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1、20122012 年高考数学按章节分类汇编（人教年高考数学按章节分类汇编（人教 A A 文：选修文：选修 1-21-2 理：选修理：选修 2-22-2）第二章推理与证明第二章推理与证明一、选择题1、（2012 陕西文理）观察下列不等式13222115123,2331117122223441照此规律,第五个不等式为。2（2012 江西理）观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,，则 a10+b10=（）A.28B.76C.123D.1993、（2012 湖北理）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22，121，3443，94249等
2、显然2 位回文数有9 个：11，22，33，993 位回文数有90 个：101，111，121，191，202，999则（）4 位回文数有个；（）2n 1(nN N)位回文数有个4、（2012 湖北文）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数 1,3,6,10,记为数列an,将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn,可以推测:()b2012是数列an中的第_项;()b2k1_.(用k表示)sin27sinn7(n N),则在S1,S2,S100中,5、（2012 上海文）若Snsin7正数的个数是（）A16
3、.B72.C86.D100.sinnS a1 a2 an.在S1,S2,S100中,6、（2012 年高考（上海理）设an1n25,n正数的个数是（）A25.B50.C75.D100.7、（2012 福建文）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图 1，则最优设计方案如图 2，此时铺设道路的最小总费用为 10。现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为_。【1
4、6】8、（2012 湖南理）设 N=2n（nN*，n2），将 N 个数 x1,x2,，xN依次放入编号为 1,2，N 的 N 个位置，得到排列 P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对NN和后个位置，得到排列 P1=x1x3xN-1x2x4xN，将此操作22N称为 C 变换，将 P1分成两段，每段个数，并对每段作 C 变换，得2N到p2；当 2in-2 时，将 Pi分成 2i段，每段i个数，并对每段 C2应的前变换，得到 Pi+1，例如，当 N=8 时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7位于 P2中的第 4 个位置.（1）当 N=16
5、时，x7位于 P2中的第_个位置；（2）当 N=2n（n8）时，x173位于 P4中的第_个位置.9、（2012 年高考（江西文）观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为 12.则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为（）A76B80C86D9210、92012湖 南 文）对 于nN，将n表 示 为n ak2k ak12k1 a121 a020,当i k时ai1，当0i k 1时ai为0 或 1，定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1，a2，a
6、k中等于1 的个数为奇数时，bn=1；否则 bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=_；（2）记 cm为数列bn中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数，则 cm的最大值是_.二、解答题1、（2012 北京理）设A是由m n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零记Sm，n为所有这样的数表构成的集合对于ASm，n，记riA为A的第i行各数之和1im，cjA为A的第j列各数之和1jn；记kA为|r1A|，|r2A|，|rmA|，|c1A|，|c2A|，|cnA|中的最小值（1）对如下数表A，求kA的值；10.110.30.81（2）设数表
7、AS2，3形如1a1bc1求kA的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的AS2，2t 1，求kA的最大值2 2、（20122012 年江苏省年江苏省 1616 分）分）已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1anbnanbn22，n N*，2（1）设bn1bn bn1，n N*，求证：数列aann是等差数列；（2）设bn12 bn，n N*，且an是等比数列，求a1和b1的值an参考答案一、选择题1、解析:第四个不等式为111119222223455111111第五个不等式为1222222345662.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法.观察各等式的右边,它们分别为 1,3,4,7,
8、11，发现从第 3 项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为 1,3,4,7,11，18,29,47,76,123,，故a10b10123.【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.3 3、解析：、解析：（）4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（19）种情况，第二位有10（09）种情况，所以 4 位回文数有910 90种。答案：90（）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1 位回文数和 2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回
9、文数只用看前 n+1 位的排列情况，第一位不能为 0 有 9 种情况，后面 n 项每项有 10 种情况，所以个数为910n.法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数，3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,99”，因此四位数的回文数有90 个按此规律推导1,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09这十个数，因此4、()5030;(),则答案为910n.5k5k 1【解析】由以上规律可知三角形数21,3,6,10,的 一 个 通 项 公 式 为ann(n1),写 出 其 若 干 项2有:1,3,6,10,15,21,28,36,
10、45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故b1 a4,b2 a5,b3 a9,b4 a10,b5 a14,b6 a15.从而由上述规律可猜想:b2k a5k5k(5k 1)(k为正整数),2(5k 1)(5k 11)5k(5k 1),b2k1 a5k122故b2012 a21006 a51006 a5030,即b2012是数列an中的第 5030 项.【点评】本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.5、解析 令7,则n
11、7 n,当 1n14 时,画出角序列n终边如4y352679图,1413128其终边两两关于x轴对称,故有S1,S2,S12均为正数,1011x而S13 S14 0,由周期性可知,当 14k-13n14k时,Sn0,而S14k1 S14k 0,其中k=1,2,7,所以在S1,S2,S100中有 14 个为0,其余都是正数,即正数共有 100-14=86 个,选 C.6、解析 对于数.1k25,ak0(唯a25=0),所以Sk(1k25)都为正13y122324249482627x3738,则k k,画出k终边如右,当 26k49 时,令2525其终边两两关于x轴对称,即有sink sin(50
12、 k),11sin+1sin2+23sin23+24sin24+0所以Sk11211sin26+27sin27+1+26ksink1111sin+1sin2+(2426)sin24+(2327)sin23+=112)sin(50 k),其中k=26,27,49,此时0 50k k,+(501k1k 0,又0 (50 k)24,所以sin(50 k)0,所以501k1k从而当k=26,27,49 时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S490.对于k从 51 到 100 的情况同上可知Sk都是正数.综上,可选 D.评注 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符
13、号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.7 7、考点：、考点：演绎推理。难度：难度：中。分析：分析：本题考查的知识点为演绎推理，理解题意，直接计算最小值即可。解答：解答：题目要求联通所有的城市，且费用最小，则首先连接费用最小的城市，连接方法如下：（1）连接F,G，此时联通两个城市F,G，费用为1；（2）再连接G,D，此时联通三个城市F,G,D，费用为1 2 3；（3）再连接G,C，此时联通四个城市F,G,D,C，费用为1 2 3 6；（4）再连接F,A，此时联通五个城市F,G,D,C,A，费用为1 2 3 3 9；（
14、5）再连接B,C，此时联通六个城市F,G,D,C,A,B，费用为1 2 3 35 14；（6）再连接E,A，此时联通七个城市F,G,D,C,A,B,E，费用为1 2 3 35 2 16。所以铺设道路的最小总费用为16。8、【答案】（1）6；（2）32n411【解析】（1）当 N=16 时,P0 x1x2x3x4x5x6x16,可设为(1,2,3,4,5,6,16),2,4,6,8,16),16),x7位于P2中的P1 x1x3x5x7x15x2x4x6x16,即为(1,3,5,7,9,P2 x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,
15、第 6 个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知 x173位于 P4中的第32n411个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.9、【答案】B【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为 4,公差为 4 的等差数列,则所求为第 20 项,可计算得结果.10、【答案】（1）3；（2）2.2 121020,a11,a0 0,b21；【解析】（1）观察知1 a020,a01,b11；一次类推3 121120,b3 0；4 122021020,b41；5 122021120,
16、b5 0；6 122121020，b6 0，b71,b81，b2+b4+b6+b8=；（2）由（1）知 cm的最大值为.二、解答题1、【解析】（1）由题意可知r1A1.2，r2A 1.2，c1A1.1，c2A 0.7，c3A 1.8kA 0.7（2）先用反证法证明kA1：若kA1则|c1A|a 1|a 11，a 0同理可知b 0，a b 0由题目所有数和为0即a b c 1c 1 a b 1与题目条件矛盾kA1易知当a b 0时，kA1存在kA的最大值为 1（3）kA的最大值为2t 1.t 22t 1首先构造满足k(A)的A ai,j(i 1,2,j 1,2,.,2t 1)：t 2t 1，a1
17、,1 a1,2.a1,t1,a1,t1 a1,t2.a1,2t1 t 2a2,1 a2,2t2t 1.a2,t,a2,t1 a2,t2.a2,2t1 1.t(t 2)经计算知，A中每个元素的绝对值都小于 1，所有元素之和为0，且|r1(A)|r2(A)|2t 1，t 2t2t 1t 12t 1|c1(A)|c2(A)|.|ct(A)|11，t(t 2)t 2t 2|ct1(A)|ct2(A)|.|c2t1(A)|1t 12t 1.t 2t 2下面证明2t 1是最大值.若不然，则存在一个数表AS(2,2t 1)，t 2使得k(A)x 2t 1.t 2由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值
18、都不小于x，而两个绝对值不超过 1 的数的和，其绝对值不超过 2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间x,2中.由于x 1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x1.设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g h，则g t,h t 1.另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t 1个负数，每个正数的绝对值不超过 1（即每个正数均不超过 1），每个负数的绝对值不小于x1（即每个负数均不超过1x）.因此|r1(A)|r1(A)t1(t 1)(1x)2t 1(t 1)x x2t1(t
19、2)x x，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾.因此kA的最大值为2t 1.t 2bna b，an1n2n2=ananbnbn1 b 1nan22 2、【答案】【答案】解：（1）bn11。bn1an122 bn bn1 bn bn bn1。11nN*。aann1anan an22222 bn数列是以an 1 为公差的等差数列。（2）an0，bn0，anbn22 an2bn2anbn2。10知q0，下面用反证法证明q=1若q1,则a1=a2logq2，2a1时，an1 a1qn2，与（）矛盾。若0qa21，当nlogqq1时，an1 a1qn1，与（）矛a1盾。综上所述，q=1。an a
20、1nN*，11，于是b1b2b3。a1的等比数列。2，则又由an1anbnanbn22即a1a1bna12bn2，得bn=a1 a122a12a121。2b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1b2b3矛盾。a1=bn=2。22222 22=2。1a1=b2=2。【考点】【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】【解析】（1）根据题设an1 b bn11nan1an2anbnanbn222和bn112bn，求出an b b，从而证明n1n1而得证。an1an（2）根据基本不等式得到1an1等比数列an的公比q=1。从而得到an a1nN*的结论，再由bn12a1anbnanbn22用反证法证明2，2 bn2=bn知bn是公比是ana1的等比数列。最后用反证法求出a1=b2=2。