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1、复旦大学 硕士学位论文 混沌动力系统的同步及其数值计算中的一些问题 姓名：郭德典 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：阮炯 20030401 _ 复旦太学硕士毕业论文 _ _ _ 1 摘 要 本文主要讨论混沌系统的同步问题研究方法以及应用于 一些具体系统的结论和揭示数 值方法处理连续系统时出现的一些动力学行为发生改变的现象 本文一共分两部分，第一 部分由第一章和第二章组成，第一章给出目前较为流行的同步的一些数学定义，并总结了 目前讨论同步问题的主要框架及其常见的研究方法，同时也指出了常见的误区 .第二章主 要是利用 Lyaptmm函数法等一些常用的方法来讨论一类同等混沌系统的完全同步
2、问题，尤 其是双向耦合同步问题，本文同时指出了一些相关文献 31讨论此类问题所出现的不严密 性 .并通过改进算法，利用一些数值方法来模拟同步并检验文中所得的结讼 .第二部分主要 由第三章组成，主要是探讨连续的动力系统在三种常用的离散方法下进行数值计算时发生 动力学行为改变的现象，着重讨论出现在平衡点处倍周期分岔的现象，给茁了一种判断连 续自治系统离散后是否 会导致倍周期分岔的算法，并给出一维连续动力系统离散化后发生 动力学行为改变的一般结论，以及在抛物线映射下的自治系统发生倍周期分岔的离散化参 数条件以及分岔点，最后通过给出具体的例子及其差分方程的分岔图来证实文中的结论 . 关键词：混淹同步
3、Lyapunov函数 Loreuss系 统 线 性 糖 合 倍 周期 分 岔 离 散 化 _ _复旦大学硕士毕业论文 _ 2 Abstract In this thesis, two main topics are considered* In part one, which is consist of chapter 1 and chapter 2, typical research methods and application of chaotic synchronization are reviewed asd investigated. In p抓 two, namdy chapte
4、r 3, we 輝 inly discuss the phenomena of dynamic bA to diange when system changed from continue to discrete in the processing of computer simulation, Therefore, it is possible that some stable continue dynamic systems will be falsely described to be chaotic by computer simulatioii. Some results of cm
5、e-dimensicma systems are presented and some examples are given to support. In chapter 1, the review of the chaotic synchronization research background and developmeut involving mathematical definition of synchronization and the typical configiirations of complete syndir 3ii2jation(CS)is presented， B
6、y the end of the clmpter， we point out some error appeared in references. In chapter 2t we mainly discuss CS of a class of identical chaotic systems bad OB Lyapunov stability theory especially CS for bidirectional coupling. We first clarify the problems in refer- ence31which discussed the same probl
7、em and then give a simple global synchronisiatioii criterion for coupled chaotic systems and support the results attained from rigorously mathematics theory simulation* Porthermore, refering to sufficient criterion for the stability of synchronization states given by Brown30t we provide an algorithm
8、 to get the better results for designing bidirectional coupling of identical chaotic systems, In chapter 3, we first point out tha,t typical numerical methodB used in dynamic systems simul技 tion such 胡 Eider method, Rouge-Kutta method will diange their dyimmieal behavior, we focus on three numerical
9、 methods and the dynamical behavior of bifurcation. We mainly disciiss the phenomena of period-doubling bifurcation at equilibriums and give the algorithm for predicting period-doubling bifurcation- Genaral results of one-dimensionai systems and special results of some maps are also presented in thi
10、s chiipter. At last, several examples of dynamical systems and the numerical bifurcation figures are also shown for demonstration. Key Words； Chaos synchronkation Lyapunov function Lorenz system Linearly coupled Period-doubling bifurcation Time-discrete 第一章关于非线性动力系统的同步问题 第一节混沌动力系统同步的实际意义及其概念 同步 （ sy
11、nchronization)这一词最早起源于希腊词 tr心 7 ，意思是在同一时间里 共享 .在历史上 t对于在动力系统演化过程中所出现的同步现象的最早分析可以追溯到 17 世纪 Huygens发现两个弱耦合的悬摆时钟的相同步现象 1.最近，对于动力系统的同步现 象的研究兴趣逐渐地转移到混沌动力系统中来 .原因之一是混沌无所不在，人们越来越多 地在各个自然科学领域中发现混沌，并给违比以前的近似的线性的模型更为客观的非线性 模型 .原因之二，随着数学理论的不断完善和计算机辅助工具的不断加强，我们对混沌所 展示的一些属性 和现象有了更深的了解 .当然，还有一个最重要的原因是混沌动力系统本 身所具有
12、的动力学行为给我们展示了一个相当广阔的应用前景 .例如近年来竞争最为激烈 的应用研究领域就是利用混沌同步实现保密通讯，其主要依据是 *只有当秘密通讯的双方 具有完全相同的非线性（混沌 ） 线路时，才能达到混沌同步，从而实现秘密信号从发射机的 编码到接受机的解码的全过程 .这里包括了利用混沌系统信号本身的特征来应用于密码发 射的思想，还包括了利用混沌系统隐藏秘密通讯信号的思想 - 我们这里指的非线性动力系统的同步简单来说就是指两个（也可以是多个）非 性动力 系统（同等的或不同等的 ） 分别从不同的初始条件出发，随着时间的推移，两者轨线的某一 给定属性逐渐趋于一致 .根据要求趋于一致的属性的不同，
13、同步问题在过去的十年中主要 研究的有 ； 完全同步丨 24丨，相同步 5,6,有瑕疵相同步有滞后同步间，间歇滞后同步 7,9，随机同步 10,调整控制同步 11,广义同步 12，13，大体同步 I4等等 .这里我们主 要研究两个同等的动力系统的轨线在相空间的轨迹或状态逐渐趋于一致的同步问题，即完 全同步问题 （ Complete or Identical Synchronization), 另外，根据同步的两个系统之间的关系，同步问题大体又可以分成两类：单向耦合与 双向耦合 （ 具体模型和框架见下一节 ).单向耦合又可以说是驱动 -响应模式的同步框架，它 是由主从关系的两个子系统组成，其中的一
14、个子系统自由演化，并驱动着另一个系统的演 化 .这里的响应系统便是从系统，它通常由混沌的主系统的一部分信号所驱动 .而双向耦 合同步的两个系统相互驱动，相互耦合 . 4 复旦大学硕士毕业论文 5 (1.1) 下面我们给出两个非线性系统同步的简单定义： 定义 1.1.1.考察下列两个耦合非线性动力系统 x = Fx, y) y = G(x,y)7x,y)RnxRn 当满足 _ ； !/ 丨丨 =0,我们就说状态变量 ;r和 y或两系统可实现同步 . 值得注意的是，在实际应用中我们有时无法获取状态变量的值，即状态变量并不是可 观测量，这时我们需要借助于一些可观测的中间变量来实施并定义同步 . 定义
15、 1.1.2.考察下列两个耦合非线性动力系统 (1.2) x = F(x,y) y = Gx, y), (x, y) e Rmi x 当满足 ） Qi( y( t) ) = 0 ,i = l,2, m,我们就说状态变量 a:和 y或两系统 在 可 观 測 变 量 （ 九 氏 (， Q2, Qw)意义下可实现同步 其中 ，知 .,为状 态变量 ;r 6 iT11的 标 量 函 数 ， 为 狀 态 变 量 穿 的 标 量 為 数 ， 且 他 们 分 别为两系统的可观測量 . 由上面的定义可以看出，当两个系统的维数不一样时，我们无法通过刻画这两个系统 的轨迹的距离渐进趋近于零来定义同步，我们就通过一
16、个标量函数映射的值来进行衡量同 步的数学意义 把这种数学思想推广，下面我们还将给出适用于各种同步的数学上的严格 定义，其主要思想还是通过在两个系统之间构造一个桥梁，使得有一个间接的衡量标准来 定义所谓的两者的轨迹逐步趋于一致的概念 .例如，我们可以在两个子系统之间构造一个 坐标空间作为桥梁，分别通过两个向量函数把两个子空间的轨迹映射到这个坐标空间上 . 具体定义如下： 定义 1.1.3.考察下列两个耦合非线性动力系统 V Fx,y) G(x, y), (x, y) E Rmi x Rm2 (1.3) 定义一个整体桌统状态变量 w = Rmi+m2,记上述两个皋统的轨迹集合分别为 么 (峋 ),
17、八 (OJ0) C为 给 定 的 初 值 人 恥 ： 4 : Rd， A : Rd x Rd 当 满 足 办 ( 八 ) = 0 , 我 们 就 说 两 系 统 在 同 步 函 數 / i意义下可实现同步 . 复旦大学硕士毕业论文 通过选择不同的办， /I函数，我们可以定义不同类型的同步 .关于同步的最初的数 学定义可见文献1轧 Brown和 Kocarevie丨也给出一个类似的数学定义 .其主要的思想同 样是把两个同步的系统看成是由一个统一的系统分成的两个子系统，这样这两个子系统的 轨迹的同步就可以在统一的相空间中研究并定义最近，文献 17中，提供了一个更为简 洁直接的数学思想，它把同步的两
18、个系统之间的驱动响应关系看成是状态变量之间的 一一 映射关系，这样我们无需构造一个间接的桥梁，只需把这个映射关系着作两个系统之间的 一个直接的桥梁，而两系统的同步概念就可以刻画成这个映射关系的连续性上 .这样我们 就可以用连续性定义的数学语言来定义广义的同步概念 . 第二节同等系统完全同步的主要框架 正如上 一节臓，我们主要研究两个同等的动力系统的状态逐渐趋于一致的同步问题， 即完全同步问题 （ CS),又叫常规同步 18或同等同步 .尽管根据耦合的方式，同步的框架大 体分为双向耦合和单向耦合 (驱动 -响应耦合 ).目前被讨论的同步耦合框架主要有： PC耦合 框架的 (；扱和。 8 1最早介
19、绍的方法丨 4， 19,20)，负反馈方法丨 21,偶发驱动方法 22130 框架 （ Activepassive decomposition)丨 23,24,扩散耦合和一些其他的混合方法 25. 下面我们主要讨论 PC耦合框架， APD框架和双向耦合三种常用的同步框架 . 1 PC框架 考虑如下混沌动力系统： Z = F(Z) (1.4) 其中 s Z = 72, 我们假设动力系统 %?具有驱动可分性，即可分解为下列 3个子系统： U = f(u, v driver v-g(u,v) J (L5) w = h(u, w) response, 这里， u = uy,u2,.,um e Rm,v
20、 = e R(, n = m + A -f- _ 复旦大学硕士毕业论文 _ _ 7 (un 方程 #的第一部分就定义为驱动系统部分，第二部分定义为响应系统部分，它可以 看成由驱动系统部分的驱动信号 U所驱动 当 g三 h时，这个框架又叫做同源驱动框架 . 在这个框架中，完全同步可以定义为系统的响应系统部分 W与一个复制的响应系统 W(满 足方程 V = h(u, W ) ) 之 间 的 渐 进 一 致 ， 即 =0,这里 e E |w wf|丨为同步 误差 .注意这里复制的响应系统与原来系统的响应系统部分都由驱动信号 u 所驱动 . 例如，我们可以考察熟悉的 Lorenz系统，我们可以复制其中
21、的一部分作为响应系统： x = cry x) y = xz + TX y i : xy _ bz driver, yf = xzf + rx yf z* = xyf bz* responsey (1.6) 看得出来，这个结构是同源驱动结构，驱动信号为 （ y)， 这种分解的主从系统是可以 实现完全同步的，因为所有的条件 Lyapunov指数都为负值 （ 具体见下一节的讨论 ).值得注 意的是，这里的分解并不是唯一的 s并且并不是每一种分解都可以实现完全同步的，如当 状态变量 作为驱动变量时，就不能实现完全同步 26. 2 API)框架 这种方法把一个自治的混沌系统改写为非自治的形式： X =
22、F(X,S(t) (1.7) 这里 F : Rs 是驱动信号 ， s = WX)或 = /i(X),其主要目的是在原来系 统的基础上分离出一部分作为驱动信号，井用它来驱动两个同等的混沌系统从而达到完全 同步 由前面知道， PC结构为了能够实现同步，我们往往要对原系统做恰当的分解，其 选择余地通常比较小，而结构对驱动信号 s 的选择相对来说较为自由，从而使得 这种方法更具一般性 . 同样，以 Lorenz系统为例： X -l J + s(t) i y = 28x xz y ( 1 .8) z =. xy _ _ 复旦大学硕士毕业论文 _ _ 8 这里 ， X = y， z)外 ） =/i(X)
23、= 10仏通过 Lyapunov函数方法知道，在驱动信号 s 的驱动下，这个响应系统和它的复制系统将实现同步 23. 3 双向耦合的完全同步 同等系统的双向耦合是两个同等的非线性动力系统通过两者之间的状态变量的误差来 进行调整控制从而达到同步的一种框架： x = /(x) + C(y - x)T 是耦合前的混沌系 统的最大 Lyapunov指数 )，系统 便能实现完全同步 2,而我们的研究目标是尽量得到 一个比较小的耦合强度阈值 .C， 同样，以 Lorenz系统为例 机其线性双向耦合模型如下： = ax2 X) X2 pZi XX X2+ c(y2 2) 办 =ATsi + c(y3 - 1
24、3) . (1.10) Vi = (72 Vi) + c(xx - yi) m = m yVz - 2/2 + c(x2 - y) !/3 - yV2 Pvz + c 3), 这里取 cr = 16,= 4, p = 4 以确保同步系统为混渖系统 ， 计算其 Lyapunov指数分別 为： A! = 1,37, A2 = 0, A3 = -22.37,所以当满足 e 0.685时，系统例达到同步 . 第三节混沌系统同步的稳定性分祈 复旦大学硕士毕业论文 由前面的介绍和讨论看出，混沌系统的同步的一个核心问题就是同步运动的稳定性的 分析，只有一个稳定的同步才是有意义的 .这里完全同步的稳定性问题主
25、要就是同步流形 X三 y的稳定性或等价的同步误差 e s y-X的零解稳定性 . 例如，对于 PC7框架和框架来说，同步误差的演化方程可以写成： ef(x,s(t)-f(y,s(t) (1.11) 这里的 x, y是响应系统和其复制的状态向量 s 是驱动信号轨道，如果对于混沌吸 引子所有可能的轨道 s(t)， 同步流形皆渐进稳定 这说萌完全同步是存在的 这个性质可以 通过对小误差向量 e的线性化系统的稳定性分析得到 .即把方程 j可以写成： e = Dx(s(t)e (1-12) 其中 Dx为向量函数 f在驱动轨道 s(t)上的 Jacobian矩阵 .当轨道冲）为不动点或 极限环时，同步稳定
26、性问题的研究可以转化为求 Dx的特征值或 Fbquet乘子丨 28,29但 当驱动信号 s 为混沌信号时，这种简单的方法就不能使用了，我们需要用到下面一些常 用的方法，他们各有利弊，有时可以结合使用 . 1 数值方法 一计算 Lyapunov指数 在驱动 响应耦合框架里，通常又叫做计算条件 Lyapunov指数，即计算在轨道 s(t) 上的响应系统的Lyapunov指数 .其计算方法如下： So为驱动信号的初始条件 ， mm lleoll e( ) )=moonpfso, t) - u | 的基本解阵 . fjJj丨， Z(S , ti)为方程 条件 Lyapunov指数为负数是同步状态稳定的
27、必要条件 通过计算条件 Lyapunov指 数，我们就可以判别出同步状态是否一定不能稳定，这种方法的缺点就是计算量比较大， 并且无法判别出同步状态是否一定稳定 . 2.理论方法 Lyapunov函数方法 这种方法是目前使用的最多也是最可靠的方法，它是建立在严密的微分方程的稳定性理 沧上的 .其方法是如果能构造一个满足下面两个条件的连续可微的实变函数 y(e)(Lyapim V 函数 )，则完全同步流形全局渐进稳定 . (i)当 e # 0 时， K(e) 0,当 e = 0 时 ,V = 0 复旦大学硕士毕业论文 10 (ii)当 ego 时 ,f 这里， 表示在驱动轨道 s(t)上的一个时间
28、平均值 注意到这里的分解不唯一，文献 30丨中给出一个最优的分解： A =t B(x,t) = Dx(s(t)- 这种方法是理论兼数值方法，其优点就是给出一个确保混沌同步的充分判据 ， 对实际 的应用有很大的价值，我们在下一章中 s也将使用这种方法来讨论一类混沌系统的同步问 题 .这种方法的缺点也在于它的计算量比较大，我们在下一章中将通过合理的算法来改进 - 模式分解法 这是文献 31,32介绍的一种针对线性双向耦合方法 .其主要思想是首先把整个耦合同 步系统看成是髙维的一个统一的动力系统，并把系统看成这个空间里的非常系数线性方程 组，然后通过对系数矩阵块对角化苁而再把这个统 一的系统分解成低
29、维的两个线性系统， 其中一个系统与耦合系数无关，这祥只需通过前面的方法研究另一个低维的线性系统漸进 稳定性 .不过，本人个人认为，这种方法与讨论小误差向量 e的线性化系统的稳定性分析 殊路同归，其最 后的计算和判别都没什么本质的区别 . 最后，本章还要指出许多文献中在进行混沌同步问题的稳定性分析常犯的一些错误 . 一个常见的错误是误用 Routh-Hurwitz判据 31.注意到 Routh-Hurwito判据仅在自治的 _ 复旦大学硕士毕业论文 _ _ 11 系统适用，而对非线性和非自治的动力系统失效 34,35，即我们不能通过矩阵 4 的稳定 性来判别方程 X = A X的稳定性 .文献
30、36有对这一问题的物理学机制的剖析 .在 31 中，作者利用 _】中的一个定理得毖的 一个引理，把方程 X =义 尤的零解渐进稳定的 判别等价于对称矩阵 B= 的 稳 定 性 判 别 .这 样 我 们 在 进 行 非 线 性 方 程 的 稳 定 性分析时，经常把方程化成变系数线性方程并通过矩阵 B的特征值来讨论方程的稳定 性，如果我们能够确保变系数矩阵 5 的特征值都小于零，且有一个小于零的上确界，则 可以说系统是渐进稳定的、尽管文 31丨注意到这个问题，提到一个所有变系数的特征值的 小于零的上确界，但并没有具体给出也没有 $明它的存在性，因此结论不够严密 .文献 47 也注意到这个问题，其解
31、决办法是直接引进这样的一个小于零的上确界，并通过综合它来 给岀同步稳定的充分判据 关于这类错误，下一章中还将提到 .在下一章中，我们主要利 用 Lyapunov函数方法来讨论一类混沌系统的双向线性耦合间题，并结合运用其他的一些 方法 . 这个结论我们可以通过 Lyapunov函数的方法简 单加以证明，对于方程 X = j X,构造 Lyapunov函数 = 臺 X,有 V(A： ) = 邱 )义，由于矩阵邱 ） 是对称矩阵，特征值皆为实数，如果刼 使 得 B 的 所 有 最 大 特 征 值 同时进行了计算机数值模拟，接着把这种方法 推广到综合了洛伦兹系统和陈系统的一类带参数的不确定的统一混沌系
32、统以及一般的动力 系统中 . 第一节一类混淹系统的模型 为了研究大气中的热对流现象， Lorenz利用截谱方法 37丨 38把大气动力学偏微分方 程组简化为如下 3个一阶常微分方程组： x = a(p - x) y = cx - xz - y (2.1) z = xy bz, 其中 :c代表对流强度 ， y代表上升流与下降流的温差 ， z代表垂直温度分布与线性温 度廓线的偏差， 6是外形比参数， a二 f是 Pradtl数 （ V和 k分别是分子粘性系数和热传 12 复旦大学碩士毕业论文 13 导系数 ） ， c = 舍 。 方 程 _)的 控 制 参 数 是 瑞 利 数 札 = ，其中 a是
33、热膨胀 系数， g是重力加速度， d为流层厚度， Ar相当 Benard实验上下板间的温差 .瑞利数 札是一无量纲数，尾是它的临界值，当凡 =尾时， Benard对流发生 .这就是著名的 Lomiz方程 .当 a = 10,& = |， c = 28时 ， 有 混 沌 吸 引 子 . 如图 1 0.1) 图 1 Lorenz系統混沌吸引子 而 Chen系统同样是一种典型的混沌系统，它具有比 Lorens!系统更复杂的拓扑结构 39 由于 Chen系统在电路上的可实现性以及其在保密通讯上的广泛应用前景，它的混沌 同步问题也越来越被人们广泛的研究和讨论 .其微分方程表述为 * X ay - x)
34、1y (c- a ) x - x z + c y(2.2) bz 当 a二 35,6 = 3，二 28时，為句有混沌吸引子 s如图 2 复旦大学碩士毕业论文 图 2 Chen系统混沌吸引子 另一种介于 Lorenz系统和 Chen系统之间的 LTI系统则表述为 40J: x a(y x) 1 y = xz + cy z xy bzy 当 a = 3M = 3, c = 20时 ， _有混沌吸引子 如图 3 (i-i) 14 (2.3) 图 3 Lii系统混沌吸引子 _ 复旦大学硕士毕业论文 _ 15 在文 叫中引用了一类包含了 Chen系统和 Lorenz系统的带参数的混沌系统： i = (2
35、50 +10)(?/-a:) (2.8) 其系数矩阵为 : 雄） (cz + 2di) a c iJ?3 _(1 + 2也） 0 _yi Vi (1 + 2(i$), 则有 5 / 雄 )+r(f) 2 一 (a+ 2呔 f 0 管 0 (1 + 2办） 在常微分方程理论中，我们知道对于非常系数线性方程 ： X : :冲 )X的零解渐进稳定 问题并不能由距阵 A 的稳定性来判别 .在 31中，作者利用丨 42中的一个定理得出的 一 个引理，从而把方程 X = 的零解渐进稳定的判别等价于对称矩阵 S= 气， 的稳定性判别 .针对 Lorenz系统，对称矩阵 B 的特征多项式是一个三次多项式，因而
36、 叫中利用根与系数关系的 Routh-lrarwitz条件判据得到 B(t)的持征值皆为负数的充分条 件，从而得到 (Sft的混沌同步充分条件 。但是 这个充分条件只适用于常系数方程 ） 其主 要原因是不能得到变系数特征多项式的根 一致小于零的充分条件，尽管文中提到一个小于 零的上确值，但并没有严格证明和给出，因此结果并不严密 且结果过于繁琐，不利于实际 检验 尽管丨 31中引进了一种不变子相空间分解的降维方法来处理一些高维系统，但最终 这种方法还是利用 Routh-hurwitz条件判据来判断对称矩阵 5 的特征值负值从而得到充 分条件，从而丨 31中的有 关结论缺乏理论依据，况且得出来的结
37、果并不十分令人满意 .下 . U & 面我们将利用 Lyapunov函数的方法来给出 )零解的渐近稳定性的充分条件。并以此 推广到一般的系统，这些结果都是有严格的理论依据的 . _ _ 复旦大学硕士毕业论文 _ _ 17 第二节线性耦合的主要结论 假设馬 ,有下面的定理： 定理 2.2.1.如果耦合系数 4满足 2 则 对 适 当 的 初 值 ， 只 要 其 軌 道 最 终 落 在 吸 引 域 范 围内，那么这两个 $合的 io/ms系统 |iTf其中 6 在 f +时达到同步， i个奸 证明 只要证明供 的零解是渐近稳定札则在 + 时达到同步 . 考察 _/，作 1?111函数 ;/ =说
38、2 + ?2 + (2)，则有 ： V = -(a + 2)2 + aT + (c - x3)r - (1 4- 2d2)Tf yiCn + + ViVC (b + 2d3)C2 =-(a + 2di)2 - (1 + 2rf2)t?2 - (6 + 2d)C2 + (a + c - x3)r) + 乞一 (这 + 2di)f2 _ (1 + 2办 )巧 2 _ (办 + 2而 )(2 + 抑 )2 + 名 2(2 又由于存在有界区域 r c把包含整个吸引子，使 的每一个轨道都包含在 r中丨 431， 其中： T = (x,ytz)E R + yiz-a-c)2 = 0 (4.%) 其中 因此
39、 y2 + b-a c)2Sf 由定理的条件，当系统说 1) 的轨道 落入吸引域内，则得到大约估计：巧 + (办 -a - c)2 S ,所以： V ) . fi-8) 由条件辦）或 _ s有 ： K $ 0且只有当 f = 7?=(时，取等号 .从而辦 f的零解是渐 近稳定的，证毕 . 注 :1，尽管这个条件相对 31中的条件略为强一些，但比较容易验证 比如当呔 =办 = _ _ 复旦大学硕士毕业论文 _ 1S 也 =d时，条件可以化为耦合系数 d满 足 条 件 以 当 1 , 6 1 ) ， 即 可 达 到 混 沌同步 . 2. 此条件仅仅是充分条件，即当条件满足时可以达到混沌同步，若条件
40、不满足时也未必不 能同步 .比如 X耦合时，即也 # 0，必 =4 = 0,此时这个充分条件就失效了，因为这时充 分条件变成了M 1),办 - a( 7= + 14, 7 i= 一 -r s/lB VIE 1 v5 3 A*) 則桌统 的耦合在 f +00时达到同步 . 关于 x耦合 一 0,d2 = d3 = 0)问题，或 y耦合， z耦合问题，可以同样利用 Lyapunov函数的方法得到其充分条件 只需稍微改一下证明过程中放缩方法，其目的是要 使得 V函数对 t的导数小于零 . 推论 2 . 2 . 2 对 于 系 统 汴 # v的 z耦合问题（即也 # , d2 = d3 = 人如果耦合
41、系 數也满足 , b2(a + c)2 a rf-i ； 1 丨 11 11 ._ + 时达到 同步 . 复旦大学硕士毕业论文 19 证明：同样 5作 1哪 1111 贏 (叶 气坤 2 + f),即可得到 F 时，结论成立 . 证毕 . 注 :1.对于 Lorenz系统的 y耦合， Z耦合间题，有着类似的结论， 2.尽管这个结果与 31中的相应结果相当，但有充分的理论依据 只是不是很理想，例如当 a = 10,6= |， c = 28时，充分条件要求由而实际上数值结果表明当屯 3.3时， x-耦合就可以稳定同步（见图 7).从理论上讲，通过构造更为复杂的 Lyapunov函数 s可 以改进充
42、分条件的结论，这一点在后面的讨论中将还有说明 . 下面考虑一般情况线性耦合的同步问题 .设微分方程组为： X = FX), (2.11) 其中 , F(X)可微，且导函数有界 .即存在 M0,使 得 间 PpQ丨丨 SM， 这里 的 DF(jq为向量函数 P(X)的 Jacobi矩阵 . 其耦合系统为 5 f T X = FX) + DY - X) Y = F(Y) + D(X - Y), 两式相减得： XY F(X)-F(Y)-2D(X-Y) =： (DF(X)xt)2D)XY) =A(t)-2D)X Y) 这里令 .） =，为了计算和讨论的方便，我们经常取冲） =z?Fp u=;q().
43、利用 Lyapunov函数的方法，我们有下面的定理 s _ 复旦大学硕士毕业论文 _ 20 定理 2.2.2 对于若存在 M 2 0， 使得 |A| S Af且 Dr + I? M五正定，则系 统 -) +时达到同步 . 证明 5令 Z = X - K ,则 可化为 Z=(At) - 2D)Z (2.12) 作 Lyapunov函数 F =方 7，于是 vi) =grZ + rZ =(A7) - 2Dt)Z + ZT(A(i) - 2D)Z =ZTATt) + A(t) -2D- 2Dt)Z =2D + 2DT - Tt) - A(t)Z 即可达到混沌同步 .此结论与上 一章中提到的 2丨的结
44、论类傻， 2中的结论相当把 M取为的一个时间平均值的最大 值，即最大条件 Lyapunov指数 . 2.由条件得知耦合矩阵 D 般要求正定，通过相似变换可化成对角元素都大于零的对角矩 阵 .为了进一步改善结论即降低混沌同步条件对耦合矩阵 Z?的要求，我们可以重新构造 Lyapunov函数 ： K = =，其中 S为正定矩阵 .不妨设 J5= Z -2乃 v(t) = + = + (2.13) =ZTBTS + SB)Z 所以当 + SB确保负定时，原系统就可以达到同步。我们可以通过数值的方法来调整 矩阵 5 的选择，从而降低对耦合矩阵 Z?的要求 . 下面我们分析方程的线性化方程，这里取都）近
45、似的为向量函数巧在轨道 X 上的 Jacobi矩阵 .令贶 =y - X,则原稱合系统的同步问题转化为方程， w = (2D + DF(X(t)W = -2D + vl(x(i); t)W (2.14) 复旦大学硕士毕业论文 21 的零解渐近稳定问题 . 假设矩阵 为可化对角矩阵，且特征值实部都大于零，即存在可逆矩阵尸，使得 Ai PlDP = 入 2 其中 Ee%) Urn - |il(5)|rf5 = lim ,丨丨户 -1乂卜 ; s)Pl|ds (2.17) t t Jt t 一 t Jt 这里的充分条件与范数的具体选择有关，通常可以取矩阵的 2范数和 Frobenhis范数： |M| = Tr(MrM)i _ _ 复旦大学硬士毕业论文 _ _ 22 另外，当耦合矩阵如前面讨论中取为对角矩阵时，即 D =由叩 而 ,也 ,