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1、第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用重重积积分分与与线线面面积积分分的的基基础础8.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 引言：微积分是研究引言：微积分是研究“变量问题变量问题”的数学工具，实际的数学工具，实际问题中常常碰到多变量的函数问题，如问题中常常碰到多变量的函数问题，如1 1、圆柱体体积：、圆柱体体积：V=V=R R2 2H H;2 2、欧姆定律描述电路中的电压、欧姆定律描述电路中的电压V V与线路的电阻与线路的电阻R R及及电流电流I I的关系：的关系：V=V=I RI R3 3、一定质量的理想气体，其体积与压力均与气体、一定质量的理想气体，其体积与压力均与
2、气体所受的温度有关，其关系式为：所受的温度有关，其关系式为：pVpV=R=RT T。（1）点的邻域）点的邻域(去心邻域去心邻域)一、平面点集的基本知识一、平面点集的基本知识（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集连通的开集称为开区域连通的开集称为开区域例如，例如，例如，例如，开区域和闭区域统称为区域开区域和闭区域统称为区域有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，（3）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明：n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时
3、，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为二、二元函数的定义二、二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义域定义域D；值域值域z|z=f(x,y),(x,y)D自变量自变量x,y；因变量因变量z。例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为D:全平面。全平面。D:y-x0,x0,x2+y21.D:x2+y22；(x,y)(0,0)内连续。内连续。多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取