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1、3.2 函数的基本性质函数的基本性质3.2.1 单调性单调性与与最大最大(小小)值值思考思考 观察观察下列各个函数的图象下列各个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应函数的你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？哪些变化规律？通过对函数定义的学习，我们知道函数通过对函数定义的学习，我们知道函数是描述事物运动变化规律的是描述事物运动变化规律的数学模型数学模型.如果如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的的规律规律.观察下列函数的图象，思考其变化规律：观察下列函数的图象，思考其变化规律：1、从左到右从左到右图象是图象是_(上升上升
2、/下降下降)？2、在区间、在区间 _上上，f(x)随随着着x的增大而的增大而 _ 1、在区间、在区间_ 上，上，f(x)随着随着x的增大而的增大而_.2、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)随着随着x的增大而的增大而_ 上升上升(-,+)增大增大(-,0减小减小(0,+)增大增大一、直观感知一、直观感知f(x)=x0321-1-2-312-2-1xyf(x)=x20321-1-2-3123-1xy 函数图象的函数图象的“上升上升”、“下降下降”以及函数值随自变量的变化以及函数值随自变量的变化而产生不同的变化，是函数性质的反映，这就是我们所要研究的而产生不同的变化，是函数性质的反映，这就是我们所
3、要研究的函数的一个重要性质函数的一个重要性质函数的单调性函数的单调性函数的单调性函数的单调性.认知总结：认知总结：单调性如何用数单调性如何用数学符号语言表达？学符号语言表达？观察观察f(x)=x2 的图象：的图象：在在y轴左侧，从左至右图像是轴左侧，从左至右图像是下降下降的的，随着随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着减小减小.在在y轴右侧，从左至右图像是轴右侧，从左至右图像是上升上升的的，随着，随着x的增大，的增大，f(x)的值随着增大的值随着增大.用用数学符号语言描述如下：数学符号语言描述如下：二二、全面感知，深化、全面感知，深化性质性质如何如何用用数学数学符符号语言号语言描述？描
4、述？xOy请用请用类比的方法描述类比的方法描述y y轴右侧的轴右侧的规律规律.请说明为什么请说明为什么f(x1)f(x2)?请说明为什么请说明为什么f(x1)f(x2)?函数函数f(x)=-x2在区间在区间(-(-,0,0上上是是单调单调_的的,在在0,+0,+)上上是单调是单调 的的 .思考思考1 函数函数f(x)=|x|，f(x)=-x2各有怎样的单调性？各有怎样的单调性？函数函数f(x)=|x|在区间在区间(-(-,0,0上上是单调是单调 的的,在在0,+0,+)上上是单调是单调 的的 .递减递减递增递增递减递减递增递增0321-1-2-31234xy0321-1-2-31-2-3-1x
5、y三、规范三、规范概念概念特别地，当特别地，当函数函数f(x)在在它的定义域上单调递增时，我它的定义域上单调递增时，我们就称它是们就称它是增函数增函数.特别地，当特别地，当函数函数f(x)在在它的定义域上单调它的定义域上单调递减时递减时，我，我们就称它们就称它是是减函数减函数.如果函数如果函数y=f(x)在某个在某个区间区间D上是单调递增或单调递减，那么就上是单调递增或单调递减，那么就说函说函数数y=f(x)在这一区间在这一区间具有具有(严格的严格的)单调性，区间单调性，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.xOyxOyxOy1 思考思考2(1)设设A是区间是区间D上某些自变量的值组
6、成的集合，上某些自变量的值组成的集合，而且而且x1,x2A，当，当x1 x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，我们能说函数我们能说函数f(x)在区间在区间D上单调递增吗上单调递增吗？(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内某些区间上单调递增但在内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？另一些区间上单调递减的函数例子吗？单调性概念说明：单调性概念说明：（1）局部性：）局部性：也就是说它肯定也就是说它肯定有有
7、一个一个区间区间.区间区间可以是整个定义域，也可可以是整个定义域，也可以是以是其定义域的真子集，即其定义域的真子集，即D I(所以求单调区间一定要先求定义域所以求单调区间一定要先求定义域)，我我们们说增函数、减函数时，说增函数、减函数时，必须指明它所在的必须指明它所在的区间区间.（2）任意性）任意性：定义中定义中的的x x1 1,x x2 2是是指指任意的任意的，不，不可用两个特殊值代替，且通可用两个特殊值代替，且通常规定常规定x x1 1x x2 2.（3）一致性：一致性：（5）不是所有函数都具有）不是所有函数都具有单调性单调性，如如y=x+1(xZ)，y=1等函数不具有等函数不具有单单调性
8、调性.（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”,而而应应该用该用“和和”或或“，”来来连接连接.（6）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题所以不存在单调性问题.因此因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些括这些点点，建议都写出开区间，可以避免由于写错区间端
9、点而丢分建议都写出开区间，可以避免由于写错区间端点而丢分.例题例题 如如图定义在闭区间图定义在闭区间-5，5上上的函数的函数y=f(x)的的图象，根据图象说出图象，根据图象说出 y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上的单调区间，以及在每一单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数?解解：由图象可知，函数由图象可知，函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2)，-2,1)，1,3)，3,5.其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2)，1,3)上上是减函数，在是减函数，在-2,1),3,5是是增函数增函数.xOy12345-1 -2-3-4-5-1-212四四、迁
10、移应用迁移应用例例1 根据根据定义，研究函数定义，研究函数f(x)=kx+b(k0)的单调性的单调性.定号定号作作差，化简差，化简结论结论取值取值P79练习练习2 根据定义根据定义证明函数证明函数f(x)=3x+2是增函数是增函数.证明证明：x1,x2R，不妨设，不妨设x1x2,则则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)由由x1x2，得得 x1-x20 f(x1)-f(x2)0即即 f(x1)0 xOyk0P79练习练习1,3,41、增函数与减函数的定义、增函数与减函数的定义2、判断函数单调性的方法、判断函数单调性的方法（1）图象法）图象法:看图象从左向右是上
11、升还是下降看图象从左向右是上升还是下降（2）用定义证明函数单调性的步骤）用定义证明函数单调性的步骤:取值取值 作差作差变形变形定号定号结论结论五、五、课堂小结课堂小结六、六、作业作业课本课本85页页习题习题3.2 第第1,2,3,8题题函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值xOy观察二次函数观察二次函数f(x)=x2的图象，我们容易发现图象上有的图象，我们容易发现图象上有一个最低点一个最低点(0,0)，即对任意，即对任意xR，都有，都有f(x)f(0).由此可得由此可得当一个函数当一个函数f(x)的图象有一个最低点时，我们就说函数的图象有一个最低点时，我们就说函数有最小值；反之若图象有最高点
12、，则函数有最大值有最小值；反之若图象有最高点，则函数有最大值.思考思考 你能以函数你能以函数f(x)=-x2为例说明函数为例说明函数f(x)的最大值的含义吗？的最大值的含义吗？xOy1.最大值：最大值：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大最大值值.2最小值：最小值：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：（1）对
13、于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值.思考思考 你能仿照函数最大值的定义，给出函数你能仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的含义吗？的最小值的含义吗？2、函数、函数最值是最值是所有函数值中所有函数值中最大最大(小小)的的，即，即对于对于xI，都有，都有f(x)M（f(x)M）注意：注意：1、函数、函数最值是最值是某一个函数值，即存在某一个函数值，即存在x0I，使得，使得f(x0)=M；例例4“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造制造时一般是
14、期望在它达到最高时一般是期望在它达到最高点时爆裂点时爆裂.如果在距地面高度如果在距地面高度h m与时间与时间t s之间之间的关系为：的关系为：h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么那么烟花冲出后什么时候烟花冲出后什么时候是它是它的爆裂的最佳时刻的爆裂的最佳时刻？这时距这时距地面的高度是多少（地面的高度是多少（精确到精确到1m）解：解：作出函数作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象的图象(如图如图).显然，函显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度是烟花爆裂的最
15、佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由于由于二次函数的知识，对于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：，我们有：于是于是，烟花冲出后，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻秒是它爆裂的最佳时刻,这时这时距地面的高度为距地面的高度为29 m.解解：任取任取x1,x22,6，且且x1x2,则则P81页练习页练习1.整个整个上午上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场一场暴暴风雨风雨使天气骤然凉爽了许多使天气骤然凉爽了许多.暴风雨暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始
16、转凉才又开始转凉.画画出这一天出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的期间气温作为时间函数的一个一个可可能的图象能的图象(示意图示意图)，并说出所画函数的单调区间，并说出所画函数的单调区间.单调递增区间为单调递增区间为8,12，13,18；单调；单调递减区间为递减区间为12,13，18,20.2.设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为-6,11.如果如果f(x)在区间在区间-6,-2上单调递减，在区上单调递减，在区间间-2,11上单调递增，画出上单调递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现的一个大致的图象，从图象上可以发现f(-2)是函数是函数f(x)的一的一个个_.P8
17、1页练习页练习最小值最小值xOy12345-1 -2-3-4-5-1-212-66789 10 11解解：任取任取x1,x22,6，且且x1x2,则则1.利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最大）求函数的最大(小小)值；值；2.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值；值；3.利用利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大的判断函数的最大(小小)值值.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处处有有最小值最小值f(a)，在，在x=b处有处有最大值最大值f(b)；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b,c上单调上单调递递增增，则则函数函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b).求函数的最大求函数的最大(小小)值的方法总结：值的方法总结：