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1、5.5.2 5.5.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换第五章第五章 三角函数三角函数5.5 三 角 恒 等 变 换引引 入入 学习了和学习了和（差差）角公式角公式、二倍角公式以后二倍角公式以后，我们就有了我们就有了进行三角恒等变换的新工具进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富思路和方法更加丰富 引引 入入例例1.试以试以cosa a 表示表示分析分析:二倍角的余弦公式中含有三角函数的平方二倍角的余弦公式中含有三角函数的平方.可以用二倍角的余弦公式进行变换可以用二倍角的余弦公式进行变换.题设中的题设中的a a 和和 是二倍角关系是二
2、倍角关系,解解:引引 入入结论结论:(降次公式、半角公式降次公式、半角公式)探究新知探究新知例例2.求证求证:(1)(2)(二二)和差角公式的变换使用和差角公式的变换使用分析分析:(1)等式左边是单角等式左边是单角a a、b b,右边是和角右边是和角,差角差角,可考虑用和可考虑用和(差差)角公式从右证到左角公式从右证到左.证明证明:右边右边=sina a cosb b=左边左边,等式成立等式成立.探究新知探究新知例例2.求证求证:(1)(2)分析分析:(2)仔细观察左右两边的结构形式，仔细观察左右两边的结构形式，于是可以根据第于是可以根据第(1)题求证题求证.类似于类似于2sina a cos
3、b b,类似于类似于(1)题两边乘以题两边乘以 2 后的左边后的左边,于是得到启示于是得到启示:换元换元,令令则则 a a+b b=q,q,a a-b b=j,j,(二二)和差角公式的变换使用和差角公式的变换使用拓展1：积化和差拓展2：和差化积探究新知探究新知例例2.求证求证:(1)(2)(二二)和差角公式的变换使用和差角公式的变换使用证明证明:(2)令令则则 a a+b b=q q,a a-b b=j,j,(1)结论结论)=左边左边,等式成立等式成立.探究新知探究新知补充例补充例1.求求 cos(a a-b b)的值的值.(三三)构造变换构造变换将两式相加得将两式相加得2-2(sina a
4、sinb b+cosa a cosb b)得得 cos(a a-b b)=)=解解:将已知两式分别平方得将已知两式分别平方得即即 2-2cos(a a-b b)(构造和构造和(差差)角形式角形式)探究新知探究新知(三三)构造变换构造变换补充例补充例2.求证求证:分析分析:等式的左边是二倍角等式的左边是二倍角,右边是单角右边是单角,思想思想:用二倍角公式化为单角用二倍角公式化为单角,问题问题:cos2a a 化成哪一个化成哪一个?不妨把右边切化弦观察不妨把右边切化弦观察,若分子乘以若分子乘以cosa a+sina a 就得就得cos2a a-sin2a a,即为即为 cos2a a.探究新知探究
5、新知(三三)构造变换构造变换补充例补充例2.求证求证:证明证明:左边左边 =(构造完全平方构造完全平方)(分子母同除以分子母同除以cosa a)=右边右边,等式成立等式成立.探究新知探究新知(三三)构造变换构造变换补充例补充例3.已知已知A、B、C是三角形的内角是三角形的内角,求证求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.分析分析:将所证等式变形得将所证等式变形得,tanA+tanB=(tanAtanB-1)tanC,构造成了和角的正切构造成了和角的正切,-tanC 恰是恰是 tan(A+B).探究新知探究新知(三三)构造变换构造变换补充例补充例3.已知已知A、B、C是三角
6、形的内角是三角形的内角,求证求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明证明:=-=-tanC,=tan(180-C)tanA+tanB=(1-tanAtanB)(-tanC)=-tanC+tanAtanBtanC,即得即得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.和角正切的变形应用和角正切的变形应用:tana a+tanb b=tan(a a+b b)(1-tana a tanb b).探究新知探究新知 例例4.求函数求函数 y=5=5sin x+12cos x 的周期的周期,最大值和最小值最大值和最小值.分析分析:要求周期要求周期、最值最值,最好是把函
7、数化成只有最好是把函数化成只有 一个三角函数的形式一个三角函数的形式.而函数的结构形式是而函数的结构形式是 a sina a+b cosa 的形式的形式,可考虑用辅助角公式可考虑用辅助角公式.(四四)辅助角公式化一辅助角公式化一探究新知探究新知一般地，对于yasin xbcos x，可以进行合并.第三步：化简、逆用公式得第三步：化简、逆用公式得asin xbcos x探究新知探究新知辅助角公式辅助角公式例题讲解例题讲解(1)求求f(x)的最小正周期；的最小正周期；例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解1,32m12，即1m3.例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解练练1 1探究新知探究新知练练2 23.求
8、函数求函数 f(x)=sin(+4x)+cos(4x-)的最小正周期和递减区间的最小正周期和递减区间.解解:最小正周期为最小正周期为递减区间为递减区间为例题讲解例题讲解22得91624sin(AB)37.综合运用探究新知探究新知2.在ABC中，如果sin A2sin Ccos B，那么这个三角形是A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析ABC，A(BC)，由已知可得sin(BC)2sin Ccos Bsin Bcos Ccos Bsin C2sin Ccos Bsin Bcos Ccos Bsin C0sin(BC)0.0B，0C，BC.BC.故ABC为等腰三角形.例题
9、讲解例题讲解(五五)应用中的三角变换应用中的三角变换 例例4.如图如图,已知已知OPQ是半径为是半径为 1,圆心角为圆心角为 的扇形的扇形,C 是扇形弧是扇形弧上的动点上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形是扇形的内接矩形.记记COP=a a,求当角求当角 a a 取何值取何值时时,矩形矩形ABCD的面积最大的面积最大?并求出这个最大面积并求出这个最大面积.OABPCQDa a解解:在在RtOBC中中,OC=1,BC=OCsina a在在RtOAD中中,=sina,a,OB=OCcosa a=cosa,a,OA=ADtan则则 AB=OB-OASABCD=ABBC例题讲解例题讲解则当则当 时时,
10、即即a a=时时,S最大最大=接上页接上页SABCD=ABBC例题讲解例题讲解在三角恒等变换中在三角恒等变换中,注意以下注意以下解题思想解题思想的运用的运用:1.向着同种函数转化向着同种函数转化2.向着同角转化向着同角转化3.向着一个三角函数转化向着一个三角函数转化正、余弦的互化正、余弦的互化,正正、余切化正余切化正、余弦余弦(切化弦切化弦).诱导公式诱导公式,二倍角公式二倍角公式.和和(差差)角公式角公式(辅助角化一辅助角化一).课堂练习课堂练习 4.设设 f(a a)=sinxa a+cosxa a,x n|n=2k,k N+.利用三角变换利用三角变换,估计估计 f(a a)在在 x=2,
11、4,6 时的取值情况时的取值情况,进而对进而对 x 取一般值时取一般值时 f(a a)的取值范围作的取值范围作出一个猜想出一个猜想.分析分析:当当 x=2 时时,f(a a)=1,当当 x=4 时时,f(a a)=sin4a a+cos4a a,=(sin2a a+cos2a a)2-2sin2a a cos2a a,=1-2sin2a a cos2a a,1,当当 x=6 时时,f(a a)=sin6a a+cos6a a,=(sin2a a+cos2a a)(sin4a a-sin2a a cos2a a+cos4a a),=1-3sin2a a cos2a a,1,=(sin2a a+cos2a a)2-3sin2a a cos2a a,f()猜想猜想:布置作业布置作业（1）教材（2）同步作业THANKS