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1、3.2.1 单调性与最大（小）值（一）学习目标：1.1.知识与技能知识与技能 (1)(1)理解函数的单调性概念理解函数的单调性概念 (2)(2)初步掌握函数单调性的判断与证明初步掌握函数单调性的判断与证明2.2.学科素养学科素养 (1)(1)利利用用函函数数图图象象表表示示函函数数的的单单调调性性，培培养养直直观观想想象象的的学科素养。学科素养。(2)(2)用用数数学学符符号号语语言言刻刻画画函函数数单单调调性性，培培养养数数学学抽抽象象的的学科素养学科素养 (3)(3)利利用用单单调调性性定定义义证证明明函函数数单单调调性性，培培养养逻逻辑辑推推理理的的学科素养学科素养1课 堂 导 入课 堂
2、 导 入问题问题1 1：观察图3.2-1中的各个函数图象，你能说说他们分别有哪些特征吗？新课导入：在函数定义域的某一区间内，函数图像从左到右是上升的，即y随着x的增大而增大，则称函数在这个区间内单调递增在函数定义域的某一区间内，函数图像从左到右是下降的，即y随着x的增大而减小，则称函数在这个区间内单调递减函数单调性的自然语言描述：1课 堂 导 入课 堂 导 入单调性是局部性质单调性是局部性质问题问题2 2：判断函数 的单调性2探究作出函数f(x)=x2 的函数图象，判断它的单调性思考：如何用符号语言刻画“在区间0,+)上，y随着x的增大而增大”？x0时时,y随随x的增大而减小的增大而减小f(x
3、)在在(-,0)上单调递减上单调递减x0时时,y随随x的增大而增大的增大而增大f(x)在在0,+)上单调递增上单调递增2探究作出函数f(x)=x2 的函数图象，判断它的单调性x0时时,y随随x的增大而增大的增大而增大f(x)在在0,+)上单调递增上单调递增思考：如何用符号语言刻画“在区间0,+)上，y随着x的增大而增大”？2探究作出函数f(x)=x2 的函数图象，判断它的单调性x0时时,y随随x的增大而减小的增大而减小f(x)在在(-,0上单调递减上单调递减x0时时,y随随x的增大而增大的增大而增大f(x)在在0,+)上单调递增上单调递增你能模仿以上的方法，给出“在区间（-，0)上，y随着x的
4、增大而减小”的符号语言刻画吗？新知学习：单调性的定义单调递增单调递增单调递减单调递减定定义义一般地，设函数一般地，设函数f(x)的的定义域为定义域为I，区间，区间DI，图图示示 x1，x2D,当当x1f(x2),则称函数则称函数f(x)在区间在区间D上上单调递减单调递减,区间区间D为为f(x)的的单调单调递递减区间减区间.注：注：当函数在其当函数在其定义域上定义域上单调递增单调递增(减减)时，则称时，则称f f(x x)是是增增(减减)函数函数.若若f f(x x)在区间在区间D D上上单调递增单调递增(减减)，则称，则称f f(x x)在区间在区间D D具有具有严格的严格的单调性单调性.常数
5、函数不具有严格的单调性.x1，x2D,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),则称函数则称函数f(x)在区间在区间D上上单调递增单调递增,区间区间D为为f(x)的的单调单调递增递增区间区间.问题问题3 3：(1)设函数f(x)=|x|，区间D=(-4,4)，集合A=-1,2,3，对x1,x2A，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？.不能.函数的函数的单调性单调性是对定义域是对定义域I上的上的某个区间某个区间D而言的，自变量在而言的，自变量在整个区间整个区间D上的取值上的取值x1和和x2（x1x2）具有任意性。不能用自变量）具有任意性。不能用自变量
6、在区间在区间D内某两个值来或者区间内某两个值来或者区间D一部分内的任意两个值一部分内的任意两个值x1，x2来代替。来代替。（2）讨论函数 的单调性函数的单调区间不能用函数的单调区间不能用“并并”来连接，必须用来连接，必须用“和和”或或“,”连接连接 (3)函数的单调性是对定义域上的某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数吗？在定义域内的某些区间单调而在另一些区间上单调递减的函数吗？增函数、减函数增函数、减函数是针对的是函数的是针对的是函数的整个定义域，整个定义域，是函数的是函数的整体性质，整体性质，而函数的而函数的单调性单调性是对定义域下的是对定义域下的某个区间，某个区间，是函数的
7、是函数的局部性质局部性质.一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义域上不一定整个定义域上不一定具有单调性具有单调性.yxOyxO典例典例1 用定义证明函数用定义证明函数f(x)=3x+2是增函数是增函数例题讲解：思考：（1）要证明函数f(x)=3x+2是增函数，关键是要证明什么？（2）你还记得如何比较f(x1)和f(x2)的大小吗？（3）x1，x2应在什么范围内？作差法步骤：作差、变形、定号、做结论步骤：作差、变形、定号、做结论函数函数f(x)的的定义域或定义域下的定义域或定义域下的某个区间某个区间典例典例1 用定义证明函数用定义证明函数
8、f(x)=3x+2是增函数是增函数例题讲解：则于是用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤:1.1.取数取数:任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1x x2 2；2.2.作差作差:f(x:f(x1 1)f(xf(x2 2)；3.3.变形变形:通常是因式分解和配方；通常是因式分解和配方；4.4.定号定号:判断差判断差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)的正负；的正负；5.5.结论结论:指出函数指出函数f(x)f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性上的单调性.归纳总结判断函数的单调性定义法取数取数作差、变形作差、变形定号定号定论定论典例典例2 物理
9、学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数 在区间 上是减函数.典例典例3证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则由V1，V2(0，+)且V10,V2-V1 0又k0,于是所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差、变形结论1 1、下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间-4,7上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象,根据图象说出根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一区间上是单调递增还是单调递减。的单调区间，以及在每一区间上是单调递增还是单调递减。达标检测：达标检测：2下列函数在区间(0，)上不是增函数的是()Ay2x1 Byx21 Cy3x Dyx22x13函数f(x)x22x3的单调减区间是()A(，1)B(1，)C(，2)D(2，)4.证明函数 在 上单调递减 达标检测：1.基础必做：导学案达标检测,2.选做：对于函数f(x)=x3，可以利用定义证明单调性来判断图象的变化趋势吗？课堂小结：作业：1.函数单调性的定义2.增函数、减函数3.用定义法研究函数单调性