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1、数学试卷一、选择题1.已知集合|lgAx yx,2|230Bx xx,则AB()A.(0,3)B.1,0C.(,0)(3,)D.(1,3)2.等差数列na的前n项和为nS,若371112aaa,则13S等于()A.52 B.54 C.56 D.58 3.已知平面向量,a brr的夹角为45o,1,1,1abrr则abrr()A.2B.3C.4D.54.将函数()sin 23f xx的图象向左平移6个单位,所得的图象所对应的函数解析式是()A.sin 2yxB.cos2yxC.2sin 23yxD.sin 26yx5.已知双曲线1C:221(1)3yxmmm与双曲线2C:221416xy有相同的
2、渐近线,则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为()A.10 B.20 C.10 D.40 6.已知点(,)P x y在不等式组20020 xyxyy表示的平面区域上运动,则zxy的最大值是()A.4 B.3 C.2 D.1 7.从某社区随机选取5 名女士,其身高和体重的数据如下表所示:身高x(cm)155 160 165 170 175 体重y(kg)50 52 55 58 62 根据上表可得回归直线方程0.6?yxa,据此得出?a的值为()A.43.6 B.-43.6 C.33.6 D.-33.6 8.设函数fx的导函数为fx,若fx为偶函数,且在0,1上存在极大值,则fx的图象可能
3、为()A.B.C.D.9.已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为()A.23B.12C.26D.2310.我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长 1 日,长为 3 尺;莞生长 1 日,长为 1 尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1 倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为()(结果保留一位小数.参考数据:lg 20.3010,lg30.48)A.1.3 日B.1.5 日C.2.6 日D.2.8 日11.在三棱
4、锥ABCD中,底面BCD为边长为2的正三角形,顶点A在底面BCD上的射影为BCD的中心,若E为BC的中点,且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2 2,则三棱锥ABCD外接球的表面积为()A.3B.4C.5D.612.定义在R上的偶函数fx,当0?x时,22()ln(1)xf xexx,且 fxtfx 在1,x上恒成立,则关于x的方程21fxt 的根的个数叙述正确的是()A.有两个 B.有一个C.没有D.上述情况都有可能13.若直线200,0axbyab始终平分22222xyxy圆的周长,则112ab的最小值为.二、填空题14.已知 100 名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示.
5、则这 100 名学生中,该月饮料消费支出超过150 元的人数是 _.15.已知点A是抛220ypx p物线上一点,F为其焦点,以F为圆心、FA为半径的圆交准线于,B C两点,FBC为正三角形,且ABC的面积是1283,则抛物线的方程是_ 16.设O是ABC的三边垂直平分线的交点,H是ABC的三边中线的交点,a b c分别为角,A B C的对应的边,已知2224?0bbc,则AHAOuu ur uuu r的取值范围是 _.三、解答题17.已知,a b c分别为锐角ABC内角,A B C的对边,且32 sinacA.1.求角C;2.若7,c且ABC的面积为3 32,求ab的值.18.在等差数列na
6、中,2723aa,3829aa.1.求数列na的通项公式;2.设数列nnab是首项为1,公比为q(q是常数,0q)的等比数列,求nb的前n项和nS.19.如图,在四棱锥PABCD中,PC底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ABAD,/ABCD,222ABADCD,E是PB的中点,1.求证:平面EAC平面PBC;2.若二面角PACE的余弦值为63,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.20.某市根据地理位置划分成了南北两区,为调查该市的一种经济作物A(下简称A作物)的生长状况,用简单随机抽样方法从该市调查了500 处A作物种植点,其生长状况如表:其中生长指数的含义是:2 代表“生长良好”,1代
7、表“生长基本良好”,0代表“不良好,但仍有收成”,-1 代表“不良好,绝收”.生长指数2 1 0-1 地域南区空气质量好45 54 26 35 空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25 空气质量差19 38 18 5 其中生长指数的含义是:2 代表“生长良好”,1代表“生长基本良好”,0代表“不良好,但仍有收成”,-1 代表“不良好,绝收”.1.估计该市空气质量差的A作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例;2.能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”?3.根据2的结论,能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中,绝收种植点的比例?并说
8、明理由.附:2P Kk0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 22()n adbcKabcdacbd21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的两个顶点分别为,0,0AaB a,点P为椭圆上异于,A B的点,设直线PA的斜率为1k,直线PB的斜率为2k,1212k k.1.求椭圆C的离心率;2.若1b,设直线l与x轴交于点-1,0D与椭圆交于,M N两点,求OMN的面积的最大值.22.已知函数ln()1xxf xx与()(1)g xa x.1.若曲线(x)yf与曲线()yg x恰好相切于点(1,0)P,求实数a的值;2.当1,)x时,()()f xg x
9、恒成立,求实数a的取值范围;3.求证:214ln(21)41niini*()nN.参考答案1.答案：A 解析：(0,),(1,3)AB,故选 A.2.答案：A 解析：得74a,13713,52Sa.故选 A.3.答案：D 解析：2225abaabb,所以5ab,故选 D.4.答案：C 解析：sin 23yx2sin 2sin 2633yxx,故选 C.5.答案：B 解析：因为双曲线的221416xy的渐近线为2yx,而2213yxmm的渐近线3myxm,所以32mm,所以1?m,所以双曲线1C的焦点为0,5,2C的焦点坐标为2 5,0,所以四边形的面积为14 52 5202.6.答案：A 解析
10、：当2,2xy时,z取得最大值4,故选 A.7.答案：B 解析：由表中数据可得165,55.4xy,因为回归直线必过,x y,代入回归方程得?43.6a,故选 B.8.答案：C 解析：9.答案：A 解析：由三视图,易知该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体.故其体积111222 1 22323V,故选 A.10.答案：C 解析：蒲、莞长度相等:13 121212112nnnnST227260262.6nnnn.11.答案：D 解析：定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心,而且底面BCD是正三角形,三棱锥ABCD是正三棱锥,ABACAD,令底面三角形BCD的重
11、心(即中心)为P,底面BCD为边长为2的正三角形,DE是BC边上的高,32 33,?33DEPEDP直线AE与底面BCD所成角的正切值为2 2,即tan2 2AEP2222 6,?3APADAPDPQ(勾股定理),2AD,于是2ABACADBCCDDB,三棱锥为正四面体,构造正方体,由面上的对角线构成正四面体,故正方体的棱长为2,正方体的对角线长为6,外接球的半径为62外接球的表面积246r.12.答案：A 解析：22()ln(1)xf xexx在0,?上单调递增,fxtfx 在1,x上恒成立,必有2t,则21fxt 的根有2个,故选 A.13.答案：32 24解析：直线平分圆周,则直线过圆心
12、1,1,所以有2ab,21111112122222ababab32 24.(当且仅当2ba时取“=”).14.答案：30 解析：该月饮料消费支出超过150元的频率:50 0.00450 0.0020.3,人数:0.3 10030.15.答案：216yx解析：由题意可得cos30DFBF且DFp,可得23pBF,从而23pAF,由抛物线的定义可得A到准线的距离也为23p,又ABC的面积为1283,可得1 221282333pp,解得8,p则抛物线的方程为216yx16.答案：20,3解析：17.答案：1.32 sinacA正弦定理得3sin2sinsinACA,A锐角,sin0A,3sin2C,
13、又C为锐角,3C2.三角形ABC中,由余弦定理得2222coscababC即227abab,又由ABC的面积得1133 3sin2222SabCab.即6ab,222225,ababab由于ab为正,所以5ab.解析：18.答案：1.设等差数列na的公差是d.依题意382726aaaad,从而3d.所以2712723aaad,解得11a.所以数列na的通项公式为32nan.2.数列nnab是首项为1,公比为q的等比数列,1nnnabq,即132nnnbq,132nnbnq.21147(32)1nnSnqqqLL21(31)12nnnqqq故当1q时,231322nnnnnSn;当1q时,311
14、21nnnnqSq.解析：19.答案：1.PC底面ABCD,PCAC.222ABADCD,/,ABCD ABAD,2ACBC.222ACBCAB.90ACBo,即BCAC.又AC平面EAC,平面EAC平面PBC.2.以点C为原点,建立如图的空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0)CAB,设0,0,0Paa,则11,22 2aE.111,1,0,0,0,22 2aCACPaCEuu u ru uu ruuu r.取(1,1,0)mr,则0m CPm CAuu u ruu u rrr,mr为平面PAC的法向量.设(,)nx y zr为平面EAC的法向量,则0n CEn CA
15、uu u ruu u rrr.0,0.xyxyaz取xa,则,2ya z,2naar.26cos,32m nam nm narrr rr r,2a.(2,2,2)nr.设直线PA与平面EAC所成的角为,则2sincos,=3PA nPA nPA nuu u rruu u rruu u rr.直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23.解析：20.答案：1.调查的500处种植点中共有120处空气质量差,其中不绝收的共有110处,空气质量差的A作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例1101112012.2.列联表如下:收绝收合计南区160 40 200 北区270 30 300 合计430 70 5
16、00 22500 4027030 1609.967200 300 70 430K因为9.9676.635,有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“3.由2的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关,因此在调查时,先确定该市南北种植比例,再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好.解析：21.答案：1.设00,P x y,代入椭圆方程有:2200221xyab整理得:2222002byxaa又001200,yykkxaxa,所以201222012yk kxa,联立两个方程有21212bk ka,解得22cea.2.由 1 知222ab,又1b,所以椭圆
17、C的方程为222210mymy.设直线l的方程为:1xmy代入椭圆的方程有:222210mymy,设1122,Mx yN xy,由韦达定理:12122221,22myyy ymm,所以12121211422OMNSOD yyyyy y222218821222mmmm,令211mt t,则有221mt,代入上式有222212221221OMNmttSmttt,当且仅当1t即0m时等号成立,所以OMN的面积的最大值为22.解析：22.答案：1.2ln11,121xxfxfx,所以12a。2.令()()()F xf xg xln(1)1xxa xx则21ln()(1)xxFxax,()0F x在1,
18、恒成立的必要条件为(1)0F.即204a,12a.又当12a时,ln()(1)1xxF xa xxln1(1)()12xxxh xx22222ln(1)()2(1)xxxh xx,令2()222ln(1)xxxx则22(1)()0 xxx,即()(1)0 xg,()h x在1,递减()(1)0h xh,即()()0F xh x()0F x在1,恒成立的充分条件为12a.综上,可得:12a.3.设ln(21)nSn为na的前n项和,则21ln21nnan要证原不等式,只需证:2214ln2141nnnn由 2 知:12a时()()f xg x即:21ln12xxx(当且仅当1?x时取等号).令21121nxn,则22121121ln12121221nnnnnn即:2212118ln21212(21)nnnnnn,即2214ln2141nnnn从而原不等式得证.解析：