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1、数学试卷一、选择题1.已知集合0,1,|?,PMx xP则集合M的子集个数为()A.8 B.16 C.32 D.64 2.下列命题中,真命题是()A.22acbc是ab的充分不必要条件B.,0 xxR eC.若,ab cd则acbdD.2,2xxRx3.若1nxx展开式中第32项与第72项的系数相同,那么展开式的最中间一项的系数为()A.51102CB.52103CC.52102CD.52104C4.已知双曲线2222:1xyCab的焦距为10,点(2,1)P在 C 的渐近线上,则C的方程为()A.2212080 xyB.221255xyC.221520 xyD.2218020 xy5.我国古
2、代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是()寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)A.4 B.3 C.2 D.1 6.定义某种运算Sab,运算原理如下图所示,则1512tanlnlg10043e的值为()A.4 B.8 C.13 D.15 7.北京财富全球论坛期间,某高校有14 名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为()A.12441412833C C CAB.12441
3、4128CA AC.124414128C C CD.12443141283C C C A8.若函数()sin(3)f xx,满足()()f axf ax,则6fa的值为()A.32B.0C.1D.129.设na为等差数列,且3710114+a2,7aaaa,则数列na的前13项的和为13S=()A.63 B.109 C.117 D.210 10.如图,正方体1 1 11ABCD ABCD的棱长为1,线段1 1BD上有两个动点,E F且22EF,则下列结论中错误的个数是()(1);ACBE(2)若P为1AA上的一点,则P到平面BEF的距离为22;(3)三棱锥A BEF的体积为定值;(4)在空间与
4、三条直线111,DD AB BC都相交的直线有无数条A.3 B.2 C.1 D.0 11.已知函1(0)()ln(0)xxf xx x,则函数()1yff x的零点个数是()A.4 B.3 C.2 D.1 12.已知点C为线段AB上一点,P为直线AB外一点,PC是APB的平分线,I为PC上一点,满足(0)ACAPBIBAACAPuuu ru uu u ru u ruu u ruuu u ruuu r,4BIBAu u ruu u r,10BIBAuu ruu u r,则BIBABAuu ru uu ruu u r的值为()A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题13.函数3sin24yx,0
5、,x的单调递减区间为_ 14.已知数列na的前n项和为nS,11,2()nnaSan nN,则na=_ 15.已知,x y满足203010yxxy,则264xyx的取值范围是 _ 16.下列说法:(1)命题“,20 xxR”的否定是“,20 xxR”;(2)关于x的不等式222sinsinaxx恒成立,则a的取值范围是3a;(3)对于函数()(1axf xaRx且0)a,则有当1a时,(1,)k,使得函数()()g xf xkx在R上有三个零点;(4)120111ex dxdxx其中正确的个数是_ 三、解答题17.已知直线4x与直线54x是函数()sin()0,22f xx的图象的两条相邻的对
6、称轴1.求,的值;2.若3,44,4()5f,求sin的值18.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,2AB,1AF,M是线段EF的中点。1.求证AM P平面BDE;2.求二面角ADFB的大小;3.试在线段AC上确定一点P,使得PF与CD所成的角是60o19.“蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为13,乙组能使生物成活的概率为12,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的.1.甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;2.如果乙小组成功
7、了4次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率3.若甲乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为,求的期望.20.已知椭圆2222:1xyCab(0ab)的离心率63e,过点R1,0的直线l与椭圆C交于,?P Q两点,且2PRRQuuu ruuu r1.当直线l的倾斜角为60o时,求三角形OPQ的面积;2.当三角形OPQ的面积最大时,求椭圆C的方程.21.已知函数()ln()f xxax有且只有一个零点,其中0a1.求a的值;2.若对任意的0,x,有2()f xkx成立,求实数k的最大值;3.设()()h xf xx,对任意1212,(1,)()xxxx,证明:
8、不等式121212121()()xxx xxxh xh x恒成立22.极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122(32xttyt为参数),曲线C的极坐标方程为2sin8cos1.求C的直角坐标方程2.设直线l与曲线C交于,A B两点,求弦长AB23.选修 4-5:不等式选讲 对于任意的实数(0)a a和b,不等式ababMa恒成立,记实数M的最大值是m1.求m的值;2.解不等式12xxm参考答案1.答案：B 解析：2.答案：A 解析：3.答案：A 解析：4.答案：B 解析：5.答案：B 解析：6.答案：C 解析：7.答案：C 解
9、析：8.答案：B 解析：9.答案：C 解析：由已知化简得:,故,即选 C.考点:等差数列的基本量10.答案：D 解析：11.答案：D 解析：12.答案：B 解析：13.答案：5,88解析：14.答案：12n解析：15.答案：171,7解析：16.答案：3?解析：17.答案：1.因为直线4x,54x是函数fxsinx图象的两条相邻的对称轴,所以,函数的最小正周期52244T,从而2212T,因为函数fx关于直线4x对称所以,42kkZ,即,4kkZ又因为22,所以42.由(1),得()sin4f xx.由题意,4sin45,由3,44,得,042从而3cos45,sinsinsincoscoss
10、in44444442327 2525210解析：18.答案：1.记AC与BD的交点为N,连接NE,.N M分别是,AC EF的中点,ACEF是矩形,四边形ANEM是平行四边形,AMNEP.NE平面BDE,AM平面BDE,AM P平面BDE。2.建立如图所示的空间直角坐标系。则是22,022N.0,0,1,E22,122NEuuu r,AFAB ABAD,且AFADAAB平面ADF。2,0,0ABuuu r为平面DAF的法向量。又22,12,2,00022NE DBNE DBuuu r uu u ruu u r uuu r22,12,2,0022NE NFNE NFuuu r uu u ruu
11、u r u uu rNEuuu r为平面BDF的法向量。1cos,2NE ABuuu r uuu rABuuu r与NEuuu r的夹角是60o。即所求二面角ADFB的大小是60o。3.设,0?P t t02t得2,2,1,2,0,0PFttCDu uu ruuu r又PF和CD所成的角是60o,2222cos602212ttt解得22t或3 22t(舍去),即点P是AC的中点。解析：19.答案：1.甲小组做了三次实验,至少两次试验成功的概率为2323331117()133327P ACC.2.乙小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况
12、种数2412A因此所求的概率331113()1222232P B3.由题意的取值为 0,1,2,3,402200221111(0)13329PCC;1121022111(1)1332PCC0220122111113323CC;20211220112222111111(2)11332332PCCCC022022211113133236CC;2022122111(3)1332PCC1121222111113326CC;20222221111(4)133236PCC;故的分布列为01234P191313361613611131150123493366363E.解析：1.“三次试验中至少两次试验成功”
13、是指三次试验中,有 2 次试验成功或3 次试验全部成功,先计算出2 次与 3 次成功的概率,相加即可得到所要求的概率;3.先确定的所有可能取值,然后由相互独立事件的概率乘法公式计算出各种取值的概率,列出分布列,进而由公式iiEP求出的数学期望即可.20.答案：1.由63e得223ab,所以222:33C xyb设1122(,),(,),P x y Q x y,则由2PRRQu uu ru uu r,(1,0)R,得1212213203xxyy由2PRRQu u u ru uu r知直线l斜率存在设为k,得直线l的方程(1)yk x,代入222:33C xyb得22222(31)6330kxk
14、xkb,由2PRRQu uu ru uu r知0,且2122221226313331kxxkkbx xk解得21222233313331kxkkxk12122312231OPQkkSOR yyxxkV3k代入得233 33110OPQkSkV2.(0k时)1212231331223123OPQkkSOR yyxxkkkV213,33kk时三角形OPQ的面积最大,把213k代入得253b.25a于是椭圆C的方程为223155xy解析：21.答案：1.1a2.k的最大值为123.原不等式恒成立解析：1.f(x)的定义域为(a,+),11()1xafxxaxa由 f(x)=0,得 x=1aa.当 a
15、x0;当 x1a 时,f(x)0,f(x)在区间(a,1 a 上是增函数,在区间 1 a,+)上是减函数,f(x)在 x=1a 处取得最大值.由题意知f(1 a)=1+a=0,解得 a=1 2.由(1)知 f(x)=ln(x+1)x,当 k0 时,取 x=1 得,f(1)=ln2 10,知 k0 不合题意.当 k0在 x(0,+)上恒成立,g(x)在0,+)上是增函数,从而总有g(x)g(0)=0,即f(x)kx2在0,+)上恒成立若22102kxk,即102k时,对于210,2kxk,g(x)0 所以g x在210,2kxk上单调递减于是,当取0210,2kxk时,000g xg即200()
16、f xkx不成立故不合题意综上,k 的最大值为.3.故原不等式恒成立22.答案：1.由2sin8cos,得22sin8cos,即曲线C的直角坐标方程为28yx2.将直线l的方程代入28yx,并整理得2316640tt121 21664,33ttt t所以212121 23243ABttttt t解析：23.答案：1.2m2.15|22xx解析：1.不等式恒成立,即对于任意的实数恒成立,2分只要左边恒小于或等于右边的最小值因为,当且仅当时等号成立,即成立,也就是的最小值是2,2.当时,原不等式化为,解得,所以 x 的取值范围是 7 分当时,原不等式化为,解得当时,原不等式化为,解得,因此的取值范围综上所述的取值范围