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1、数学试卷一、选择题1.集合1,Ax y,21,2Bxy,若AB,则实数x的取值集合为()A.12B.11,22C.10,2D.110,222.复数221izi的共轭复数是()A.1iB.1iC.2iD.2i3.平面内已知向量2,1a,若向量b与a方向相反,且2 5b,则向量b()A.(2,-4)B.(-4,2)C.(4,-2)D.(-2,4)4.已知角的终边上有一点1,3P,则sinsin23cos2cos2的值为()A.25B.45C.47D.45.设数列na的前n项和为nS,若12,nnnSSS,成等差数列,且22a,则7a()A.16 B.32 C.64 D.128 6.已知01a,lo
2、g2log3aax,1log52ay,log21log3aaz则()A.xyzB.zyxC.yxzD.zxy7.已知正实数,a b满足3ab,则1414ab的最小值为()A.1B.78C.98D.28.已知三棱柱111ABCA B C的六个顶点都在球O的球面上,且侧棱1AA平面ABC,若3ABAC,23BAC,18AA则球的表面积为()A.36B.64C.100D.1049.已知2a,函数log3,013,0axxxxfxxxa,若fx有两个零点分别为12,x x则()A.2a,120 xxB.2a,121xxC.2a,122xxD.2a,123xx10.已知双曲线1C:22221xyab(0
3、)ab的左、右焦点分别为12,F F,点M在双曲线1C的一条渐近线上,且2OMMF,若2OMF的面积为16,且双曲线1C与双曲线222:1164xyC的离心率相同,则双曲线1C的实轴长为()A.32 B.16 C.8 D.4 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,那么该三棱锥的体积等于()A.332cmB.32cmC.33cmD.39cm12.已知函数3261fxaxx,若fx存在唯一的零点0 x,且00 x,则a的取值范围是()A.,4B.4,C.,42D.42,二、填空题13.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色不全相同的概率是.14.若,x y
4、满足202200 xyxyy,则2zxy的最大值为 _.15.将函数sinfxx(其中0)的图象向右平移4个单位长度,所得图象经过点3,04,则的最小值是 _.16.椭圆C:222210 xyabab的右顶点为,A P是椭圆C上一点,O为坐标原点.已知60POAo,且OPAP,则椭圆C的离心率为.三、解答题17.设数列na的前n项和为nS,点*,nSnnNn均在函数32yx的图象上.1.求证:数列na为等差数列;2.设nT是数列13nna a的前 n 项和,求使20nmT对所有*nN都成立的最小正整数m.18.某班同学利用寒假在5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以
5、计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区”.已知备选的5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区.1.求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率;2.假定选择的“非低碳小区”为小区A,调查显示其“低碳族”的比例为12,数据如图 1 所示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图2 所示,问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准?19、如图,在四边形中,将沿折起,得到三棱锥,为的中点,为的中点,点在线段上,满足.1.证明:平面;2.若,求点
6、到平面的距离.20.已知点P在椭圆2222:10 xyCabab上,以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点2F,且22OP OFuuu r uu u u r,2tan2OPF,其中O为坐标原点.1.求椭圆C的方程;2.已知点1,0M,设Q是椭圆C上的一点,过Q、M两点的直线l交y轴于点N,若2NQOMu uu ru uuu r,求直线l的方程;3.作直线1l与椭圆2222:1xyDab交于不同的两点S,T,其中S点的坐标为2,0若点0,Gt是线段ST垂直平分线上一点,且满足4GS GTuu u r uuu r,求实数t的值.21.已知函数ln1fxxa x,xg xe.1.求当1a时,函数fx
7、的单调区间;2.过原点分别作曲线yfx与yg x的切线1l、2l,已知两切线的斜率互为倒数,证明:0a或211eeaee.22.已知直线35,2:132xtlyt(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos.1.将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;2.设点M的直角坐标为5,3,直线l与曲线C的交点为A,B,求MAMB的值.23.已知函数=223,12fxxaxg xx.1.解不等式22g xx;2.若对任意的1,xR都有2,xR使得12fxg x成立,求实数a的取值范围.参考答案1.答案：A 解析：2.答案：D 解析：3.答案：B 解析：4.答
8、案：A 解析：5.答案：C 解析：6.答案：C 解析：7.答案：C 解析：8.答案：C 解析：3,120ABACBACo,19923 3()3 32BC,三角形ABC的外接圆直径3 32632r,3r,1AA平面1,8ABC AA,该三棱柱的外接球的半径5R,该三棱柱的外接球的表面积为22445100SR.故选 C.9.答案：D 解析：10.答案：B 解析：11.答案：A 解析：12.答案：C 解析：13.答案：89解析：14.答案：4 解析：15.答案：2 解析：16.答案：2 55解析：17.答案：1.依题意,32nSnn,即232,2nSnn n,时,221323121nnnaSSnnn
9、n65n.当1n时,111aS符合上式,所以*65nannN,又1656156nnaann,na是一个以1为首项,6为公差的等差数列.2.由 1 知,13365615nna ann11126561nn,故1111111277136561nTnnL111261n,因此使得*11126120mnNn成立的m必须且仅需满足1220m,即10m,故满足要求的最小正整数m为10.解析：18.答案：1.设三个“非低碳小区”为,A B C,两个“低碳小区”为,m n5用,x y表示选定的两个小区,x yA B C m n,则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个,它们是(,)A B,(,)A
10、C,A m,A n,(,)B C,B m,B n,C m,C n,m n,用D表示:“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则D中的结果有6个,它们是:,A m,A n,B m,B n,C m,C n.故所求概率63105P D.2.由图 1 可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”.由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75,所以三个月后小区A达到了“低碳小区”标准.解析：答案：19、20.答案：1.由题意知,在2OPF中,22PFOF,由2tan2OPF,得:26cos3POF,设r为圆P的半径,c为椭圆的半焦距,22OP OFuuu r
11、 uu u u r,22623crc,又2tan2cOPFr,解得:2,1cr,点P的坐标为2,1,点P在椭圆2222:10 xyCabab上,222211ab,又2222abc,解得:224,2ab,椭圆C的方程为22142xy.2.由 1 知椭圆C的方程为22142xy,由题意知直线l的斜率存在,故设其斜率为k,则其方程为1yk x,0,Nk,设11,Q xy,2NQQMuuu ru uuu r,1111,21,x ykxy,112,33kxy,又Q是椭圆C上的一点,22233142k,解得4k,直线l的方程为440 xy或440 xy.3.由题意知椭圆22:14xDy,由2,0S,设11
12、,T xy根据题意可知直线1l的斜率存在,设直线斜率为k,则直线1l的方程为2yk x把它代入椭圆D的方程,消去y,整理得:222214161640kxk xk,由韦达定理得21216214kxk,则211122284,21414kkxyk xkk,所以线段ST的中点坐标为22282,1414kkkk,(1)当0?k时,则有0,2T线段ST垂直平分线为y轴,2,2,GStGTtuuu ruu u r,由244GS GTtuuu r uu u r,解得:2 2t.(2)当0k时,则线段ST垂直平分线的方程为2222181414kkyxkkk,点0,Gt是线段ST垂直平分线的一点,令0 x,得:2
13、614ktk,112,GStGTxytuuu ruu u r,由4211224 61512414kkGS GTxt ytkuuu r uu u r,解得:147k,代入2614ktk,解得:2 145t,综上,满足条件的实数t 的值为2 2t或2 145t.解析：21.答案：1.当1a时,1110 xfxxxx.当0,1x时,0fx,当1,x时,0fx,所以,函数fx的单调递增区间是0,1,单调递减区间是1,.2.设切线2l的方程为2yk x,切点为22,xy,则22xye,22222xykgxex,所以221,xye,于是211kk xxe,由题意知,切线1l的斜率为1211kke,1l的方
14、程为11yk xxe.设1l与曲线yfx的切点为11,x y),则1111111ykfxaxex,所以1111111,xyax aexe.又因为111ln1yxa x,消去1y和a后,整理得1111ln10 xxe.令11ln1m xxxe,则22111xmxxxx,m x在0,1上单调递减,在1,上单调递增.若10,1x,因为1120meee,110me,所以11,1xe,而111axe在11,1xe上单调递减,所以211eeaee.若11,x,因为m x在1,上单调递增,且0m e,所以1xe,所以1110axe.综上可知:0a或211eeaee.解析：22.答案：1.2cos等价于22cos.将222xy,cosx代入,即得曲线C的直角坐标方为2220 xyx.2.将35,2132xtyt代入,得25 3180tt.设这个方程的两个实根分别为1t,2t,则由参数t的几何意义即知,1 218MAMBt t.解析：23.答案：1.由22g xx,得12xx,两边平方得222144xxxx,解得32x,故不等式的解集是3|2x x.2.因为任意1xR,都有2xR,使得12fxg x成立,所以|y yfxy yg x,又223(2)(23)3f xxaxxaxa（），,122g xx,所以32a,解得1a或5a,所以实数a的取值范围为1a或5a.解析：