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1、2008年全国高考数学试题汇编圆锥曲线一、选择题1.（天津理科5）设 椭 圆 二+J=1（?1）上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦m m-1点的距离为1,则P点到右准线的距离为（B）1 2 A.6 B.2 C.D.-2 72 22.（天津文科7）设 椭 圆 二+与=l（m 0,0）的右焦点与抛物线丁=8*的焦点相同,m n离心率为J _,则此椭圆的方程为2B)A.12 16B.3=116 12C.2 2x.y48 6464 483.（江西文、理科7）已知凡、F2是椭圆的两个焦点.满足用6 -MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C)A.(0,1)一 1B.(0,2C.(0,争
2、D.V2 1)2 24.（上 海 文 科12）设尸是椭圆去+需=1上 的 点.若 玛、F2是椭圆的两个焦点，则IP K I+IP K 借于（D）A.4 B.5 C.85.（湖北文、理科10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道HI绕月飞行，若用2cl和2c2分别表示椭轨道I和I I的焦距，用2al和2a2分别表示椭圆轨道I和I I的长轴的长，给出下列式子：Ol+c i=a2+c2；。10;2 山a
3、 a26.其中正确式子的序号是A.B.(B)C.D.（全国2文）设A B C是等腰三角形,N A 8C =120,则以A B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（）1 +V2业 C.1+62D.1 +V37.（全国2理9）设。1,则双曲线二一一J=1的离心率e的取值范围是（）a（a+1）A.（0,2）B.（V2，A/5）C.（2,5）D.（2,石）8.（福建文1 2理11）双曲线 与=1（a 0,b 0）的 两 个 焦 点 为F2,若P为其a b 上一点，且|P FI|=2|P F 2|，则双曲线离心率的取值范围为（）A.（1,3）B.（1,3 C.（3,+8）D.3,+00）9.（辽宁文6）设P
4、为曲线C：y=F+2 x +3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取TT值 范 围 为0,-,则点P横坐标的取值范围为（）_ 4_A.-L-B.1,0 C.。,1 D.,11 0.（辽 宁 文11）已知双曲线9 y2一加2 =（m 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1，则加=（）5A.1 B.2 C.3 D.41 1.（辽宁理10）已知点P是抛物线丁=2 x上的一个动点，则点P到 点（0,2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A.B.3 C.5/5 D.21 2.（浙江理7）2 2若双曲线-=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线a b 的离心率是（)A.3B.5
5、C.73D.61 3.（陕西理8）双曲线二 二=1 （a0,b 0）的左、右焦点分别是耳，居，过 a b作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若 A/与 垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A.A/6 B.5/3 C.5/2 D.31 4.（海南理宁夏1 1）已知点P 在抛物线丁=4%上，那么点P到点。（2,-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P的坐标为（）A.B.C.（1,2）D.（b-2）2 21 5 .（海南文宁夏2）双 曲 线 二 一 二=1的焦距为（）1 0 2A.3&B.42 C.3 6 D.4 百y2 V21 6.（湖 南 理 8）若双曲线三一 七=1 （a
6、 0,6 0）上横坐标为二的点到右焦点的距离a2 b-2大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（B ）A.（1,2）B.（2,+o o）C.（1,5）D.（5,+o o）2 2x y 117.（湖南文1 0）若双曲线/一 万=1 （。0,匕0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）A.（1,忘 B.血,+8）C.（1，V 2+1 D.&+1,+8）2 久 21 8.（重庆文8）若 双 曲 线 工-W=1 的左焦点在抛物线丁=2 川的准线上，则 的值3 P为（）A.2 B.3 C.4 D.4A/22 21 9.（重庆理8）已知双曲线二 一 二=1
7、（。0,。0）的一条渐近线为了 =质（0）,离a b心率 =瓜,则双曲线方程为（)A -x-y-二 1 R .x.-y-1t2 A 2 1 D,2 zr 2 1a 4 矿 a 5a2 2 2 2x y x yC/一后T 一万二12 0 .（北京文3）“双曲线的方程为x2二 v2工=1 ”是“双曲线的准线方程为x =9”的（）9 1 6 5A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2 1 .（北京理4）若点P 到直线X=-l 的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P 的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线二、填空题X2 V22 2 .（湖
8、南理科1 2）已知 椭 圆 二+:=1 （a b 0）的右焦点为F,右准线为/,离心率ea b=且.过 顶 点 4 0 力）作 4乂，/,垂足为M,则直线F M的斜率等于_.答案：-522 3 .（浙江理科1 2 文 科 1 3）已知耳，国 为椭圆 +/=1的两个焦点，过耳的直线交椭圆于A B两 点,若|乙 胃+但 用=1 2,贝 4 4 同=.答案：82 4.（宁夏海南文科1 5）过椭圆土 +”=1的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于5 4两点，。为坐标原点，则 0 4 8 的面积为.答案：-32 22 5.（江苏1 2）在平面直角坐标系中，椭 圆=+=1（。匕 0）的焦距为2,以 O为
9、圆a b/2 心，a为半径的圆，过 点 幺,0作圆的两切线互相垂直，则离心率e=.【解析】如图，切线 外、P8 互相垂直，又半径。口垂直于 外,所以 O AP是等腰直角三角形，故又 =/,解得e =立c a 2【答案】232 6.（全 国I文科15）在ABC中，乙4=90,ta n B=-.若以A、B为焦点的椭圆经过点4C,则该椭圆的离心率e=.答案：-.不妨设2c=AB=4,A C=3,则CB=5,由椭圆定义可得2a=AC+CB=8,2_ 2c于是e=2a727.（全 国I理科15）在ZXABC中，AB=BC,cosB=-.若以A,B为焦点的椭圆18经过点C,则该椭圆的离心率e=.37答 案
10、：二 .设 AB=BC=,cosB=一一 则81825AC?=AB2+BC?-2AB-BC cos B=928.（上海理科10）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2 a,短轴长为2 b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为生、必，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该 海 域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为61、。2,那么船 只 已 进 入 该 浅 水 区 的 判 别 条 件 是.答案：Zncot 6 1+62cot。2这2a.29.（全 国2文15）.已知产是抛物线C：y 2=4
11、x的焦点，A 3是C上的两个点，线段AB的中点为M（2,2）,则A B F的面积等于.15.230.（全国I文14）已知抛物线y=1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为_ 1 4.-231.（全国理1114）已知抛物线y=的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个 交 点 为 顶 点 的 三 角 形 面 积 为.14.232.（全 国2理15）已知产是抛物线C:9=4%的焦点，过/且 斜 率 为1的直线交C于A 8两 点.设|4|忻目，则与目 的比值等于.15.3+2近3 3.（山 东 文）0,8 0）的两条渐近线方程为y =走x,若a b 3x2 3 y 2
12、顶点到渐近线的距离为L 则双曲线的方程为_.1 4.-4 43 6 .（江 西 理 1 5）过抛物线f=2py（p 0）的焦点尸作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A 8两 点（点 A 在 y轴左侧），则瑞=.1 5.12 23 7.（海南理宁夏1 4）设双曲线-上=1 的右顶点为4右焦点为F.过点F 平行双曲线的9 1 63 2一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则 AFB 的面积为.1 4.152 23 8 .（海南文宁夏1 5）过椭圆+：=1 的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于A 8两点，。为坐标原点，则 0 4 8 的面积为.1 5.-33 9 .（天 津 理 1 3）已知圆C
13、的圆心与抛物线y 2=4 x 的焦点关于直线y =x对 称，直线4 x-3 y-2=0与 圆 C相 交 于 A 8 两 点，且|钻|=6 ,则 圆。的 方 程为.1 3.x2+（y-l）2=1 04 0 .（天 津 文 1 5）.已 知 圆。的 圆 心 与 点 P（2,1）关 于 直 线 y =x +l 对 称.直 线3 x+4 y 1 1 =0 与 圆 C 相 交 于 A,8 两 点，且|A B|=6 ,则 圆 C 的 方 程为.1 5.f+（y +）2=84 1 .（上 海 文 6 ）若 直 线 办-y +l =0经 过 抛 物 线 F=4尤 的 焦 点，则 实 数a=.6.-I三、解答题
14、4 2.(湖南文科1 9)己知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为4(4 4).(I )求椭圆的方程；(I I)若存在过点A Q O)的直线/,使点F关于直线/的对称点在椭圆上，求 A的取值范围.2 2解：(I)设椭圆的方程为+=i g b o).a b2由条件知 c=2,且-=A,所以。2=入，b2=a2c2=A 4.故椭圆的方程是 +-=1(2 4).2 2-4(I I)依题意，直线/的斜率存在且不为0,记为k,则直线/的方程是y=k(x 1).设点F(2,0)关于直线/的对称点为F (x ,y o),则及二屋2 2 _ 1),2 2.%-2*0=解得4,所以(A
15、-4)22(2-4)0.A =4 Z2(/l-6)2+4/l(/l-4)3 0,-2 A(2-6)02(2-4)解得4 4 0,椭圆方程为%2 y=1,抛物线方程为/=8(y ).如图4所示，过点F(0,b +2)作 X 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F i.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2)设 4 8分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使得A B P为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).【解析】(1)由7=8。一。)得丁=8当 =。+2得=4,，G 点的坐标为(
16、4,b+2),y =：x,y l=4=i，过点G的切线方程为y s+2)=x 4即y=x+02,令y=0得x=2乩 二 点的坐标为(2-。,0),由椭圆方程得点的坐标为(仇0),Y2；.2匕=b即匕=1,即椭圆和抛物线的方程分别为万+y 2=i和x2=8(y l)；(2)过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点尸，.以NR43为 直 角 的 只 有一个，同理，以NPBA为直角的放AA6P只有一个.若以Z4PB为直角，设P点坐标为(x-Y+l),A、8两点的坐标分别为(-0,0)和8(72,0),P A P Bx2-2 +(-x2+l)2=X4+-X2-1=0.8 64 4关于f的二次方程有一大于零
17、的解，有两解，即以NA/归为直角的心AA3尸有两个，因此抛物线上存在四个点使得AAB尸为直角三角形.44.(北京文科19)己知 ABC的顶点A 3在椭圆f+3 y 2=4上，C在直线/：y =x+2上，且A6/.(I)当AB边通过坐标原点。时，求A 8的长及 4的面积；(I I)当NABC=9 0,且斜边AC的长最大时，求A 3所在直线的方程.解：(I)因为A8/,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为片X.设4 8两点坐标分别为(xi,yi),仅2/2).x2+3y2=4,由 得=1,y=x所以|4即=也 归 司=2拉.又因为A B边上的高h等于原点到直线/的距离，所以 h=V2
18、.S ABC=h=2.(II)设AB所在直线的方程为y=x+m.由 0.设 A,B两点坐标分别为(xi,yi),(x2,y2).所以IA卸=y/2 xt-x2|=32-所以|AC f =|AB|2+|BC|2=-m2-2 m +10=-(+l)2+ll.所以当m=l时，AC边 最 长.(这 时=12+6 4 X)此时AB所在直线方程为y=x-i.4 5.(北京理科1 9)已知菱形A8CO 的顶点A,C 在椭圆f+3 2 =4 上，对角线3。所在直线的斜率为1.(I)当直线8。过点(0,1)时，求直线A C 的方程；(H)当N/U3C=6 0 时，求菱形A 3 C 0 面积的最大值.解：(I)由
19、题意得直线直线B D 的方程为y=x+l.因为四边形A8CD为菱形，所以ACL8D.于是可设直线A C的方程为y=-x+n 得 4x2 6nx+3 n2-4 =0.y=-x +n因为4 C在椭圆上,所以=T 2“2+64 O,解得-.设 A,C两点坐标分别为(xi,力)，(x2),n l3 3/-4贝 i j%+工2 =,XjX2=-,y =-%j+n,y2=-x2+n.n所以X+%=5所以AC的中点坐标为由四边形A8CD为菱形可知,所 以 乌=加+1,解得=-2.4 4所以直线AC的方程为y=-x 2,即x+y+2=0.(I I)因为四边形ABCD为菱形，且N A B C =60。,所以|A
20、 B|=|B C|=|C 4|.所以菱形A8CD的面积S=。2 由(I)可得=(%/)2+(=_%=所以当=0时，菱形A8CD的面积取得最大值4后.x2 y24 6.(宁夏海南理科2 0)在直角坐标系X。中，椭圆G ：%+J=l(a 6 0)的左右焦点分别为，行尸2也是抛物线。2 :产=4%的焦点，点M为G与G在第一象限的交点，且12 1=|.求G的方程；(II)平面上的点N满足=,直线1/M N,且与G交于A、B两点，若。4 06=0,求直线/的方程.解：由题意得c=l,所以/=b2+L .2Q由 抛 物 线 定 义 知 所 以4 8代入椭圆方程得一T+二=1.9a 2 3/由解得按=3(8
21、/9舍去)，a2=4./y 2所以椭圆G的方程是亍+：=L(ll)M N =M F,+M F2=(-l-,O-+(1 ,0 -3因为直线/MN,所 以 勺=遥.设 直 线=+代入椭圆方程得2 7 r +8而n x +4/-1 2 =0.设A,B两点坐标分别为C xi,y i),(X2 j 2)，PliJ A =(8V 6m)2-4 x 2 7 x(4 m2-1 2)0 ,故加？2 7 .因为X1 +87 64加2-1 2 2 7 所以 Y%=(娓X+m)(/6x2+rri)=6 -x2+V6 m(x(+x2)+m2.因为OA08=O,所以玉+y ,%=o.故7百2 +J%(玉+工2)+/=0
22、即_ 4 m2-1 2 /7 /8/6 、2 八7 x-+6 m(-m)+m-=0.2 7 2 7解得加2 =1 2,满足加2 /?0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标C T b 原点.(I)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程;(I I)设 过 点F的 直 线/交 椭 圆 于A、B两点.若直线/绕 点F任 意 转 动,值有O A f+O B f i),因此恒有+.邳2 1明2.(i i)当直线A 8不与x轴重合时,设直线A 8的方程为：X=my+1,代入1,整理得(a2+h2m2)y2+2 b2my+b2-a2b2=0,2 b2m b2-a2b2所以,+%=防川=
23、再斯因为恒有|QA+|OB所以/A O B恒为钝角.即 OA OB=(%,y)(W,%)=XW +x%0 恒成立.X1X2+yty2=(my,+l)(w y2+1)+yy2=(m2+l)yty2+m y+内)+1(n r+1)(/?2-n2/72)2 b2m,a2+b2 n r a2+b2m2-m2a2b2+b2-crb2+a2=-0,所以-m242b2+b2G2b2+。2 a2-a2b2+b2 对 R 恒成立.当 R 时，02b2m2 最小值为 o,所以 a2-a2b2+f a20.a2a2b2-b2,a20,比0,所以。0,.1 +-1 S.,1 4-y/5解 得-或-(舍去)，B P a
24、-,2 2 2综合(i i),。的 取值范围为(上芭，+8).2解法二：(I )同 解法一，(II)解：(i)当直线/垂直于x轴时，力、1 V 2 (/一 1)X=1 代 入 r+言=1，y 丁=-;-=La b a因 为 恒 有|O A 1 2+1。81 2 VM 81 2,2(l+y/)l,即_ -1,a解得a 以 叵 或“上 避(舍去)，即a 上好222(i i)当直线/不垂直于x轴时,设A (x i,y i),B(x2,y 2).x2 y 2设直线AB的方程为y=k(x-l)代入=+=1,a bW(b2+a2k2)x2-2 a2k2x+a1 k2 a2 b2=0,故 Xl+X2=2a2
25、k2a2k2-a2b2b2+a2k2,因 为 恒 有Q A F+l。砰|A 8|2,所 以 x2+J21 +舄+产2 (X2-X1 )2+(y2-y 1)2,得X1 X2+力 力0时,不 合 题意；当 a2-a2 b2+b2=0 时,a=+”;2 当 a2-a2 b2+b20 时，a2-a2(a2-l)+(a2-l)0,解得标 3+屿或标 _6 (舍去)，o ，因止匕I+.2 2 2 2综 合(i)(i i),a的取值范围为(,+oo).24 8.(辽宁理科20)在直角坐标系X。)，中，点P到两点(0,-百),(0,百)的距离之和为4,设点尸的轨迹为。，直线丁=辰+1与。交于4 8两点.(I)
26、写出C的方程；(H )若OAJ.OB,求左的值；(III)若点A在第一象限，证明：当女 0时，恒有10Ab|OB|.(辽宁文科21)在平面直角坐标系xOy中，点P到 两 点(0,6)、(0,V3)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(I)写出C的方程；(II)设直线片kx+1与C交于A、B两点，.k为 何 值 时 而_L而？此时|蕊|的值是多少？【解析】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.解：(I)设P(x,y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0,-6),(0,6)为焦长，长半轴为2的椭圆.它的短半轴b =y
27、j22 s2=1,故曲线C的方程为Y+E =l.43分(I I)设4(须，凹),3(尤2，为)，其坐标满足/+匚1A I J L,o,女2+4。.又女。,故即在题设条件下，恒有|O Ab叫.12分文（I I）设A（x，y）,B（X2,y2）,其坐标满足2 ./X-1-=JL，4y =kx+.消去y并整理得（公+4）x2+2kx-3=0,3故%,+/=一2k产 后 书 一 旧.6分OA OB ,即+PM=。.而=人晨吊+k（xt+x2）+1,于是无i Z +y%=一3 3k 2k2-4公+1公+4 公+4 二+4改2+4+1 =所以=；时，xtx2+yy2=0 ,故 OA _L O8.8分当&=
28、；时，41 2，x,x9=-1 7 -1 7I A 8|=J（%2 办）2 +（%凹）2 =J（1 +r）（工2 X ）2，而（%2 -f=（J C2+X -4%工242透+4 x4 x 3 43X131 7 1 72所以|A B|4 /6 51 712分4 9.（重庆理科2 1）如 图（2 1）图，（2,0）和N（2,0）是平面上的两点，动点P满足:画+网=6.（I）求点P的轨迹方程;(I I)2若|P M|.|P N|=-1 1 1 1 1一 c os M P N，求点P的坐标.解：（I）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2 a=6的椭圆.因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而
29、短半轴b-y ja1 C2=A/5，所以椭圆的方程为 +g =l.9 5(H)由|PMHPN|1-c os M P N1 P M .I c o s MP N=PM -PN -2.因为c o s MPN H l,P不为椭圆长轴顶点，故P、M.N构成三角形.在中，|肱V|=4,由余弦定理有|M A|2=PM f+|P A|2-2 PM -PN c os M PN.将代入，得42=|PM|2+|P A f-2(PM -PN -2).2故点P在以M、N为焦点，实 轴 长 为 的 双 曲 线 上 y 2=i上3由（I）知，点P的坐标又满足 +*=1,所以9 5由方程组5 f+9 y 2 =4 5,x2+
30、3/=3.解得工3百+石 =丁即P点坐标为仲骂(巫_旦)(2，2 、2 2,3 /3 ，3 3 5、(-，)或(-,-).2 2225 0.(全国I I理 科21文 科2 2)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、8(0,1)是它的两个顶点，直线丁 =左乂左0)与48相交于点。，与椭圆相较于E、F两点.(I)若 0 =6。尸，求k的值；(I I)求四边形A EB F面积的最大值.X2 9(I )解：依题设得椭圆的方程为一+：/=1,4 -直线A B,所的方程分别为x +2 y =2,y =(左 0).2分如图，设 D O。，3),E(X9 履),F(X2,kx2),其中工 /，且不，Z满足方程(
31、1 +4/=4,2故/=-%=/J1 +4 /由 E D =6 D F 知元。一玉=6(x2-x0),得 x()=g(6 x2+2由。在AB上知天)+2kx()=2,得/=-所以21 01 +2 4 7 4 1+4&2 化简得2 4公 2 5左+6 =0,2 3解得=一 或%=.6 分3 8(I I )解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点E尸 到AB的距离分别为h_|x,+2kx-2|_ 2(1 +2k+V l+4 2)(V 5 ,5(1+4&2)_|x2+2kx2-2 _ 2(1 +2k-V 1 +4 A:2)九=/=/一 .9 j jV 5 )5(1 +4 公)又M目=也 2+1=6,
32、所 以 四 边 形 的 面 积 为5 网(4+佝)3氐萧言g2(1 +4 2k%2)-_ 2 V l +1 4+k 42公+4 kW 2VL当2 Z=1,即当=，时，上式取等号.所以S的最大值为2 夜.1 2 分2解法二：由题设，忸。|=1,|A 0|=2.设 弘=例，y2=kx2,由得彳20,2=一 1 0,故四边形AE BE 的面积为S-SABEF+S&AEF=+2%.9分=(+2/)2 =也;+4+4/必 W,2(x；+4 y；)=2 7 2 ,当尤2=2%时，上式取等号.所以S的最大值为2 血.1 2 分X2 y25 1.(福建文科2 2)如图，椭圆。：+=1(a b 0)的一个焦点为
33、F(1,O),且过点(2,a b0).(I)求椭圆。的方程；(I I)若 AB为垂直于x轴的动弦，直线/：x =4与x轴交于点N,直线AF 与 8N交于点M.(i )求证：点M 恒在椭圆C 上；(i i)求 AMN面积的最大值.【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分1 4 分.解法一：(I )由题设 a=2,c=l,从而 b2=o2-c2=3,2 2所以椭圆C 前方程为+-=1.4 3(I I)(i)由题意得 F(l,0),N(4,0).IYI n设 则 B(m,-川(n N O),-1-=1.4 3A F 与 B N 的方程分
34、别为：n(x-l)-(m-l)y=O,n(x-4)-(m-4)y=0.设 M(x o,y o),则有n(x0-l)-(m-l)y0=0,n(x0-4)+(/n-4)y0=0,(3)由，得x 0=阳 二,九2m-5 3n2m-5+工 片,%_(5 m 8)2 ,3 2 (5 m-8)2,3 n2出 丁-1-=-7 -T =-T -74 3 4(2加 5尸(2 m-5)2 4(2 加一5 (2 /-5)2(5 m-8)2+12n2 _(5m-8)2+3 6 -9m24(2L5)2-4(2/5)2所以点M恒在椭圆G上.(i i )设AM的方程为x=x y+l,代入一+4=1 得(3 t2+4)y2+
35、6 t y-9=0.设 A(X i,y i),M 3,，2)，则 有：y i+y 2=-，必 y 2 =3/+4 -3r+4I y r/2 1 =y/(y,+y2)2 4y,y24 V 3-V 3 r2+33产+4令 3 t 2+4=X (X 2 4),则I y i-y21=4 7 3 J-(-)2+-=43 l(-)3+-,A A A V A 2 4因为人4,0 b 0）的左、右焦点分别为 白、月，离心率e=也，ar b 2右准线为/,M、N是/上的两个动点，F】M F zN=0.（I）若1 6 M l=|6 N|=2石，求。、人的值；（H）证明：当|M N|取最小值时，M +N与百鸟共线.
36、解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中.开始挤牙膏吧.（I）由己知，6（-c,o）,6（c,o）.由=四，U=L2 a2 2/.a2=2c2.又以2=从+。2,/./?2=c2,a2=2 b2.2:I：x=2c M（2c，x），N（2 c,y2）c c延长NK交“6于尸，记右准线/交x轴于。.：A rg N=0，：，F、M L&N -FtM F2N由平几知识易证RtMQFy丝RIAF-.QN|0N|=|6Q|=3c，|QM|=|外a =c 即 1 y b e，|%|=3c-:忻 闸=归7卜2 6，A 9 c2+c2=20,c2=2,/=2,a2=4.a=2 b /2.(I)另 解:4 M
37、怎N=0，；.(3。,%)(。,)=0,y,y2=-3c2 /=20由整理得：9 c4-209 c2+4 00=0,(c2-2)(9 c2-2(X)=0.解得c?=2.但解此方程组要考倒不少人.(H)V F、M-F2N=(3 c,(c,y2)=0，二%=-3 c?0|M/V|2=|y,-y212=y,2+y22-2y,y2.3-2y%-2y%=f%=12c?当且仅当=_%=&或、2=-乂=辰 时，取 等 号.此 时 取 最 小 值2岳.此时 FtM+F2N=(3 c,V 3 c)+(c,&?)=(4 2/3c 当且仅当弘q即 心g,g士4时取等号.即当网最小时，人士日，此时+N=(3 c,3
38、A c)+(c,-9=(3 c,V 5 c)+(c,&)=(4 c,0)=2耳F,.k 币W +EN与 共 线 点评：本题第一问又用到了平面几何.看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊.注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究.本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点.2 25 4.(四川文科2 2)设椭圆二+=1 3 5 0)的左、右焦点分别是F i和F2,离心率a b 0e =,2点F 2到右准线/的距离为及.(1 )求 外 匕的值；(I I)设M、N是右准线/上两动点，满足七M=0.证明：当M N.取最小值时，F2F1+F2M +F2N
39、0.c解：(1)因为e =2,F 2到/的距离1=巴一c,所以由题设得ac c _ 2 a 解得 c =0a=2.由匕2 =a?-c?=2,得b=V 2.(I I)由 c =&,a=2 得耳(一夜,0),F2(y/2,0).l 的方程为 x =2夜.故可设 M(2y f2,x),N(2 正,y2).由耳W6 =。知2(0 +0,%)(2 0 -0，%)=，得日以=6,所以yiy2 H 0,%=-，yI MN H M-%H M+9 H X I+二 2 2 瓜%I J当且仅当x=V6时，上式取等号，此时丫2=yi,所以，F2F+F2M+F2N=(-2/2,0)+(V2,y.)+(72,y2)=(0
40、,yi+y2)=0.55.（安 徽 理 科22）设 椭 圆C:2+=l（a b 0）过 点M（、后，l,且左焦点为耳（-五,0（I）求椭圆C的方程；（II）当过点P（4,l）的动直线/与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段A8上取点满足,尸川0耳=,。,尸 耳,证 明：点Q总在某定直线上.解（I）由题意：c2=22 1 ,x2 V24 +4 =1 ，解 得 =4/2=2,所求椭圆方程为 +-=1.a2 b24 2c2=a2-b2（II）方法一设点Q、A、8的坐标分别为（x,y）,（X1,y）,（尤2，%）4尸 AQ由题设知,4，|尸9，,。|,|q均不为零，记2=荷=，则20且；IH1.又 A
41、,P,B,Q 四点共线，从而 AP=/IP8,AQ=/IQ8.于是1-2l=)f1-2X _%+2X21 +A)1 +A从而x；-22X j1-22又点A、B在椭圆C上，即x；+2K=4,(1),+2 货=4,(4)(2)(1)+(2)X 2 并 结 合(3),(4)得 4 s +2 y =4 ,=4 x,即点。（龙,丁）总在定直线2 x+y -2 =0上.方法二设点Q（%y）,A（x，y）,3（X 2，y 2），由题设，|巳 4|,|尸目,卜010q均不为零,且PAPBAQQB又 P,A,Q,8 四点共线，可设m=一/1 4。,2 8 =/1 8。（/1#0,1）,于是4 一 几 x1-24
42、 +Ax1 +2，乂1-Ay1-2l +/l y1 +2(1)(2)由于A（不，X）,6（X2，%）在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程f+2 y 2=4,整理得(%2+2/-4)22-4(2 x+y-2)2 +1 4 =0(x2+2 y2-4)储+4(2 x +y -2)4 +1 4 =0(4)-(3)得 8(2 x+y-2)/1 =0,(3)(4)V/l 0,r.2 x+y 2 =0,即点Q（x,y）总在定直线2 x +y -2 =0上.2 25 6.（安徽文科2 2）已知椭圆。：/+方=1（。6 0）,其相应于焦点F（2,0）的准线方程为 x=4.（I ）求椭圆C的方程;(I l
43、 )已知过点&(2,0)倾斜角为。的直线交椭圆C于A,B两点.，求证：A B =(I I I)过点8卜2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E,求|朋|+力|的最小值.c =2L，又。2=+。2,所以。2 =4.a=2 /2解：(I )由已知得=.-=-1 -132+-.-2+-Jtan2 0H-+2tan20当且仅当tai?。=4-即tan8=1时 取 =tan2 9所以|/叫+|。目 的 最 小 值 是 竽 57.（全 国I文22理21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）双曲线的中心为原点。，焦点在x轴上，两条渐近线分别为。12,经过右焦点尸垂直于4的直线分
44、别交小 于4 B两 点.已 知 烟、网、网成等差数列，且与E 4同向.（I）求双曲线的离心率；（I I）设A 8被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.2 2.解：（1）设Q4=加一d,AB=m,OB=m+d由勾股定理可得：（加一 4）2+旭2=（加+）2得：d-m ,tanZAOF-,tanZAOB=tan2ZAOF-4 a OA 32由倍角公式.一“J=上4，解得巳h=上1则离心率e.2（2）过产直线方程为y=0（x c）b2 2与双曲线方程-与=1联立a b将 a=2Z?,c=代 入,化简有r xx+21=04b b出 w“小、i (32回 Y 2 8b2将数值代入，有4=5=-4
45、 15 J 5 _解得。=3尤2 V2最后求得双曲线方程为：-2-=l.36 95 8.(山东理22)(本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x2=2py(p 0),M为直线y=-2 p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A B.(I)求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列；(I I)已知当M点的坐标为(2,2”)时，|4到=4&5.求此时抛物线的方程；(III)是否存在点M,使得点C关于直线A 8的对称点。在抛物线r=2?(0)上，其中，点。满足。=。4+06(。为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.A V ,上-2 pM22.(I)证明：由题意设
46、A B 玉 0,6 0)的两个焦点为(一2,0),居(2,0),点20,不 在矿 b双曲线C上.(I )求双曲线C的方程；(H)记。为坐标原点，过点Q(0,2)的直线/与双曲线C相交于不同的两点E,F,若 O E/的面积为2夜，求直线/的方程.20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.(满分1 3分)2 2(I)解 法1：依题意，由/+廿=4,得双曲线方程为二一一L=i(0 a2 +4 x 6(1 -公)o,-V 3 k0,-y/3ky/3.A r e (-7 3,-1)(-1,
47、1)(1,百).设（%,x）,F（X2,%），则由式得,_|=Ja+引2 _ 4%石 2旧3-H当E,尸在同一支上时（如图1所示），S&OEF=I A O e F AOQE 万I。1MH可|=*。1 归引；当E,R在不同支上时（如图2所示），S&OEF-S&OQF+S&OQE=；|。|酊 西|+同）=g|O Q|x 引.综上得S&OEF=；|O Q|k-|,于是由I O Q|=2及式，_ 2 a 6不传 。印一.若S&OEF=28，即2团 中，3；=2夜=女4 一 左2 一2=0 ,闿解得左=0,满足.故满足条件的直线I有两条，其方程分别为y =J l r+2 和 y =-瓜+2.6 0.(湖
48、北理1 9)(本小题满分1 3 分)如图，在以点。为圆心，4 用=4为直径的半圆A D 8 中，O D L A&P是半圆弧上一点,N P OB=3 0 ,曲线C是满足划 为定值的动点M 的轨迹，且曲线C过点P.(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；C i(I I)设过点。的直线/与曲线C相交于不同的两点E、F./jy若(?尸 的面积不小于2后，求直线/斜率的取值范围.J-1 9.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(满分1 3 分)(I )解 法 1：以。为原点，A B,。所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标
49、系，则 A(-2,0),8(2,0),D(0,2),P(6，l),依题意得4 1 T M 邳=|PA|-|PB|=7(2+)2+12-7(2-V 3)2+l2=2 V 2 A B =4.曲线C是以原点为中心，A、8为焦点的双曲线.设实半轴长为。，虚半轴长为b,半焦距为c,则 c=2,20=2 2,.a2=2,b2=c2 a =2.曲线C的 方 程 为 二-汇=1.2 2解法2：同解法1 建立平面直角坐标系，则依题意可得|M4|-|M5|=|4|-|PB|0,b 0).a b (6)2 I?则由 a2 b2 解得 a2=b2=2,卜+6=4.2 2曲线C的方程为-=1.(I I )解 法 1：依
50、题意，可设直线/的方程为y=k x+2,代入双曲线C的方程并整理得(1 k)x?6 =0.直线/与双曲线C相交于不同的两点、F,1 一 公/0,伏 工1,/.0,-V 3 k2 3 -A2而原点。到直线/的距离d=.,.C _ 1 2 2向3-5 _ 2-6.%。历=左”灯=若 O E R 面积不小于2起，即SQEF,20,则有2乎3 丁,2 夜=)4_)2 _2 W0,解 得-应 W k W 6 .综合，知，直线/的斜率的取值范围为-0,-1)(-1 4)(1,0 .解法2：依题意，可设直线/的方程为y=k x+2,代入双曲线C的方程并整理，得(1 一公)/一4 代一 6 =0.直线/与双曲