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1、 1 高考数学试题分类汇编 三角函数 一 选择题：1.（全国一 8）为得到函数cos 23yx的图像，只需将函数sin 2yx的图像（A ）A 向左平移512个长度单位 B 向右平移512个长度单位 C 向左平移56个长度单位 D向右平移56个长度单位 2.（全国二 8）若动直线xa与函数()sinf xx和()cosg xx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（B ）A 1 B 2 C 3 D 2 3.（四川卷）2tancotcosxxx(D )（）tan x （）sin x （）cos x （）cot x 4.（四川卷）若02,sin3cos，则的取值范围是：(C )（）,3 2 （
2、）,3 （）4,33 （）3,32 5.（天津卷 6）把函数sinyx（xR）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 C（A）sin(2)3yx，xR （B）sin()26xy，xR（C）sin(2)3yx，xR （D）sin(2)32yx，xR 6.（天津卷 9）设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则 D （A）cba （B）acb （C）acb （D）bac 7.（安徽卷 5）将函数sin(2)3yx的图象按向量平移后所得的图象关于点(,0)12中心对称，则向量的坐标可能为（C ）2 A(,0)
3、12 B(,0)6 C(,0)12 D(,0)6 8.（山东卷5）已知cos（-6）+sin=的值是则)67sin(,354 （A）-532 （B）532 (C)-54 (D)54 9.（湖北卷 5）将函数3sin()yx的图象F按向量(,3)3平移得到图象F,若F的一条对称轴是直线4x,则的一个可能取值是A A.125 B.125 C.1211 D.1112 10.（湖南卷 6）函数2()sin3sincosf xxxx在区间,4 2 上的最大值是(C )A.1 B.132 C.32 D.1+3 11.（重庆卷 10)函数f(x)=sin132cos2sinxxx(02x)的值域是B（A）-
4、2,02 (B)-1,0 （C）-2,0 （D）-3,0 12.（福建卷9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数y=-f(x)的图象，则m的值可以为 A A.2 B.C.D.2 13.（浙江卷 5）在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是C（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 14.（浙江卷8）若,5sin2cosaa则atan=B （A）21 （B）2 （C）21 （D）2 15.（海南卷 1）已知函数 y=2sin(x+)(0)在区间0，2 的图像如下：那么=（B）3 A.1 B.2 C.1/2 D.
5、1/3 16.（海南卷 7）0203sin702cos 10=（C）A.12 B.22 C.2 D.32 二 填空题：1.（上海卷 6）函数f(x)3sin x+sin(2+x)的最大值是 2 2.（山东卷 15）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（1,3），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B 6.3.（江 苏 卷 1）cos6fxx的 最 小 正 周 期 为5，其 中0，则=10 4.（广东卷 12）已知函数()(sincos)sinf xxxx，xR，则()f x的最小正周期是 5.（辽宁卷16）已知()sin(0)363f
6、 xxff，且()f x在区间6 3，有最小值，无最大值，则_143 三 解答题：1.（全国一 17）（本小题满分 10 分）（注意：在试题卷上作答无效）设ABC的内角ABC，所对的边长分别为abc，且3coscos5aBbAc（）求tancotAB的值；（）求tan()AB的最大值 解析：（）在ABC中，由正弦定理及3coscos5aBbAc 可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB 即sincos4cossinABAB，则tancot4AB；（）由tancot4AB 得tan4tan0AB 4 2tantan3tan3tan
7、()1tantan14tancot4tanABBABABBBB34 当且仅当14tancot,tan,tan22BBBA时，等号成立，故当1tan2,tan2AB时，tan()AB的最大值为34.2.（全国二 17）（本小题满分 10 分）在ABC中，5cos13B ，4cos5C （）求sin A的值；（）设ABC的面积332ABCS，求BC的长 解：（）由5cos13B ，得12sin13B，由4cos5C，得3sin5C 所以33sinsin()sincoscossin65ABCBCBC 5 分（）由332ABCS得133sin22ABACA，由（）知33sin65A，故65ABAC，8
8、 分 又sin20sin13ABBACABC，故2206513AB，132AB 所以sin11sin2ABABCC 10 分 3.（北京卷 15）（本小题共 13 分）已知函数2()sin3sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为（）求的值；（）求函数()f x在区间203，上的取值范围 解：（）1 cos23()sin 222xf xx311sin 2cos2222xx 1sin 262x 5 因为函数()f x的最小正周期为，且0，所以22，解得1（）由（）得1()sin 262f xx 因为203x，所以72666x，所以1sin 2126x，因此130sin 2622x，即()f
9、 x的取值范围为302，4.（四川卷 17）（本小题满分 12 分）求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值。【解】：2474sincos4cos4cosyxxxx 2272sin 24cos1cosxxx 2272sin 24cossinxxx 272sin 2sin 2xx 21sin 26x 由于函数216zu在11，中的最大值为 2m a x1161 0z 最小值为 2m i n1166z 故当sin21x 时y取得最大值10，当sin21x 时y取得最小值6 5.（天津卷 17）（本小题满分 12 分）已知函数22s(incoss1)2cof xxxx（,
10、0 xR）的最小值正周期是2（）求的值；（）求函数()f x的最大值，并且求使()f x取得最大值的x的集合（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin()yAx的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分（）解：6 242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin12sin22cos12xxxxxxxxf 由题设，函数 xf的最小正周期是2，可得222，所以2（）由（）知，244sin2xxf 当kx2244，即Zkkx216时，44sinx取得最大值 1，所以函数 xf的最大值是22，此时x的集合为Zkkxx,216|6.（安
11、徽卷 17）（本小题满分 12 分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f xxxx（）求函数()f x的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数()f x在区间,12 2 上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f xxxx 13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx 2213cos2sin2sincos22xxxx 13cos2sin2cos222xxx s i n(2)6x 2T2周期 由2(),()6223kxkkZxkZ得 7 函数图象的对称轴方程为()3xkkZ（2）5,2,12 2636xx 因为()sin(2)6f
12、 xx在区间,12 3 上单调递增，在区间,3 2 上单调递减，所以 当3x时，()f x取最大值 1 又 31()()12222ff，当12x 时，()f x取最小值32 所以 函数()f x在区间,12 2 上的值域为3,12 7.（山东卷 17）（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)0,0)(cos()sin(3xx为偶函数，且函数 yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2（）美洲 f（8）的值；（）将函数 yf(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间.解：（）f(x)co
13、s()sin(3xx)cos(21)sin(232xx 2sin(x-6)因为 f(x)为偶函数，所以 对 xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此 sin（-x-6）sin(x-6).即-sinxcos(-6)+cosxsin(-6)=sinxcos(-6)+cosxsin(-6),整理得 sinxcos(-6)=0.因为 0，且 xR,所以 cos（-6）0.又因为 0，故-62.所以 f(x)2sin(x+2)=2cosx.8 由题意得 .2,222所以 故 f(x)=2cos2x.因为 .24cos2)8(f（）将 f(x)的图象向右平移个6个单位后，得到)6(xf的图象，再将所得图象横
14、坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到)64(f的图象.).32(cos2)64(2cos2)64()(ffxg所以 当 2k 322 k+(kZ),即 4k 32x4k+38(kZ)时，g(x)单调递减.因此 g(x)的单调递减区间为 384,324kk (kZ)8.（江苏卷 15）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点，已知 A,B 的横坐标分别为2 2 5,105（）求 tan()的值；（）求2的值【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式 由条件的22 5cos,cos105，因为,为锐角，所以s
15、in=7 25,sin105 因此1tan7,tan2（）tan()=tantan31tantan （）22tan4tan21tan3，所以tantan2tan211tantan2 ,为锐角，3022，2=34 9.（江西卷 17）（本小题满分 12 分）9 在ABC中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，2 3a，tantan4,22ABC 2sincossinBCA，求,A B及,b c 解：由tantan422ABC得cottan422CC cossin224sincos22CCCC 14sincos22CC 1sin2C，又(0,)C 566CC，或 由2sincossinBC
16、A得 2sincossin()BBBC 即sin()0BC BC 6BC 2()3ABC 由正弦定理sinsinsinabcABC得 1sin22 32sin32BbcaA 10.（湖北卷 16）.已知函数 117(),()cos(sin)sin(cos),(,).112tf tg xx fxx fx xt（）将函数()g x化简成sin()AxB（0A，0，0,2)）的形式；（）求函数()g x的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）解：（）1 sin1 cos()cossin1 sin1cosxxg
17、 xxxxx 2222(1 sin)(1 cos)cossincossinxxxxxx 10 1 sin1 coscossin.cossinxxxxxx 17,coscos,sinsin,12xxxxx 1 sin1 cos()cossincossinxxg xxxxx sincos2xx 2sin2.4x（）由1712x，得55.443x sint在53,42上为减函数，在35,23上为增函数，又5535sinsin,sinsin()sin34244x（当17,2x），即21sin()222sin()23424xx，故 g(x)的值域为22,3.11.（陕西卷 17）（本小题满分 12 分）
18、已知函数2()2sincos2 3sin3444xxxf x （）求函数()f x的最小正周期及最值；（）令()3g xfx，判断函数()g x的奇偶性，并说明理由 解：（）2()sin3(12sin)24xxf x sin3cos22xx2sin23x()f x的最小正周期2412T 当sin123x 时，()f x取得最小值2；当sin123x时，()f x取得最大值 2（）由（）知()2sin23xf x又()3g xfx 11 1()2sin233g xx2sin22x2cos2x()2cos2cos()22xxgxg x 函数()g x是偶函数 12.（重庆卷 17）（本小题满分 1
19、3 分，（）小问 6 分，（）小问 7 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：（）ac的值；（）cotB+cot C的值.解：（）由余弦定理得 2222 cosabcbA 2221117()2,3329ccc cc 故7.3ac（）解法一：cotcotBC cossincossinsinsinBCCBBC sin()sin,sinsinsinsinBCABCBC 由正弦定理和（）的结论得 227sin121414 39.1sinsinsin933 33cAaBCA bcc c 故14 3cotcot.9BC 解法二：由余弦定理及（）的结论有 222222
20、71()93cos2723cccacbBacc c 5.2 7 故2253sin1 cos1.282 7BB 12 同理可得 22222271199cos,2712 7233cccabcCabcc 213 3sin1 cos1.282 7CC 从而coscos5114 3cotcot33.sinsin399BCBCBC 13.（福建卷 17）（本小题满分 12 分）已知向量 m=(sinA,cosA),n=(3,1)，mn1，且 A 为锐角.（）求角 A 的大小；（）求函数()cos24cossin()f xxAx xR的值域.本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变
21、换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分 12 分.解：（）由题意得3sincos1,m nAA 12sin()1,sin().662AA 由 A 为锐角得,.663AA （）由（）知1cos,2A 所以2213()cos22sin1 2sin2sin2(sin).22f xxxxsx 因为 xR，所以sin1,1x，因此，当1sin2x 时，f(x)有最大值32.当 sinx=-1 时，f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是33,2.14.（广东卷 16）（本小题满分 13 分）已知函数()sin()(0 0)f xAxA，xR的最大值是 1，其图像经过点 13 2
22、M，（1）求()f x的解析式；（2）已知02，且3()5f，12()13f，求()f的值【解析】（1）依题意有1A，则()sin()f xx，将点1(,)3 2M代入得1sin()32，而 13 0，536，2，故()sin()cos2f xxx；（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313，3124556()cos()coscossinsin51351365f。15.（辽宁卷 17）（本小题满分 12 分）在ABC中，内角ABC，对边的边长分别是abc，已知2c，3C（）若ABC的面积等于3，求ab，；（）若sinsin()
23、2sin 2CBAA，求ABC的面积 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分 12 分 解：（）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab 4 分 联立方程组2244ababab，解得2a，2b 6 分（）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，8 分 当cos0A时，2A，6B，4 33a，2 33b，当cos0A 时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，解得2 33a，4 33b 所以ABC的面积12 3sin23SabC 12 分