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1、第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1 1页页多元函数的基本概念 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2 2页页1.n 维空间维空间n 元有序数组的全体所构成的集合记作中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示,即定义:线性运算其元素称为点或 n 维向量.xi 称为 x 的第 i 个坐标
2、或 第 i 个分量.称为 n 维空间,第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第3 3页页的距离距离定义为与零元 0 的距离为第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第4 4页页2.2.区域区域(1).邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第5 5
3、页页(2).内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第6 6页页D(3).开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E
4、为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第7 7页页例如，例如，在平面上开区域闭区域第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第8 8页页 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称
5、 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第9 9页页7.2.37.2.3多元函数的概念多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1010页页定义定义1.设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域;数集称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学
6、 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1111页页例如,二元函数定义域为圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1212页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1313页页三、二元函数的极限三、二元函数的极限定义定义2.设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存
7、在常数 A,对一记作都有对任意正数 ,总存在正数,切第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1414页页7.2.3 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1515页页例例1.设求证:证证:故总有要证 第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1616页页例例2.设求证：证：证：故总有要证 第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202
8、211/10/2022第第1717页页 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例3.讨论函数函数第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1818页页例例4.求解解:因而此函数定义域不包括 x,y 轴则故第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第1919页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴
9、学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2020页页2.多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义7.3第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2121页页例如例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断，称为间断线.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2222页页定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任
10、意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质:第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2323页页解解:原式例例5.求例例6.求函数的连续域.解解:第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2424页页备用题备用题1.设求解法解法1 令第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2525页页1.设求解法解法2 令即第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2626页页2.是否存在？解解:利用所以极限不存在.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2727页页 3.证明在全平面连续.证证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院11/10/202211/10/2022第第2828页页