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1、07 圆锥曲线 一、选择题 1（北京 3）“双曲线的方程为221916xy”是“双曲线的准线方程为95x ”的（A ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2（福建 12）双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为（B ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+）D.3，+3（宁夏 2）双曲线221102xy的焦距为（D ）A3 2 B4 2 C3 3 D4 3 4（湖南 10）双曲线)0,0(12222babyax的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离
2、相等，则双曲线离心率的取值范围是(C )A(1,2 B 2,)C(1,21 D 21,)5（江西 7）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A(0,1)B1(0,2 C2(0,)2 D2,1)2 6（辽宁 11）已知双曲线22291(0)ym xm的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m（D ）A1 B2 C3 D4 7（全国11）设ABC是等腰三角形，120ABC，则以AB，为焦点且过点C的双曲线的离心率为（B ）A221 B 231 C 21 D31 8（上海 12）设p是椭圆2212516xy上的点 若12FF，是椭圆的
3、两个焦点，则12PFPF等于（D ）A4 B5 C8 D10 9（四川 11）已知双曲线22:1916xyC的左右焦点分别为12,F F，P为C的右支上一点，且212PFFF，则12PF F的面积等于(C)（）24 （）36 （）48 （）96 10(天津 7)设椭圆22221(00)xymnmn，的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（B ）A2211216xy B2211612xy C2214864xy D2216448xy 11（浙江 8）若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是(D)（A）3 （B）5 （C）3
4、（D）5 12(重庆 8)若双曲线2221613xyp的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则 p 的值为(C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)42 13(湖北 10).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆形轨道绕月飞行，若用12c和22c分别表示椭圆轨道 I 和的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道 I 和的长轴的长，给出下列式子：1122;acac1122;acac12
5、1 2;c aa c1212.ccaa 其中正确式子的序号是 (B)A.B.C.D.14(陕西 9)双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（B ）A6 B3 C2 D33 二、填空题 1（安徽 14）已知双曲线22112xynn的离心率是3。则n 4 2（宁夏 15）过椭圆22154xy的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于AB，两点，O为坐标原点，则OAB的面积为 53 3（江苏 12）在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222babyax的焦距为 2，以 O 为圆心，a为半径的
6、圆，过点0,2ca作圆的两切线互相垂直，则离心率e=22 4（江西 14）已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线方程为33yx，若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为 223144xy 5（全国14）已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 12 6（全国15）在ABC中，90A，3tan4B 若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 12 7（全国15）已知F是抛物线24Cyx：的焦点，AB，是C上的两个点，线段 AB 的中点为(2 2)M，则ABF的面积等于 2 8(山东 13)已知圆22:6480C xyxy以
7、圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 221412xy 9（上海 6）若直线10axy 经过抛物线24yx的焦点，则实数a -1 10（浙江 13）已知21FF、为椭圆192522yx的两个焦点，过1F的直线交椭圆于 A、B两点 若1222BFAF，则AB=。8 三、解答题 1（安徽 22）（本小题满分 14 分）设椭圆2222:1(0)xyCabab其相应于焦点(2,0)F的准线方程为4x.（）求椭圆C的方程；（）已知过点1(2,0)F 倾斜角为的直线交椭圆C于,A B两点，求证：24 22ABCOS;（）过点1(2,0)F 作两条互相垂直的直
8、线分别交椭圆C于,A B和,D E,求ABDE 的最小值 解：（1）由题意得：2222222844caacbabc 椭圆C的方程为22184xy (2)方法一：由（1）知1(2,0)F 是椭圆C的左焦点，离心率22e 设l为椭圆的左准线。则:4l x 作1111,AAlA BBlB于于，l与x轴交于点 H(如图)点 A 在椭圆上 1122AFAA 112(cos)2FHAF 122cos2AF 122cosAF 同理 122cosBF 112224 22cos2cos2cosABAFBF。方法二：当2时，记tank，则:(2)AB yk x 将其代入方程 2228xy 得 2222(12)88
9、(1)0kxk xk 设 1122(,),(,)A x yB xy，则12,x x是此二次方程的两个根.2212122288(1),.1212kkxxx xkk 2222221212121212()()(1)()(1)()4ABxxyykxxkxxx x 22222222832(1)4 2(1)(1)()121212kkkkkkk .(1)22tan,k代入（1）式得 24 22cosAB .(2)当2时，2 2AB 仍满足（2）式。24 22cosAB（3）设直线AB的倾斜角为，由于,DEAB由（2）可得 24 22cosAB ，24 22sinDE 222224 24 212 212 21
10、2cos2sin2sincos2sin 24ABDE 当344或时，ABDE取得最小值16 23 2（北京 19）（本小题共 14 分）已知ABC的顶点AB，在椭圆2234xy上，C在直线2lyx：上，且ABl（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当90ABC，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程 解：（）因为ABl，且AB边通过点(0 0)，所以AB所在直线的方程为yx 设AB，两点坐标分别为1122()()xyxy，由2234xyyx，得1x 所以1222 2ABxx 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离 所以2h，122ABCSAB h（）设AB所在直线
11、的方程为yxm，由2234xyyxm，得2246340 xmxm 因为AB，在椭圆上，所以212640m 设AB，两点坐标分别为1122()()xyxy，则1232mxx，212344mx x，所以21232622mABxx 又因为BC的长等于点(0)m，到直线l的距离，即22mBC 所以22222210(1)11ACABBCmmm 所以当1m 时，AC边最长，（这时12640 ）此时AB所在直线的方程为1yx 3(福建 22)（本小题满分 14 分）如图，椭圆2222:1xyCab（ab0）的一个焦点为 F(1,0)，且过点（2，0）.（）求椭圆 C 的方程；（）若 AB 为垂直于 x 轴的
12、动弦，直线 l:x=4 与 x 轴交于点 N，直线 AF 与 BN 交于点 M.()求证：点 M 恒在椭圆 C 上；()求AMN 面积的最大值.解法一：（）由题设 a=2,c=1,从而 b2=a2-c2=3,所以椭圆 C 前方程为13422yx.()(i)由题意得 F(1,0),N(4,0).设 A(m,n),则 B(m,-n)(n0),3422nm=1.AF 与 BN 的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.设 M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0,n(x0-4)+(m-4)y0=0,由，得 x0=523,52850mnymm.所以
13、点 M 恒在椭圆 G 上.()设 AM 的方程为 x=xy+1,代入3422yx1 得（3t2+4）y2+6ty-9=0.设 A(x1,y1),M（x2，y2），则有：y1+y2=.439,4362212tyyxx|y1-y2|=.4333 344)(2221221ttyyyy 令 3t2+4=(4),则 1)52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(34222222222222222020mmmmnmmnmmmnmmyx由于|y1-y2|，）（）（412113411341 3432 因为4，0|PN|,故 P 为双曲线右支上的点，所以
14、|PM|=|PN|+2.将代入，得 2|PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=117117,44舍去,所以 A B O Q y x l M H l1|PN|=1174.因为双曲线的离心率 e=ca=2,直线 l:x=12是双曲线的右准线，故|PNd=e=2,所以 d=12|PN|,因此 2|2|4|4|117|PMPMPNPNdPNPN 解法：设 P（x,y），因|PN|1 知|PM|=2|PN|22|PN|PN|,故 P 在双曲线右支上，所以 x1.由双曲线方程有 y2=3x2-3.因此 22222|(2)(2)33441.PNxyxxxx 从而由|PM|=2|PN|2得 2x+1=2(
15、4x2-4x+1)，即 8x2-10 x+1=0.所以 x=5178(舍去 x=5178).有|PM|=2x+1=9174 d=x-12=1178.故|9178117.4117PMd 18(湖北 20)（本小题满分 13 分）已知双同线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点为:(2,0),:(2,0),(3,7)FFP点 的曲线 C 上.（）求双曲线 C 的方程；（）记 O 为坐标原点，过点 Q(0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，若OEF 的面积为2 2,求直线 l 的方程()解法 1：依题意，由 a2+b2=4，得双曲线方程为142222ayax（0a24，
16、将点（3，7）代入上式，得147922aa.解得 a2=18（舍去）或 a22，故所求双曲线方程为.12222yx 解法 2：依题意得，双曲线的半焦距 c=2.2a=|PF1|PF2|=,22)7()23()7()23(2222 a2=2，b2=c2a2=2.双曲线 C 的方程为.12222yx()解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,33,10)1(64)4(,01222，kkkkk k(1,3)(1,3).设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得 x1+x
17、2=,16,142212kxxkk于是|EF|=2212221221)(1()()(xxkyyxx=|1|32214)(1222212212kkkxxxxk 而原点 O 到直线 l 的距离 d212k,SOEF=.|1|322|1|32211221|21222222kkkkkkEFd 若 SOEF22，即,0222|1|3222422kkkk解得 k=2,满足.故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y=22 x和.22 xy 解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理，得(1k2)x24kx60.直线 l 与比曲线 C 相交于不同的两点 E、F，
18、.33,10)1(64)4(,01222，kkkkk k(1,3)(1,3).设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得|x1x2|1|322|1|4)(22221221kkkxxxx.当 E、F 在同一支上时（如图 1 所示），SOEF|SOQFSOQE|=|21|212121xxOQxxOQ；当 E、F 在不同支上时（如图 2 所示），SOEFSOQFSOQE.|21|)|(|212121xxOQxxOQ 综上得 SOEF|2121xxOQ，于是 由|OQ|2 及式，得 SOEF|1|32222kk.若 SOEF22，即0222|1|3222422kkkk,解得 k=2,满足.故满足
19、条件的直线 l 有两条，基方程分别为 y=22 x和 y=.22 18(陕西 21)（本小题满分 12 分）已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使0NA NB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由 解 法 一：（）如 图，设211(2)A xx，222(2)B xx，把2ykx代 入22yx得2220 xkx，由韦达定理得122kxx，121x x ，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkym x，将22yx代入上式
20、得222048mkkxmx，直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk 即lAB（）假设存在实数k，使0NA NB，则NANB，又M是AB的中点，1|2MNAB 由（）知121212111()(22)()4222Myyykxkxk xx 22142224kk MN x轴，22216|2488MNkkkMNyy 又222121212|1|1()4ABkxxkxxx x 2222114(1)11622kkkk 22216111684kkk，解得2k 即存在2k ，使0NA NB x A y 1 1 2 M N B O 解法二：（）如图，设221122(2)(2)A x
21、xB xx，把2ykx代入22yx得 2220 xkx由韦达定理得121212kxxx x，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，22yx，4yx，抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk，lAB （）假设存在实数k，使0NA NB 由（）知22221122224848kkkkNAxxNBxx，则 22221212224488kkkkNA NBxxxx 222212124441616kkkkxxxx 1212144444kkkkxxxx 221212121214()4164kkkx xxxx xk xx 22114(1)421624kkkkkk 22313164kk 0，21016k，23304k，解得2k 即存在2k ，使0NA NB