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1、圆锥曲线一、选择题，v2 91.（北京3）“双曲线的方程为-L=l”是“双曲线的准线方程为*=二 的（A）9 16 5A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件尤22.（福建12）双曲线二 一a（a 0,b 0）的两个焦点为F八后，若P为其上一点，且IPFII=2IPEZ,则双曲线离心率的取值范围为(B)A.(1,3)B.(1,3)C.(3,+8)D.3,+00X2 y23.(宁夏2)双曲线一一2_=1的焦距为(D)10 2A.3 丘 B.4 夜 C.3 G D.4 百4.（湖 南10）.双 曲 线 工-二=1（。0/0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准
2、线a2 b-的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（C）A.（1,V2 B.V2,+oo）C.（1,V2+1J D.0 +1,+8）5.（江 西7）已知、鸟是椭圆的两个焦点，满足5 用g=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A.（0,l）B.（0,；C.（0,-）D.-,1）6.（辽宁11）已知双曲线9y2 一5丁=i（相 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为:，则帆=（D）A.1 B.2 C.3 D.47.（全国n i l）设A B C是等腰三角形，N A 5 c=120,则以A,3为焦点且过点。的双曲线的离心率为（1 +V2A.-B.28.（上 海12）设p是椭圆F+A
3、=l上的点.若，鸟 是椭圆的两个焦点，则归 用+忸 周B1 +V32C.I+V2D.1 +V3等 于（D）A.4B.5C.8D.1 09.(四川1 1)已知双曲线C：5-需=1 的左右焦点分别为耳，鸟，P为C的右支上一点,且I 尸 用=忻 闯，则 A P 耳鸟的面积等于(C)(A)2 4 (B)3 6 (C)4 8 (D)9 6r2 21 0.(天津7)设椭圆：+二=1(m 0,0)的右焦点与抛物线y?=8 x 的焦点相同，离m n心 率 为 则 此 椭 圆 的 方 程 为(B )2?2 2 2 2 2 2 2y f x y x y r y iA.-1-=1 B.-1-=1 C.-1-=1 D
4、.-1-=11 2 1 6 1 6 1 2 4 8 6 4 6 4 4 82 21 1 .(浙江8)若 双 曲 线 二-二=1 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的a h离心率是(D )(A)3 (B)5 (C)V 3 (D)V 51 2 .(重庆8)若双曲线三-阴=1 的左焦点在抛物线y 2=2 p x 的准线上，则 p的值为(C )3 P(A)2(B)3(C)4 (D)4 /21 3 .(湖 北 1 0).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的
5、椭圆轨道I I 绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道H I 绕月飞行，若用2 c l 和2 c 2 分别表示椭圆轨道I 和 I I 的焦距，用 24和2%分别表示椭圆轨 道 I 和 0的长轴的长，给出下列式子：q +C1=a,+C 2;q -c,=a,_ q;q o,4 a2其中正确式子的序号是(B)A.B.C.D.X2 y21 4 .(陕 西 9)双曲线=一 二=1 (a 0,b 0)的左、右焦点分别a b是 耳,F2,过耳作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若 M居垂直于x轴，则双曲线的离心率为（B）A./6 B.y/S C.y/2 D.3二、填空题2 21.（安 徽
6、14）.已知双曲线由匚=1的离心率是6。则 =_ _ _ _ _ _ _ _4n 12一 x2 y22.（宁夏15）过 椭 圆 一+幺=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于4 B两点、,5 4。为坐标原点，则 Q 43的面积为.-32 23.（江苏12）在平面直角坐标系中，椭 圆 二+二 =l（a b 0）的焦距为2,以。为圆心,a ba为半径的圆，过点（g o）作圆的两切线互相垂直，则离心率e=#2 264.（江 西14）已知双曲线二 一 二=1（。02 0）的两条渐近线方程为y=、一x,若顶a 3点到渐近线的距离为1,则 双 曲 线 方 程 为.工-型1=14 45.（全 国114）已
7、知抛物线y=-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.-236.（全 国I 15）在Z iA B C中，ZA=90,tanB=.若 以4 3为焦点的椭圆经过点C,4则该椭圆的周心率e=.27.（全国H15）已知尸是抛物线C:丁二曲的焦点，A 3是C上的两个点，线段AB的中点为（2,2）,则 的 面 积 等 于.28.（山东13）已知圆C:f +y2_6x_4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线2 2的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为.-=14 129.（上海6）若直线axy+l=0经过抛物线V =4尤的焦点，则实数a=.一11 0.（
8、浙 江1 3）已知月、入 为椭圆 +-=1的两个焦点，过K的直线交椭圆于A、B两点 若 优A|+内 可=1 2,则 陷=。8三、解答题1.（安徽2 2）.（本小题满分1 4分）设椭圆C：a2 b1=1（。b 0）其相应于焦点F（2,0）的准线方程为x=4.（I）求椭圆C的方程；（I I）已知过点6（-2,0）倾斜角为6的直线交椭圆C于A,8两点，求证:网=4 7 22-cos-e（I I I）过 点 耳（一2,0：作两条互相垂直的直线分别交椭圆。于和O,E,求AB+DE的最小值解：（1）由题意得：c=2 =4 =8,椭圆。的方程为土+匕=1c =4 8 4a2=b2+c2（2）方法一：由（1）
9、知耳（一2,0）是椭圆。的左焦点，离心率e=设/为椭圆的左准线。则/:x=T作A4,于_ U于g，/与x轴交于点H（如图）点A在椭圆上=事（|五 用+|A埒co s。）=0+半 A f jco s e第（22）渔图71 1 0 co s.同 理|阴=-V 2 +co s 0：.|A B|=|A|+忸 浦=丁2+丁?=4垃、。y/2-CO S0 A/5 +COS。2-co s2 02 3 2(公-1)=4 0(1+/),-1 +2/-1 +2公方法二：T T当(9 0 5时，记左=t an。，则 A B:y =Z(x+2)将其代入方程 x2+2/=8得(1 +2公)/+8/彳+8(%2-1)=0
10、设A(x,y,),B(x2,y2),则 不/2是此二次方程的两个根.8公8(北一 1)+2公，*%-1 +2公|阴=(%一 )2 +(Y-=+)(%一%2=4 1 +公)(=+%2)2 _ 4J咨 k1=t an2&代 入(1)式得|A 8|=4&2-co s2 0(2)当。=时，|A 6|=20 仍 满 足(2)式。.I 4 Dl 4 5/2 A B =-r 2-co s 0(3)设直线AB的倾斜角为6,由于力E _ L A B,由(2)可得.4 c,.4 V 2A B 二一,DE =1 1 2-co s2 1 1 2-s i n2I4DI 4 V 2 4 V 2 I 2 V 2 12A/2
11、2-co s-0 2-s i n-0 2 +s i n-9 co s-0 2+s i n2 20当。=?或。=学 时，|A +|O目取得最小值与旦2 .（北 京1 9）（本小题共1 4分）已知 A B C的顶点A 8在椭圆f+3 y 2=4上，C在直线/：y =x+2上，且A B/.（I ）当A B边通过坐标原点。时，求 的 长 及 A B C的面积；（I I）当N A 3 C =9 0 ,且斜边AC的长最大时，求A B所在直线的方程.解：（I ）因为且A B边通过点（0,0）,所以A B所在直线的方程为y =x.设A 5两点坐标分别为（司,y|）,（X 2，%）由，I得金.所以一引=2正.又
12、因为A B边上的高力等于原点到直线I的距离.所以=&,5小 比=；|4用=2.（I I）设A B所在直线的方程为y =x+m,Y2+3 V2=4,由 o.设A B两点坐标分别为（再，%）,（孙 必），E i 3 m 3 m2-4贝！J 芭 +%=-，XX2 -所以|AB|=0|玉 一 引=加又因为8 C的长等于点（0,/）到直线/的距离，即|BC|2-川所以|4 C=AB f+B Cf=-m2-2w +1 0 =-(+l)2+H -所以当加=一1时，4 c边最长，(这时=一1 2+64 0)此时A B所在直线的方程为y=x-1.3 .（福建22）（本小题满分1 4分）如图，椭圆。：+与=1 (
13、ab0)的一个焦点为F(1,O),且 过 点(2,0).a-b-(I )求椭圆C的方程；(n)若A8为垂直于x轴的动弦，直线/:x=4与x轴交于点N,直线AF与B N交于点M.(i )求证：点仞恒在椭圆C上；(i i )求/4 1 4川面积的最大值.解法一：(I )由题设 a=2,c=l,从而 b2=a2-c2=3,2 2所以椭圆C前方程为-4-=1.4 3(H阳由题意得F(l,0),M 4,0).加2 2设4m M，则8(成 川(C刈)，7-十 7=1.A F与B N的方程分别为：n(x-l)-(m-l)y=0,n(x-4)-(m-4)y=0.设 M(x o,y o),则有 J n(Xo-l
14、)-(m-l)y o=O,.Yn(Xo-4)+(m-4)yo=O,.由，得4(2加5产=1所以点M恒在椭圆G上.(i i )设A M的 方 程 为x=x y+1,代入X V+J =1 得(3 t 2+4)y2+6f y-9=0.设(X2，力)，则有：y i+Y2=,1 2=i 73 x+4 3r+44后产+3Iyi-yiI =4(+必 4%当3产+4令 3 t 2+4=X(X24),则I y i-y21=47 3J-(-)2+-=4 3 l (-)3+-,2 V A 2 V 2 2 4因为人4,所以当即4=4,f =O H寸，2 4 2 4|班 力|有最大值3,此时AM过点F.3 3 QAMN
15、的面积5W M N=|F N|.卜1 一%|二1,一%|=1必 一刃有最大值万解法二：(I )问解法一：(I I )(i )由题意得 F(1,0)Z/V(4,0).I2 1 2设 则-H-=1.4 3AF与 BN的方程分别为：n(x-l)-(m-l)y=0,n(x-4)-(m-4)y=0z 由，得：当工时，m=2日,=&.2 2x-5 2尤 一 5 n-(m-l)=03 +(机+4)y =0,由代入，得+.当x=2时，由，得：2 =0,解得 与a W O矛盾.y =0,所以点M的轨迹方程为1+5=l(y W 0),即点M恒在锥圆C上.(I I )同解法一.4.(广东2 0)(本小题满分1 4分
16、)X1 V2设 监0,椭圆方程为余+方=1,抛物线方程为x 2=8(y-b).如图6所示，过 点F(0,b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 48 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使 得A B C为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.解：由 2=8（）一，）得 y=-i +I8当 y =/7 +2 时，工=4,点的坐标为（4,b+2）y=%,y|,r=4=i过点G的切线方程为y-（0 +2）=x-4 ,即 y =x+0
17、-2,令 y=0 得x-2-b，:.点 的 坐 标 为（2-b,0）；由椭圆方程得大点的坐标为（b,0）,2 b b 即 h=1 r2因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为1+9 =1 和/=8（y-1）.（2）过 A作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P,二以 4 W 为直角的R f 只有一个；同理以N P8 A为直角的R/A6 P只有一个；若以NAP3为直角，设 P点的坐标为（x f+i）,则A、8 坐标分别8为（,0）、（72,0）由 A B =f-2+（1*2+1）2=。得_ 1 _ 丁+3%2 1 =0,8 64 4关于V的一元二次方程有一解，x有二解，即以NAPB 为直角的R f A
18、 BP有二个；因此抛物线上共存在4个 点 使 A8 P为直角三角形.5.（宁夏2 3）（本小题满分1 0 分）（选修4 一4；坐标系与参数方程）x-c o s e,已知曲线C l：（。为参数），曲线C 2：0),过点 M 的一条直线交抛物线于A、B两点,A P,族的延长线分别交曲线C 于 E、F.(1)证明E、F、N三点共线；(2)如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在为，使以线段A B为直径的圆与抛物线有异于A、8的交点？如果存在，求出光的取值范围，并求出该交点到直线A B的距离：若不存在,请说明理由.(1)证明：设 A(X 1,X；)、B(X2,%2),E(xE,yE)B(xF,yF)2
19、 2则直线A B的方程：y =五二玉（x j+x；x-x2即：y =(x)+x2)x-x1x2因”（工0,%）在A B上，所以%=（%+*2）玉）-再了2 又直线A P方程：y=N 尤+%由 XEx七 可2同理，X-=_&,.=片X2 X2所以直线E尸的方程:2/%+%八 y 0y =-(-_-)yox-X jX2 XxX2令x =-X o得y =用-（玉+）玉）一为1中2将代入上式得y=%,即N点在直线后尸上所以E,N三点共线（2）解：由已知4 B、M、N共线，所以A（-收,%）,8（匹,）以 为 直 径 的 圆 的 方 程：好+（丁%）2 =%“；+&-%）=%得y 2 _（2 y 0 _
20、l）y+y：_y o=O5=所以y=%（舍去），y =%-1要使圆与抛物线有异于A,8的交点，则 为-1 2 0所以存在 2 1，使以A 8为直径的圆与抛物线有异于A,8的交点T（修,力）则 外=%T，所以交点T到A B的距离为%方=%一（T）=17.（江苏选修）在平面直角坐标系x O y 中，点 P（x,y）是椭圆（+=1 上的一个动点，求 5 =犬+丁的最大值.解：因椭圆三+V=1的参数方程为卜=6 cos。为 参 数）31 y =s i n 0故可设动点P的坐标为（Geos。,s i n。）,其中0 。2 .乃因此 S=x+y=G c o s。+s i n。=2（c o s。+耳 s i
21、 n。）=2 s i n（。+）所以。当“=工7 T是，S取最大值268.（湖 南 1 9）（本小题满分1 3 分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F（2,0）,且两条准线间的距离为入（入4）.（I）求椭圆的方程；（H）若存在过点4 L 0）的直线/,使点尸关于直线/的对称点在椭圆上，求人的取值范围.2 2解（I ）设 椭 圆 的 方 程 为 一=1 （o b0）.u,b由条件知c=2,且2a2V二 入，所以01-入，b2=a 2-c2=A-4.故椭圆的方程是 +-=1(/1 4).2 Z-4（H）依题意，直线/的斜率存在且不为0,记为k,则直线/的方程是y=k（x-l）.设点F（2,0）关于
22、直线/的对称点为F2（x o,y o）,则&=%(AZ_ 1),2 2、/一 222k +k2解得%(匕)2(三)2因为点F (x ,y o)在椭圆上，所以 +上=1.即A A 4X(X-4)+2 x (入-6*2+(X-4)2=o.设 依寸则入(X-4)t2+2 A.(X-6)t+(A.-4)2=0.因为X 4,所以d)22(/1-4)0.9.（辽宁21）.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0,-0），（0,百）的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.（I）写出C的方程；故。4_L0B.8分当&=5 时，xx+x2=,xx2=1217|A8|=yl（x2-x）2+（y2-
23、y）2=+k2Mxi-丫而（%一 /=（X2+%）2 -4XX242,4 x 3 43X137+4 x-=-$-172 17 172所以|AB|=醇.12 分1 0.（全 国 I 2 2）（本小题满分12 分）双曲线的中心为原点。，焦点在x轴上，两条渐近线分别为。12,经过右焦点尸垂直于4的直线分别交4，2 于 A，B两 点.已知|。4卜,耳、|0 成等差数列，且 8 尸与F A 同向.（I）求双曲线的离心率；（II）设 A B被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.解：（1）设。4=加-4,A B-m,OB-m+d由勾股定理可得：（加一）2+m 2 =（加+d）2d=-m tan ZA
24、OF=-tan ZAOB=tan 2ZAOF=-得：4,a,OA 32。a _ 工1 _ W2 3 由倍角公式，解得a 2石c 则离心率 2.y=-x-c)(2)过 F 直线方程为 b与双曲线方程/b2 联立将a=2/7,c=后代入，化简有4/b4U （32回 丫 ,2 8/4=5-4-I 15 I 5将数值代入，有 L解得 =3二上=1最后求得双曲线方程为：36 9.11.（全国n 2 2）（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，A（2,0）,8（0,1）是它的两个顶点，直线y =左 0）与A B相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(I )若ED =6 D F ,求左的值；(II)求四 边
25、 形 面 积 的 最 大 值.(I )解：依题设得椭圆的方程为一=1,4直线A B,跖的方程分别为x+2 y =2,y=k x(k 0).如图，设0(%,kx0),E(xe 烟)，F(X2,kx2),其中再 e x 2，且玉，满足方程(1+4/)/=4,2故 x2=-%,=,.。1 +4公由 ED -6 D F 知 X。一%=6(/-x0),得/=g(6x2+%)=/2由。在 A B 上知 x0+2kx0=2 ,得=-.s,2 10所以-=,1 +2%7,1+4公2分VA10751+4 公化简得2 4公一 2 52 +6=0,2 3解得或.3 8（II）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点
26、,%.6分尸 到A B的距离分别为x+2kx-2|_ 2(1+2k+J 1 +4 k 2)亚 j5(l +4.2)民+2米2-2|2(1+2%-11+4公)V5.(1+4&2)9分又=/济 口 =石，所以四边形A E B F的面积为S =|A B|（/?,+/,）_1万,（1 +2左）2,5（1+4公）2（1+2Q +4公c +4公+必=2 1 i+正W 2vL当2k=1,即当时，上式取等号.所以S的最大值为2起.12分2解法二：由题设，忸0|=1,|40|=2.设 弘=3，y2=kx2,由得 0，%=一 乂 0，故四边形AEB厂的面积为S-S BEF+S&A E F=x2+ly2.9 分=（
27、+2%了=&+4 +4%W j2（x；+4 ）=2 0,当无2=2%时，上式取等号.所以S的最大值为2&.12分12.（山东2 2.（本小题满分14分）己知曲线：区+应=136 0）所围成的封闭图形的面积为4 6,曲线6的内切圆半径a h2尺为 学.记。2为以曲线C与坐标轴的交点为顶点的椭圆.（I）求椭圆G的标准方程；（1）设AB是过椭圆。2中心的任意弦，/是 线 段 的 垂 直 平 分 线.M是/上异于椭圆中心的点.（1）若|AQ|=Xp4|（。为坐标原点），当点A在椭圆G上运动时，求点M的轨迹方程；（2）若 是/与 椭 圆C2的交点，求 的 面 积 的 最 小 值.2ab=4小,解：（I）
28、由题意得（ah 2A/5折+-=丁又。”0,解得。2=5,6=4.r2 v2因此所求椭圆的标准方程为上+上-=1.5 4（II）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为丁 =依（2工0）,A-%)解 方 程 组 后+7=1 得3，尤.今十D Ky=kx920k24+5公所以|0 1=.十 尺=204+5公20k2+4+5k220(1+A:2)4+5公设M(x,y),由题意知|MO|=/1|Q4|(/IHO),所以=廿o*,即丁+,2=储2：f）因为/是A3的垂直平分线，所以直线/的方程为y=g x,即 A =-2y因此V+y2储(#20 1 +三I)L JX14+5 ryr2
29、0(x2+y2)“4/+5 x2又 f +y2 H 0,所 以 元+犷=20分,7 7M故-厂-1-y-=A4 2.4 5又当k=0或不存在时，上式仍然成立.综上所述，M的轨迹方程为L+二=几2（九工0）.4 52（）（2）当左存在且左。0时，由（1）得-J 4 +5公2 0 2 24+5&2由 2 2尸上V-1-X,所以|。4=4+尺=2 0(1 +左2),|AB|2=4|OA|28 0(1 +/)4 +5/,O Mf =2 0(1 +公)5+4 Z?1,解法一：由于S晨“小 点 斗 砰i25y =4 +5公1 8 0(1 +/)2 0(1+F)=-X-X-4 4 +5%2 5+4&4 0
30、0(1+公)2一(4 +5%2)(5+4二)4 0 0(1+公 产-(4 +5/+5 +4公 丫I 2)1 60 0(1+左2)2 (4 08 1(1 +J t2)2 9)当且仅当4 +5公=5+4%2时等号成立，即左=1时等号成立，此时 A M B面积的最小值是 S4AMB当攵=0,5 硼 X 2道x 2 =2君 竺.29当不存在时，S3B=gx6 x4=26吟.综上所述，的面积的最小值为”4 0 .9叫一 刀 位 1 1 1 1 4 +5&?+5+4%2 9解法一 :因为-X-H-子=-弓 I-z-i-|。4O Mf 2 0(1+产)2 0(1 +/)2 0(1 +/)2 04 +5/5+
31、“又一+7三1 一OAOM,OM OA 0M 9当且仅当4 +5公=5+4 2 2时等号成立，即攵=1时等号成立，4 0此时4AM B面积的最小值是.9当女=0,SA 4 1 W B=-x2x2=2 V 5 .2 9当女 不存在时，5A 4 1 W B=-x 7 5x 4 =2 7 5 .n lv iD 2 9综上所述，A V 6的面积的最小值为24 0.91 3.(上海2 0)(本题满分1 6分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.2已知双曲线C：土 y 2 =.2(1)求双曲线。的渐近线方程；(2)已知点M的坐标为(0,1).设p是双曲线C上的点，。是点
32、P关于原点的对称点.记4 =求;I的取值范围;(3)已知点,E,M的坐标分别为(2,1),(2,D，(0,1),P为双曲线C上在第一象限内的点.记/为经过原点与点尸的直线，s为 西 截直线/所得线段的长.试将s表示为直线/的斜率k的函数.【解】(1)所求渐近线方程为y 等x =0,y+等x =0.3分(2)设P的坐标为(X。,%),则Q的坐标为(-x。,-%).4分2 =M P A/Q =（Xo，y o-l（F f-l）=T -尤+1=-1片+2.7分闾 之0A的取值范围是(,-1.9分(3)若P为双曲线C上第一象限内的点,则直线I的斜率k e|0,1.11分由计算可得，当Ze(0,；时,s(
33、Q=力 工；当&w（,求 时,s伏）=汽 /i 7淳.15分/K KJViTF,人畤，.s表示为直线/的斜率k的函数是S（&）=6 0）的左右焦点分别为耳，工，离心率e =线为/的距离为加,力当”2 J.16分点K到右准（I ）求 的 值;（0）设M,N是/上的两个动点，FM -F?N =0,证明：当1 M M取最小值时，FXF2+F2M+F2N=Q【解】：因为e =,6至h的距离4 =一。，所以由题设得C C工也|所以，FtF2+F2M +F2N=(-2A/2,0)+(V 2,)+(V 2,y2)=(o，y+%)=01 5.(天津2 2)(本小题满分14分)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点
34、是6(3,0),一条渐近线的方程是A/5X-2=0.(I)求双曲线C 的方程；(II)若以打人工0)为斜率的直线/与双曲线C 相 交 于 两 个 不 同 的 点 N,且 线 段 的Q 1垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为J,求上的取值范围.22 2(I )解：设双曲线。的方程为之r 4 =l(a 0,b 0),由题设得a b-/+=9,(-2a=4,=丘+必 工0),点M(x，x),N(X2,%)的坐标满足方程组y=lx+m,0.整理得m2+5-4k2 0.()由根与系数的关系可知线段M N 的中点坐标(x0,%)满足xo=x+x2 _ 4km2 5-4k2.5m，%=5+=5 _ 4,
35、2”从而线段MN的垂直平分线的方程为5 m 1y-=-5-4k2 k4kmx-5-软2（Q hn），0 in、此直线与X轴，y轴的交点坐标分别为上T，0,0,.由题设可得1 9km 9m _ 8 15 5-4/5-4左2 -T整理得*=史 誓，陶将上式代入式得（5*）-+5 4/0,KI整理得（4左2 5）（4左2陶 一5）0,k 丰0.解得0网 乎 或 网 ：.所以上的取值范围是5 C O ,-4（一 正2,071 3 516.（浙江2 2）（本题15分）已知曲线C是到点P （一一和到直线=一一距离相等的2 8 8点的轨迹。/是过点Q（-1,0）的直线，M是C上（不在/上）的动点；A、B在/
36、上,M4_L/,MB_L x轴（如图）。（I ）求曲线C的方程；QB-（I I）求出直线/的方程，使 得 单 为 常 数。（I ）解：设N（x,y）为C上的点，则5N到直线y =*的距离为y +-.8 8 8化简，得曲线。的方程为y =；C?+x).(I I)解法一：(、设M%,-,直线/:y =H+女，则k?)B(x,kx+k),从而|0 B|=Jl +公|x+i|.在R t a Q W A中，因为QM2=(X+1)21+-4-I小-力 +k2所以Q=3 I M叱虻3的+2)2.QJX+#2|241+%2I QBf _ 2(l +&2)J i+&2 X+IWT=R I 771当k=2时，3处
37、=5 5Q A从而所求直线I方程为2x y +2=0.r 4-y|解法二：设J,直线/:丁=依+左，则8(x,k x+k),从而Q B=yl+k2x+l.过(-L 0)垂直于/的直线4:y =-工(x +1).因为IQ A R M U I，所以241+攵2|Q B|2 _ 2(1+%2)JI+12 AWT=l HI当 心 Ol H-I Q 8,R当左=2 时，-=575,QM从而所求直线/方程为2x y +2=0.1 7.(重庆2 1)(本小题满分12分，(I )小问5分，(H)小问7 分.)如题(21)图，M (-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点，动 点 P 满足：|P M|-|P/V
38、|=2.(I )求点P的轨迹方程；(H)设 d 为点p 到直线I：x =；的距离，若|PM =2|P N,求，”的直解：(I)由双曲线的定义，点 P的轨迹是以M、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距c=2,实半轴a=l,从而虚半轴b=G,所以双曲线的方程为X2-=1.3(I I)解法一:由(I)由双曲线的定义，点 P的轨迹是以“、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距e=2,实半轴a=l,从而虚半轴b=J5.2R 所以双曲线的方程为x2-=l.3(I I)解法一：由 及 答(21)图，易知|P N|21,因|P M|=2|P N，知|P M|P N|,故 P为双曲线右支上的点
39、，所以|P M|=|P N|+2.将代入，得 2|P N臼PN|-2=0,解得|P N|土 而，舍 去1一,所以4 41 +V 17脚|=七 一因为双曲线的离心率e=C=2,直线/:x=1士 是双曲线的右准线，故|HP=NeI=2,a2 d所以d=L|P/V|,因此2皿3=.d PN|P N|解法：设 P （x,y）,因|P N|i l 知PM=2PN22PN/PN,故 P 在双曲线右支上，所以x i l.由双曲线方程有y 2=3 x 2-3.因此|PN|=yl（x-2）2+y2=7（X-2）2+3X2-3=7 4x2-4 x +l.从而由|P M|=2|P N|2得2X+1=2（4X2-4X
40、+1）,即 8x2-10 x+l=0.r i,5+Vn-5+Vn所以X=-（舍去X=-）.o o有|P M|=2x+l=9 +V 1741 +V17-8-1d=x-=2|P M|9 +J17 8 r-故-=-T=I +V 17.d 4 l+y/171 8.（湖 北 20）（本小题满分13 分）己知双同线c：rv-2 斗v2 l（a 0,0 0）的两个焦点为尸：（一 2,0）,产：（2,0）,点尸（3,、5L）a b的曲线C上.（I ）求双曲线C的方程；（I I）记。为坐标原点，过点Q（0,2）的直线/与双曲线C相交于不同的两点E、F,若4OEF的面积为2后,求 直 线/的方程（1）解 法 1：
41、依题意，由。2+62=4,得双曲线方程为二一一J=1 （0 。24=,Q_ 4 _ C l将 点(3,VL7 )代入上式，得 己9 -7-7=1.解得。2=18(舍 去)或/=2,a2 4-a22 2故所求双曲线方程为-L =1.2 2解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=P F1-P F2 =7(3 +2)2+(V 7)2-J(3-2+()2=2叵,/.c r2=2,b2=c2a2=2.双曲线c的方程为-一1 L=1.2 2(11)解 法1：依题意，可设直线/的方程为片k x+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1k2)x24k x 6=0.,直线/与双曲线C相交于不同的两点、F,(1 2 w 0,伏 w 1,=0,V 3 Z:O,6 I+4 3 JX23=0,k23-1 0,.-3+-A:2=0,解得左=2.16 4即存在左=1 2,使仇4 NB=0.