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1、多元函数的基本概念极限和连续性一、一、区域区域1.邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,(球邻域球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为例如例如边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合例如例如(0,0)(0,0)既是既是边界点也是聚点但不属于集边界点也是聚点但不属于集合合D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集；若点集若点集 E E,则称则称 E 为为
2、闭集闭集；若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连,开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称 D 是连通的是连通的;连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域;E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界,记作记作 E;例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集，是最大的开域是最大的开域,也是最大的闭域也是最大的闭域;但非区域但非区域.对区域对区域 D,若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A
3、的距离的距离 AP K,则称则称 D 为为有界域有界域,界域界域.否则称为否则称为无无（4）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明：n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为二二、二元函数的定义、二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域
4、为所求定义域为（6）二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:三、多元函数的极限三、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 解解其中其中例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随
5、其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：利用点函数的形式有利用点函数的形式有四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义3 3例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，
6、在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元
7、初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例解解多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）五、小结五、小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取练习练习是否存在？解解:利用所以极限不存在.练练 习习 题题练习题答案练习题答案此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!