C.D.2【解析】A 3【福建理10】在ABC 中，角 ABC 的对
2、边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B 的值为 A.6 B.3 C.6或56 D.3或23【解析】D 4【湖北理5】将函数 y=3sin（x-）的图象 F 按向量（3，3）平移得到图象 F,若 F的一条对称轴是直线 x=4,则 的一个可能取值是 A.125 B.125 C.1211 D.1211【解析】A 5【湖南理6】函数 f(x)=sin2x+3sincosxx在区间,4 2 上的最大值是 A.1 B.132 C.32 D.1+3 【解析】C 6【宁夏理1】已知函数 y=2sin(x+)(0)在区间0，2 的图像如下：那么=（）A.1 B.2 C.1/2 D.
3、1/3【解析】7【宁夏理7】0203sin702cos 10=（）第 2 页 共 12 页 A.12 B.22 C.2 D.32【解析】8【全国 1理8】为得到函数)32cos(xy的图象，只须将函数xy2sin的图象(A)向左平移125个长度单位 (B)向右平移125个长度单位 (C)向左平移65个长度单位 (D)向右平移65个长度单位【解析】A 9【山东理5】已知 cos（-6）+sin=的值是则)67sin(,354 （A）-532 （B）532 (C)-54 (D)54【解析】C 10【四川理3】2(tancot)cosxxx（A）tan x （B）sin x （C）cos x （D）
4、cot x【解析】D 11【四川理5】设02，若sin3cos，则的取值范围是（A）(,)3 2 （B）(,)3 （C）4(,)33 （D）3(,)32【解析】C，sin3cos，即s i n3 c o s0，即2 s i n()03，即s i n()03；又由02，得5333；综上，03，即433选 C本题考到了正弦函数的正负区间 除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间 12【四川理10】设()sin()f xx，其中0，则函数()f x是偶函数的充分必要条件是（A）(0)0f （B）(0)1f （C）(0)1f （D）(0)0f 【解析
5、】D，本题考查理性思维和综合推理能力函数()f x是偶函数，则2k，(0)1f，故排除 A，B 又()cos()fxx，2k，(0)0f选 D此为一般化思路也可走特殊化 第 3 页 共 12 页 思路，取1，2 验证 13【浙江理5】在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4【解析】14【浙江理8】若,5sin2cosaa则atan=（A）21 （B）2 （C）21 （D）2【解析】15【浙江理3】设函数 Rxxxf,22sin，则 xf是 (A)最小正周期为的奇函数 (B)最小正周期为的偶函数 (C)最小正
6、周期为2的奇函数 (D)最小正周期为2的偶函数【解析】二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案写在答题卡相应位置上 16【广东理12】已知函数()(sincos)sinf xxxx，xR，则()f x的最小正周期是 【解析】21 cos21()sinsincossin 222xf xxxxx,此时可得函数的最小正周期22T。17【湖北 理 12】在ABC 中，三个角 A，B，C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 【解析】612 18【辽宁 理 16】已知()sin()(0)3f xx，()()63ff
7、，且()f x在区间(,)63 有最小值，无最大值，则_【解析】143 19【山东理15】已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m（1,3），n（cosA,sinA）.若 mn，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B 【解析】6 20【浙江理13】在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若CaAcbco sco s3，则Acos_。第 4 页 共 12 页【解析】三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 21【安徽理17】已知函数()cos(2)2sin()sin()344f xxxx（）求函数()
8、f x的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数()f x在区间,12 2 上的值域；【解析】（1）()cos(2)2sin()sin()344f xxxx 13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx 13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x 2T2周期 由2(),()6223kxkkZxkZ得 函数图象的对称轴方程为()3xkkZ（2）5,2,12 2636xx 因为()sin(2)6f xx在区间,12 3 上单调递增，在区间,3 2 上单调递减，所以当3x时，()f x取最大值 1，又31()()12
9、222ff，当12x 时，()f x取最小值32，所以 函数()f x在区间,12 2 上的值域为3,12。22【北京理15】已知函数2()sin3sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为（）求的值；（）求函数()f x在区间203，上的取值范围【解析】（）第 5 页 共 12 页 1 cos23()sin222xf xx311sin2cos2222xx1sin 262x 因为函数()f x的最小正周期为，且0，所以22，解得1（）由（）得1()sin 262f xx因为203x，所以72666x，所以1sin 2126x，因此130sin 2622x，即()f x的取值范围为302，2
10、3【福建理17】已知向量 m=(sinA,cosA),n=(3,1)，mn1，且 A 为锐角.（）求角 A 的大小；（）求函数()cos 24cossin()f xxAx xR的值域.【解析】本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分 12 分.（）由题意得3sincos1,m nAA12sin()1,sin().662AA 由 A 为锐角得,.663AA（）由（）知1cos,2A 所以2213()cos22sin12sin2sin2(sin).22f xxxxsx 因为 xR，所以sin1,1x，因此，当1sin2x
11、 时，f(x)有最大值32.当 sinx=-1 时，f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是33,2.24【广东理16】已知函数()sin()(0 0)f xAxA，xR的最大值是 1，其图像经过点 13 2M，（1）求()f x的解析式；（2）已知02，且3()5f，12()13f，求()f的值【解析】（1）依题意有1A，则()sin()f xx，将点1(,)3 2M代入得1sin()32，而0，536，2，故()sin()cos2f xxx；第 6 页 共 12 页（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313，3
12、124556()cos()coscossinsin51351365f。25【湖北 理 16】已知函数 f(t)=117,()cos(sin)sin(cos),(,).112tg xx fxx fx xt（）将函数 g(x)化简成 Asin(x+)+B（A0，0，0，2）的形式；（）求函数 g(x)的值域。【解析】本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）解：（）1 sin1 cos()cossin1 sin1 cosxxg xxxxx2222(1 sin)(1 cos)cossincossinxxxxxx 1 s
13、in1 coscossin.cossinxxxxxx 17,coscos,sinsin,12xxxxx 1 sin1 cos()cossincossinxxg xxxxx sincos2xx2sin2.4x（）由1712x，得55.443x sint在53,42上为减函数，在35,23上为增函数，又5535sinsin,sinsin()sin34244x（当17,2x），即21sin()222sin()23424xx，故g(x)的 值 域为22,3.26【湖南理19】在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 第 7 页 共 12 页 E 正北 55 海里处有一个
14、雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东45且与点 A 相距 402海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东45+(其中sin=2626，090)且与点 A 相距 1013海里的位置 C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.【解析】（I）如图，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC 由于 040=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EPBC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在
15、RtQPE中，PE=QEsinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC=5153 57.5 所以船会进入警戒水域.27【湖北理15】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为552,102（1）求)tan(的值；（2）求2的值。【解析】本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力。由条件得22 5cos,cos105 、为锐角，7 25sin,sin1051tan7,tan2（1）17tantan2tan()311tantan1 72
16、（2）22122tan42tan211tan31()247tantan23tan(2)141tantan21 73 、为锐角，3022 324 28【江西理17】在ABC 中a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边长，a23，tan2BA 第 9 页 共 12 页 tan2C4，sin B sin Ccos22A求 A、B 及 b、c【解析】A、B、C 为ABC 三内角，22CBA 42tan2tanCC，即42tan2cotCC。又CCCcos1sin2tan，4sincos1cos1sinCCCC，整理得4sin2C，21sinC 由2cossinsin2ACB可得2cos12sinAB
17、，ABcos1sin sinB1，cosA0，而 A 为ABC 内角，则 A 必为钝角。C 应为锐角，6C。则AB65，代入ABcos1sin，得 AAcos1)65sin(，将左边展开并整理得：1)3cos(A，又 A 为钝角，32A，故6B ABC 为等腰，32a，作图如右：易解得 b=c=2 综上，32A，6B，b=c=2 29【辽宁理17】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知2c，3C.（）若ABC的面积等于3，求a，b；（）若sinsin()2sin 2CBAA，求ABC的面积.【解析】本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数
18、有关知识的能力.满分 12 分.（）由余弦定理及已知条件得，224abab，又 因 为ABC的 面 积 等 于3，所 以1s i n32a bC，得4ab.4 分 联立方程组224,4,ababab 解得A B C 30 3317 题 22 第 10 页 共 12 页 2,2.ab 6 分（）由题意得sin()sin()4sincos,BABAAA 即sincos2sincos.BAAA 8 分 当cos0A 时，2A，6B，4 33a，2 33b.所以ABC的面积12 3sin23SabC.12 分 30【全国 2理17】设ABC的内角ABC，所对的边长分别为abc，且3coscos5aBb
19、Ac（）求tancotAB的值；（）求tan()AB的最大值【解析】（）在ABC中，由正弦定理及3coscos5aBbAc 可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB 即sincos4cossinABAB，则tancot4AB；（）由tancot4AB 得tan4tan0AB 2tantan3tan3tan()1tantan14tancot4tanABBABABBBB34 当且仅当14tancot,tan,tan22BBBA时，等号成立，故当1tan2,tan2AB时，tan()AB的最大值为34.31【山东理17】已知函数 f(
20、x)0,0)(cos()sin(3xx为偶函数，且函数 yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2（）求 f（8）的值；（）将函数 yf(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间.【解析】（）f(x)cos()sin(3xx)cos(21)sin(232xx 第 11 页 共 12 页 2sin(x-6)因为 f(x)为偶函数，所以对 xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此 sin(x-6）sin(x-6).即-sinxcos(-6)+cosxsin(-6)=sinxcos(-6)+co
21、sxsin(-6),整理得 sinxcos(-6)=0.因为 0，且 xR,所以 cos（-6）0.又因为 0，故-62.所以 f(x)2sin(x+2)=2cosx.由题意得 22,2.2所以 故 f(x)=2cos2x，所以.24cos2)8(f（）将 f(x)的图象向右平移个6个单位后，得到)6(xf的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到)64(f的图象.).32(cos2)64(2cos2)64()(ffxg所以 当 2k 322 k+(kZ),即 4k 32x4k+38(kZ)时，g(x)单调递减.因此 g(x)的单调递减区间为 384,324kk (kZ)
22、32【四川理17】求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值【解析】2474sincos4cos4cosyxxxx2484sincos14cos4cosxxxx 2284sincos(12cos)xxx282sin 2cos 2xx282sin 2(1 sin 2)xx 272sin 2sin 2xx26(1 sin 2)x，max10y，min6y 33【浙江理17】已知4,2,1024cosxx.（）求xsin的值；（）求32sinx的值.第 12 页 共 12 页【解析】34【重庆理17】设ABC的内角ABC，所对的边长分别为abc，且060A，3cb（）求ac
23、的值；（）求cotcotBC的最大值【解析】（）由余弦定理得2222cosabcbcA222111723329ccc cc，故73ac（）解法一：cotcotBCcossincossinsinsinBCCBBCsin()sinsinsinsinsinBCABCBC 由正弦定理和（）的结论得 227sin121414 391sinsinsin933 33cAaBCA bcc c故14 3cotcot9BC 解法二：由余弦定理及（）的结论有2222227193cos2723cccacbBacc c52 7 故2253sin1 cos1282 7BB 同理可得22222271199cos2712 7233cccabcCabcc，213 3sin1 cos1282 7CC 从而coscos5114 3cotcot33sinsin399BCBCBC