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1、数学试卷一、选择题1.复数满足(12)5i z,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合2|1,|lg(2)Mx xNx yxx,则()RC MN()A.(1,)B.0,1C.2,D.1,3.下列说法正确的是()A.命题 若2340 xx,则1x或4x,则其否命题是 若2340 xx,则1x且4x B.0a是函数nyx在定义域上单调递增的充分不必要条件C.000(,0),34xxx是真命题D.若命题:,3500npnN,则00:,3500npnN4.样本12,nx xx的平均数为x,样本12,my yy的平均数为()y xy.若样本1212,nm
2、x xxy yy的平均数1zaxa y,其中102a,则n、m的大小关系为()A.nmB.nmC.nmD.不能确定5.1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想:对于每一个正整数。如果它是奇数,对它乘 3再加 1,如果它是偶救.对它除以 2,这样循环,最终结果都能得到1.虽然该猜想看上去很简单,但有的教学家认为“该猜思任何程度的解决都是现化数学的一大进步”.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图,则处应填写的条件及输出的结果i 分别为()A.a 是偶数?6 B.a 是偶数?8 C.a 是奇数?5 D.a 是奇数?7 6.已知函数,0()sin,0 x xf xx x,则下列结论错误的是(
3、)A.()f x不是周期函数B.()f x在,2上是增函数C.()f x的值域为1,D.()f x的图象上存在不同的两点关于原点对称7.设不等式组104xxyxy表示的平面区域为M,若直线2ykx上存在M内的点,则实数k的取值范围是()A.2,5B.,13,C.2,5D.,25,8.已知正四棱锥PABCD的各条棱长均为2,则其外接球的表面积为()A.4B.6C.8D.169.在等差数列na中,760aaa,若它的前n项和nS有最大值,则当0nS时,n的最大值为()A.11 B.12 C.13 D.14 10.设双曲线22221(0)xyabab的右顶点为A,右焦点为(,0)F c,弦PQ、的过
4、F且垂直于x轴,过点,?P Q分别作直线,AP AQ的垂线,两垂线交于点B,若B到直线PQ、的距离小于2()ac,则该双曲线离心率的取值范围是()A.(1,5)B.(1,3)C.(3,2)D.(5,)11.已知0,0,a()()sin3 cos,()2cos,()6()f xf xaxax g xaxh xg x,这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示,则函数()()g xh x的图象的一条对称轴方程可以为()A.6xB.136xC.2312xD.2912x二、填空题12.如图,在正方形ABCD中,2AB,点E为BC的中点,点F为CD的中点,则AE BFu uu r uuu r的值是_
5、 13.函数(1)xyaa的图象与二次函数2yx的图象恰有两个不同的交点,则实数a的值是_ 14.在平面直角坐标系xOy中,已知圆221:9Oxy,圆222:(6)16Oxy,在圆2O内存在一定点M,过M的直线被圆1O,圆2O截得的弦分别为ABCD,且34ABCD,则定点M的坐标为_ 三、解答题15.已知各项均不为零的数列na的前n项和为nS,且对任意的nN,满足111(1)3nSa a.1.求数列na的通项公式;2.设数列nb满足4lognnna ba,数列nb的前n项和为nT,求证:49nT.16.某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况,抽查东西两部各5 个城市,得到观看该节目的
6、人数(单位:千人)如下茎叶图所示,其中一个数字被污损1.求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.2.节目的播出极大激发了观众随机统计了4 位观众的周均学习成语知识的的时间y(单位:小时)与年龄 x(单位:岁),并制作了对照表(如下表所示):年龄x20304050周均学习成语知识时间y2.5344.5由表中数据分析,x y呈线性相关关系,试求线性回归方程?ybxa,并预测年龄为60岁观众周均学习成语知识的时间参考数据:线性回归方程中?,b a的最小二乘估计分别是1221,?niiiniix ynxybaybxxn x17.如图,四楼锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,底面ABCD为梯形
7、.,22 3ABCD ADDCP,且PAD与ABD均为正三角形.E为AD的中点,G为PAD重心,AC与BD相交于点F.1.求证:GF P平面PDC;2.求三棱锥GPCD的体积.18.已知抛物线2:2(0)Eypx p的准线与x轴交于点k,过点k作圆22:(5)9Cxy的两条切线,切点为,M N,且3 3MN1.求抛物线E的方程;2.若直线AB是过定点(2,0)Q的一条直线,且与抛物线E交于,A B两点,过定点Q作AB的垂线与抛物线交于,G D两点,求四边形AGBD面积的最小值19.已知函数2()()xaxxaf xaRe1.若0a,函数()f x的极大值为,求实数a的值;2.若对任意的0,()
8、lnaf xbx在2,x上恒成立,求实数b的取值范围20.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2 cossinxy(为参数).以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,A B为曲线C上两点,且OAOB,设射线:OAa,其中02a.1.求曲线C的极坐标方程2.求OA OB的最小值.21.已知函数()2f xxaxb.1.当2,1ab时,求不等式()6f x的解集;2.若0,0,()abf x的最小值为1,求21ab的最小值参考答案1.答案：D 解析：2.答案：B 解析：3.答案：A 解析：4.答案：A 解析：由统计学知识,可得12nxxxnxL,12myyymyL,则1212nmx
9、xxyyyLL1mn zmnaxa y1mn axmna y,所以1nxmymn axmna y.所以,1.nmn ammna故121nmmnaamna.因为102a,所以210a,故0nm,即nm,故选A.5.答案：D 解析：6.答案：D 解析：7.答案：A 解析：8.答案：C 解析：9.答案：B 解析：10.答案：B 解析：11.答案：C 解析：12.答案：0解析：13.答案：2xe解析：14.答案：180,7解析：15.答案：1.当1n时,11111(1)3aSa a,10a,14a4(1)3nnSa,当2n时,114(1)3nnSa,两式相减得14nnaa,因14a,0na,故14nn
10、aa,数列na是首项为4,公比为4的等比数列,4nna2.4lognnna ban,4nnnb,1231234444nnnTL,2341112344444nnnTL两式相减得:12341111131111113444144444444312414nnnnnnnnnTL所以43449949nnnT解析：16.答案：1.设被污损的数字为a,则a有10种情况.令88899091 928383979099a,则8a,东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数,有8种情况,其概率为84105;2.由题意可知35,3.5xy,41525iiix y,4215400iix所以721
11、,10020ba所以72110020yx当60 x时,721103605.251002020y小时预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时解析：17.答案：1.连AG交PD于H,连接CH.由梯形ABCD,ABCDP且2ABDC,知21AFFC又E为AD的中点,G为PAD的重心,21AGGH在AHC中,21AGAFGHFC,故GFHCP.又HC平面PCD,GF平面PCD,GF P平面PDC.2.由平面PAD平面ABCD,PAD与ABD均为正三角形,E为AD的中点,PEAD BEAD,得PE平面ABCD,且3PE由1知GF P平面PDC,13GPCDFPCDP CDFCDFVVVPES又由梯形
12、ABCD,ABCDP,且22 3ABDC,知12333DFBD又ABD为正三角形,得60CDFABD,13sin22CDFSCDDFBDC,得1332P CDFCDFVPES三棱锥GPCD的体积为32.解析：18.答案：1.由已知得,0,(5,0)2pkC设MN与x轴交于点R,由圆的对称性可知,332MR.于是32CR,所以30,60CMRMCR,所以6CK,所以2p.故抛物线E的方程为24yx.2.设直线AB的方程为2xmy,设1122(,),(,)Ax yB x y,联立242yxxmy得248 0ymy,则121 24,8yym y y22222121116324 12ABmyymmmm
13、.设3344(,),(,)Gx yD x y,同理得2211412GDmm,则四边形AGBD的面积22221118 11222SAB CDmmmm2222118225mmmm令221(2)mm,则28(2)(25)8 2910S22910S是关于的增函数,故min48S,当且仅当1m时取得最小值48.解析：19.答案：1.2()xaxxaf xe222(21)()(12)1(1)(1)()()xxxxxaxeaxxa eaxa xaxaxafxeee当0a时,1()xxfxe,令()0fx,得1x;()0fx,得1x,所以()f x在(,1)上单调递增,(1,)上单调递减.所以()f x的极大
14、值为13(1)fee,不合题意.当0a时,111a,令()0fx,得111xa;()0fx,得11xa或1x,所以()f x在11,1a上单调递增,1,1a和(1,)上单调递减.所以()f x的极大值为213(1)afee,解得1a.符合题意.综上可得1a.2.令21()xxxxg aaee,当0,x时,210 xxe,()g a在,0上是增函数则()lng abx对,0a恒成立等价于()(0)lng agbx,即lnxxbxe对2,x恒成立.即lnxxbex对2,x恒成立maxlnxxbex令()lnxxh xex222lnlnln1ln1(1)ln()(ln)(ln)(ln)xxxxxxe
15、exxexxxxxxxh xexexex2,x1(1)ln0 xx()0h x()h x在2,上单调递减22()(2)ln 2h xhe22(2)ln 2bhe所以实数b的取值范围为22,ln 2e.解析：20.答案：1.将1C的方程化为直角坐标方程为2212xy,即2212xy.将cos,sinxpyp代入可得22(cos)(sin)12pp,化简得2221sinp2.根据题意:射线OB的极坐标方程为2或2.1221sinOAp,222221cossin2OBpa则12222222222241sin1cos1sin1cos3(1sin)(1cos)2OAOBpp,当且仅当22sincos,即4时,取得最小值43.故OAOB的最小值为43解析：21.答案：1.当2,1ab时,()22131f xxxx,()6f x,即12x,()6f x的解集为|13xx2.当0,0ab时,02a,3,2()2,23,axab xaf xxaxbxabxbxab xb,根据图象当2ax时,min()1fx,即12aab,22ab,212242ababba.当且仅当222abab即112ab时,取等号解析：