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1、20XX年高考试题分类解析（圆锥曲线方程2）3 1.（2 0 X X 年重庆卷）已知一列椭圆Cn:?+=1.0 b l,n=l,2若椭圆C上有一点Pb：使 Pn 到 右 准 线 的 距 离 d是 I B 冗 I 与 I Pna I 的等差中项，其 中F“、心分别是G 的左、右焦点.（I）试证：与w J2（I I ）取bn J ,并用SA表示A PnFGn的面积，试n+2证:S/V S,且 S.V S.+3 （心 3）.图（2 2）图证：（1）由题设及椭圆的几何性质有2dn=PnFn+PnGn=2Mn=l.设。=新 二 京 则 右 准 线 方 程 为尤.4因此，由题意为 应满足-1 tZ,+1.
2、-1 1 1叫，解 之 得Y e,V I,O V e.V l即*V I,V3从而对任意 Ni,，2（I I）设点 的坐 标 为6“,力）,则出4-1及 椭 圆 方 程 易 知4,%=孑（1-嫡=（1-嫡（1-（,-1）2）I得两极1土 旧,从 而 易 知 f（c）在（L,1E）内是增函 数，而 在（1士 尼,6 2 6 61）内是减函数.现在由题设取b=，2 +3,则%=lx_h2=1 -i 一_L,c,是增数列.+2 n+2+2又易知3,1 旧）4c22 =4 -6-5 =c.故由前已证，知 与V S 2,5 5 3）.3 2.（20 XX年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回
3、试验.设计方案如图:航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为X工2+-v2=1,变 轨（即航天器运行轨迹由椭圆1 0 0 25变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、知（，为顶点的抛物线的实线部分，降落点为0（8,0）.观测点A（4,0）、8（6,0）同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（1）设曲线方程为y =o?+里，6 4由题意可知，0=I 64H-.7/.a=-.4 分7/.曲线方程为y =+今.6分（2）设变轨点为C（x,y）,根据题意可知2 2A _ +
4、2L _ i1 0 0 251 2 6 4V =X d-7 7Qy=4 y =-（不合题意，舍去）.y=4.得工=6或3=-6 （不 合 题 意，舍 去）.9分C点 的 坐 标 为（6,4）,.1 1 分|A C|=2 技|B C|=4.答：当观测点A、8测 得A C、B C距离分别为2正、4时，应向航天器发出变轨指令.1 4分3 3.（20 XX年全国卷H）己知抛物线x 2=4 y的焦点为尸，A、8是抛物线上的两动点，且 靠（z 0）.过A、3两点分别作抛物线的切线，设其交点为（I ）证 明 品 启 为 定 值；（I I）设 的 面 积 为S,写出S=/U）的表达式，并求S的最小值.解：（I
5、）由已知条件,得尸（0,1）,2 0.设4（为，yi）,8（x 2，J2）-由AF=%FB,即得（一X i，1 y）=，X 2，竺一1），-X|AX2 1一%=，乃1）将式两边平方并把X=x/，丫 2=%2 2 代入得 力=不”解、式得），1=九 y2=7 且有处处=一&2 2=-4*2=4,A抛物线方程为y=%2,求导得y，=%.所以过抛物线上A、8两点的切线方程分别是y=x（x-x1）+y9 =卧 2。一 九 2）十”，日 n 1 1 2 1 1 2即 y=2x,x 4X,*y=Y2 X 4X 2 解出两条切线的交点M 的坐标为苧）=（乜 产，-1）.4分所 以 扁.盗=（丐 至，-2 3
6、为，7 2-y 1）=1（JC22-T 12）-2（|x22-1%12）=0所 以 品 京 为 定 值，其值为0.7分（1 1）由（I ）知在 ABM 中，F M 1.A B,因而 S=A B FM.FM-X+x 2工）2+（2）2=q|x i2+|r22+|i 2+4力+2+3 义（-4）+4因为|AQ、山川分别等于4、2到抛物线准线y=-1 的距离，所以|AB|=|AQ +|8n=乃+丫2+2=2+:+2=（啦于是 S=.B|F M=（1+七 旧,由班+92知 S 2 4,且当2=1 时，S取得最小值4.3 4.（2 0 X X 年四川卷）已知两定点卜 血,0）,6（夜,0）,满足条件0玛
7、卜忸耳卜2的点尸的轨迹是曲线E,直线丁 =依 一 1 与曲线E 交于A,B 两点，如果|AB|=6G，且曲线E 上存在点C,使 Q 4 =O B =m OC,求 利 的值和A A 8C 的面积工解析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满 分 1 2 分。解：由双曲线的定义可知，曲线E 是以耳卜四,0）,巴（友,0）为焦点的双曲线的左支，且。=0,a=1,易知b =l故曲线E 的方程为x2-/=l（x0-2k 八X,+X9=-7 01-k2解得又:AB=Jl +人一 引=Jl +1 2，J(%1 +/)2 你
8、？2 0 +(2 m)V (1-4依 题 意 得2 0 +町Q 一巧=6 6 整 理 后 得2 8/5 5/+2 5 =0V (11./=2或2 =2 但 一0 女一1:.k=一 旦7 4 2故 直 线 的 方 程 为Y 5 x+y +l =O2设。（七,第），由己知。4+。8=，。，得（%,%）+（心%）=（侬”阳0）：.（吟 即%）=j.+W ,人+%,（加。0）V m m J2&f 2&2 2又%+%2 =prj =-4j5，X+上=A（X|+X 2）-2 =J-2=J =8.占/-4 石 8、km tn,将点C的坐标代入曲线E的方程，得 驾 -=m m得加=4,但当相=-4时，所得的点
9、在双曲线的右支上，不合题意m =4,C点的坐标为（一J i,2）C到A8的 距 离 为 冬 卜 孙2 +1 /.A 4 8 C的面积S=L x 6 j J x =g2 335.（2 0X X年全国卷I）在平面直角坐标系x O y中，有一个 以 网0,-码 和 入 伍，司为焦点、离心率为正的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上，C在点P处2的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量QM =O A +OB。求:（I ）点M的轨迹方程;（II）|。加|的最小值。解：（I）根据题意，椭圆半焦距长为内，半长轴长为“=7 =2半短轴长方=1即椭2圆的方程为“+4o e 一设点尸坐标为（c o
10、s。，2 s in。）（其中 2 ）,则切线C 的方程为:yx c os 6+s in 9=l21点 A坐标为：（c os。，0）,点 B坐 标 为（0,2s in。)1 2点 M 坐标为：（c os。，s in。）g(e)=（ii）等价于求函数，伊）一所以点M 的轨迹方程为:220 0 o 且 y o）1 +t a n2 0+4(l+c ot2 0=t a n20+59)t a n2 0o 4t a n 0 -i-当 t a n2 0时等号成立，此时即t a n。=及。因此，点 M 坐 标 为（6后）时，所求最小值为 M L=小=3。36.（2 0X X 年江苏卷）已知三点 P （5,2）、
11、8（-6,0）、F2（6,0）（I）求以用、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（II）设点P、片、尸 2 关于直线y=x的对称点分别为P、F；、F2,求以F；、尸 2 为焦点且过点P的双曲线的标准方程。2 2解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为二+4=1 （。人 0）,其半焦距c =6。a h2 a =|I +1 PF2|=V l l2+22+V l2+22=65/5,=37 5,r2 v2b2=a2-c2=4 5-3 6 =9,故所求椭圆的标准方程为一+乙=1 ；45 9（II）点 P（5,2）、尸 （一6,0）、尸 2 （6,0）关于直线y=x 的对称点分别为：P （2,5）、（0
12、,-6）、F2（0,6）2 2设所求双曲线的标准方程为 J-3=l （/0,0）,由题意知半焦距j=6,i2 a l =|耳|一|+,|=，112+2 2 -JF+22=4 氐：.4 =2也,2 2b：=c.2-a,2=3 6-20=1 6,故所求双曲线的标准方程为乙-工=1。1 1 1 2 0 16点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力37.（20XX年湖北卷）设A、8分 别 为 椭 圆 生 （。，/（的 左、右顶点，椭圆长a2 b2半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线.（I）求椭圆的方程；（II）设P为右准线上不同于点（4,0）的任意一点，若
13、直线4 P、8 P分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明点8在以M N为直径的圆内.（此题不要求在答题卡上画图）解析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解：（I）依题意得a=2c,=4,解得a=2,c=1,从而bc2 2.故椭圆的方程为二+二=1.4 3（II）解法 1：由（I）得 A（-2,0）,B（2,0）.设 M（必，必）.3：M点在椭圆上，.=-（4x j）.4又点M异于顶点A、B,：.-2x0 0,则NMBP为锐角，从而NMBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法 2：由（I）得 A（2,0）,B（2
14、,0）.设 M 3,以），N（历，*），则一2v/2,-2X2 2,又MN的中点Q的坐标为（A-,%+乃）,2 2依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差怛0|2 T政v/二（三产2）2+（无三）2 _*一必）2 +3一”力（X12）（x2 2）+yij7又直线AP的方程为y=工 一（X+2）,直线BP的方程为y=/一（X-2）,玉 +2 x2-2而点两直线AP与BP的交点P在准线x=4上,=即竺=3(2)y$+2 2%)+2又点M 在椭圆上，则 工+$一=1,即32=(4 一七2)4 3 4于是将、代 入 ，化简后可得|B Q 一JMN =：(2一再)5 2-2)b 0)的右焦点F (c,0
15、),过点Fa b 的一动直线m 绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点(1)求点P的轨迹H的方程万(2)在 Q 的方程中，令 a2=l+cos 0+s i n。，b=s i n0(0 G y ),确定0的值，使原点距椭圆的右准线/最远，此时，设/与 x轴交点为D,当直线m 绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？*2X j-x2 a y x-c/.b2x2+a2y2b2cx=0.(3)2。当 AB垂直于x 轴时，点 P即为点F,满足方程(3)-故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0(2)因为，椭 圆 Q右准线/方程是乂=一，原点c2的 距 离 为 匕，
16、由于 c?=a2 b a2=1 +cos 0+s i nO,b2=s i n0C,c TC、(0 0 b 0)a b上的点A (x i，y )、B(X 2，y 2)，又设P点坐标为P (x,y),则b2x +a2y =a2b2b2X j+a2y 2=a2b2(1)(2)1。当 AB不垂直x轴 时,x i#X 2,由(1)一 (2)得b2(X|X 2)2 x+a2(y iy 2)2 y=0.y i-y2_b2x y距/1 ,1 1S=Q ly d+-|y2|=-I y i-y 2 lx2设直线m的方程为x=k y+l,代入,+y 2=l中，得(2+k2)y2+2 k y-l=0由韦达定理得y i
17、+y 2=2 k 12+k2 y i Y 2 _ 2+k22 /、2 /I、2 8 (k2+l)4 s =(y j y 2)(y i+y 2)-4 W丫2=五2+2)2令 1=1?+后1,得 4 s 2=8 t8(t+l)2 t+l+2tQ2 b-+a2k-h2+a2 a/+/b综上,得到 OP OQ=xtx2+%a3h2 a2h2(b-a)a3+h3+a3+b3a2b3TTP-注 意 至Il a?-a。+万1=储=26,得OP OQ=a2b3 _ a2 b：_ aba3+Z?3(a+b)2 A2 2(a+Z?)ac2 _ a2(。+b)2(a+b)（/一）.（储-）=（a2-c2）=b1.2
18、 24 0.（2 0 X X年辽宁卷）已知点4%,凹），8（左2，%）（5%2。）是抛物线丁=2 p x（p 0）上的两个动点,。是坐标原点，向量OA,OB满足OA+OB=OA-OB.设圆C的方程为/+丁2一（玉+）%（乂 +%）丁 =0（I）证明线段A B是圆C的直径；2R（H）当圆C的圆心到直线X-2 Y=0的距离的最小值为啧时，求p的值。（I）证明 1：OA+OB=OA-o s l,（OA+OB）2=（OA-OB）22 2 2 2OA+2OA OB+OB=OA-2OA OB+OB整理得：0 A 0 3 =0玉&+X%=0设M（x,y）是以线段A B为直径的圆上的任意一点，则朋A-M 3
19、=0即（一%）（%）+0乂）0%）=0整理得：炉+V 一(石+w)x-(y +%)y =0故线段A B是圆C的直径证明 2：pA+OBOA-O B,(OA+OB)2=(OA-OB)22 2 2 2OA+2OA OB+OB=OA-2OA OB+OB整理得：。4。8 =02 2 +X%=.设(x,y)是以线段A B为直径的圆上则即 匕&x-x2-=-l(x W X ,X W%2)X-Xy去分母得：(x-x)(x-x2)+(y-x)(y y 2)=。点(七,y),(%,y2),(X2,x )(工2，%)满足上方程，展开并将代入得:/+y 2一(王+/)工一(凶+%)=0故线段A B是圆C的直径证明
20、3:OA+0B=0A-OB,：.(OA+OB)2=(OA-OB)22 2 2 2OA+2OA OB+OB OA-2OA OB+OB整理得：OA OB=0:.x-x2+yi-y2=0.(1)以线段A B为直径的圆的方程为(8 ,+(丁 _ X；州y =；(内 _ +(%一 展开并将(1)代入得：x2+y2-(xl+x2)x-(yI4-y2)y =O故线段A 3是圆C的直径(II)解 法1:设圆C的圆心为C(x,y),则X +X.x=-5-,2y 2=2px,W=2 P 5(P 0)2 2.,.x玉x一4 P2又因司%+%=0.=一+%城 为24 P2内 W 工 0,y%w 0X.+x2 1 .2
21、+%)2=丁1 /(y 2+2 c2 y%)、-十2 4 P 4 P 4P=(y2+2p2)P所以圆心的轨迹方程为丁=p x-2 p2设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则d1 ,|-(y2+2/?2)-2 y|,|x-2)，|X，2py+2P2|一6一 V 5(y-p)2+p2加py/5p当 y=p时,d 有 最 小 值 木，由题设得P 275忑 一T:.p=2.解法2:设圆C 的圆心为C(x,y),则%,+是,x=-2y=A 2 12y 2 =2 p%,%?=2Px2(P 0).x.玉x 4P2又 因 内%+y%=0二%乙=一必 必 f.月祗2?4P2.%w 0,二 y%工 0二%=-
22、4。2%=：(靖+%2)=；(城+%2+2,%)竽2 4P 4P 4P=(y2+2p2)P所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为一 一,则m=2因为x-2y+2=0与:/=px-2/72无公共点，所 以 当 x-2y-2=0与丁=x 2p2仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为275可x-2 y 2=0 y1=px-2p2(3)将(2)代入(3)得 y2-2 p y+2p2-2 p =0.=4 2 _4(2 2 _2)=0p 0p 2.解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则工 二 X +七,2V+%圆心C到直线x-2 y=0的距离
23、为d,则.x,+x.,.+%)id=_2/=-靖=2 p x,=2 p%2(P )xtx24 P 2又因西.与+乂%=0玉 =一%4 P 2玉 W w 0,X%w:.dI (y；+%-)(X +必)I ,2 2 c A /、o 2 14P_ 1必 +必+2%一4 2(一+%)+8 p I4也p(y +%2 p)2+4 p 24石p?/s当y+%=2p时,d有 最 小 值 木，由 题 设 得 考=誓:.p=2.点评：本小题考查了平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.4 1.(2 0 X X年北京卷)已知点M(2,0),N(2,
24、0),动点尸满足条件|PM|P N|=2 0.记动点P的轨迹为W.(I )求W的方程；(H)若A,3是W上的不同两点，0是坐标原点，求。的最小值.解：(I )由归徵一归%|=2及 知 动 点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a V2.又半焦距c =2,故虚半轴长b =J c 2寸=3.所以W的方程为土 L =l,xy2.2 2(H)设A 8的坐标分别为(*%),(%,y2),当 轴时，=%2，yx=-y2,从而 Q4。8 =%毛+y%=片 一y；=2.当AB与1轴不垂直时，设直线A8的方程为 =+加，与W的方程联立，消去y得(l-k2)x2-2 kmx病 2=0.t/2 km m
25、2+2故IX2=Tj,所以 O A O B =+y%=xxx2+(kxl+m)(kx2+m)=(1+公)xx2+kmx+9)+加 2(l +/)(M+2)2 k2m2 2=-+-+mk2-l l-k22A 2+2 个 4=-2 +-V-l k.2-又因为x/2 0,所以公1 0,从而O A Q B 2.综上，当A B_L x轴时，。4。8取得最小值2.4 2.(20 XX年上海卷)在平面直角坐标系尤Oy中，直 线/与 抛 物 线 相 交 于A、B两点.(1)求证：“如果直线/过点T(3,0),那么0 A 0B =3”是真命题；(2)写 出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理
26、由.证明：(1)设过点T(3,0)的直线/交抛物线丁=2%于点A(%,y),B(&,y2).当直线/的斜 率 不 存 在 时，直 线/的 方 程 为x =3,此 时，直线/与抛物线相交于点43向，B3-扃,.-.OA OB =3.当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y =&(x-3),其中女w().由口=2为 得母2_2了_6 k=0,则%=-6.y =&(x _ 3),1 2 1 2又 玉=5工2=/丁2，1 ,1 OA OB=xtx2+y,y2=(X%)+X%=3.综上所述，命 题“如果直线/过点T(3,0),那么Q 4 0 3 =3”是真命题.解：(2)逆命题是：设直线/交抛物线V=2
27、 x于A 8两点，如果。4。8 =3,那么该直线过点T(3,0).该命题是一个假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),-,1),此时。4。5 =3,2直线AB的方程是y =(x +1),而7(3,0)不在直线AB上.说明：由抛物线y=2 x上的点A(x，%),B(%，%)满足。4,O B=3 ,可得或乂 乂=2.如 果%=6,可证得直线A8过点(3,0)；如果y%=2,可证得直线AB过点(-1,0),而不过点(3 0).4 3.(20 XX年浙江卷)如图，椭圆7+F=1(a b 0)与过点 A (2,0)B(0,l)的直线有且只有一个公共点T,(I )求椭圆方程;(II)设F 七 分别为椭圆
28、的左、右焦点，M为线段A F 1的中点，求证：N A T M=NA F,T.x解(1)过点A 8的直线方程为+y =l,(2 2*-1.由题意得I-b 有唯一解，1 ,V =X+1I 2(即/+V(J 有唯一解，A =a2b2(a2+4/?2-4)=Q(ab.0)，故/+4/72-4 =0._V 3 Hn a2-b2 _?e=,即-=,2 a2 4*.a2=4 b2.从而得=2,h2=.2r2故所求的椭圆方程为1+2/=1.(2)由(1)得。=逅所以I 2)因为t a n乙4 6 7 =乎 一1,2又 t a nNL 4 A/=,，tan N T M K =2,得 t a n NA TM =诬
29、 一 4 1.2 瓜 i+_L 2因此 NA 7 M =NA 1T.点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.4 4.（2 0 X X 年湖南卷）已知椭圆C 1 L+二=1,抛物线C2：（y加了 =2 p x（p 0）,且 Ci、4 3C2的公共弦AB 过椭圆C1的右焦点.（1）当 A 8，轴时,求加、p 的值，并判断抛物线心的焦点是否在直线A B上；（H）是否存在机、p 的值，使抛物线C2的焦点恰在直线A B上？若存在，求出符合条件的帆、p 的值；若不存在，请说明理由.解：（I ）当轴时，点月、B关于x 轴对称，所以机=0,直线AB
30、的方程为x=l,从而点A的坐标为（1,3）或（1,）.2 2因为点A在抛物线上，所以3 =2p,即此时C2 的焦点坐标为（2,0）,该焦点不在直线AB上.16（II）解法一 当 G的焦点在4B时，由（1 ）知直线AB的斜率存在，设直线A 8的方程为y =（x-l）.由，y=k(x-1)x2 ,2 消去 y 得(3+必22-8入+4/-1 2 =0.-F -=14 3.设 A、8 的坐标分别为（孙 y）,（x2,y2）,Q A r 2则 孙 X 2 是方程的两根，的+松=上.因为A B 既是过G的右焦点的弦，又是过C2 的焦点的弦,所以|A q=（2 _ g x|）+（2 g%2）=4 _ g（
31、a +x2）,且I =（3+9+（工2 +学=玉 +%2 +P .从而2 +/+P=4-g（X +工2）l l-4-6 1 3 r l 8k2 4 一6 所 以 玉+冗=匚,即-=匕.1 2 3 3 +4/3解得&2 =6,即攵=几.因为C2 的焦点尸弓,在直线旷=左。-1）上，所以机=-：左.即用=或相=-.3 3当m =半 时，直线AB的方程为y=-yb（x-i）；当相=一半时，直线A8 的方程为丁=新（工-1）.解法二 当 C2 的焦点在AB时，由（I）知直线A8 的斜率存在，设直线A8 的方程为 y =%（x-l）.,2 _ 8由（）Z）3 消去y 得（一2 一 机）2 .y=k（x-
32、l）3因为C 的焦点F（W,在直线y =g-1）上,所以m =k(-1),即m=-A.代入有(kx-)2=x.3 3 3 3-4 、4 6 2即 k2x2-1(%2 +2)x +-=0.设 A、5的坐标分别为(x i,y i),(M,2),则科也是方程的两根，+M=4弋2).3k2y=k(x-l)由y2 消去 y 得(3 +4&2 口2 _ 8左 2%+必2 _ 2 =0.-F-=14 3QL2由于人心也是方程的两根，所以M+Q=3 +4 小从而4(如;2),=.解 得&2=6,即4=几.3 M 3+4 攵 2因为C2 的焦点F(g,M 在直线y=出(x-l)上，所以m=-；女.即 加=或相=
33、-.3 3当机=半 时，直线A8 的方程为=-后(4-1)；当机=-，时，直线A5的方程为y =新(工-1).解 法 三 设 A、8 的坐标分别为(孙6),(应 以)，因为A B 既过G的右焦点F(l,0),又是过。2 的焦点F(|,/7 7),所以|=(X|+-)+(%2 +)=西 +*2 +.=(2 耳 X 1)+(2 万必),即的+x2=|(4-)=E.由(I )知工尸不，于是直线4?的斜率攵=二 2 1 =耍=3 ，必一司 -13且直线力夕的方程是y=-3m(x-1),Pfi 以+y 2 =-3 1(为 +孙-2)=3-.又 因 为 依+4 日=1 2,所以33+)+4(力+)，2)上&=0.3 君+4 4=1 2 x2 xi将、代入得“J =2,即加=在或;=_ 立.3 3 3当m=乎 时，直线AB的方程为y =-V6(x-l);当 加=-当 时，直线A3的方程为y =(x-1).