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1、数学试卷一、选择题1.设集合21|0,|1Mx xxNxx,则()A.MNB.NMC.MND.MNR2.若复数z满足212izii(i为虚数单位),则复数z的虚部为()A.2B.2iC.2D.2i3.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:Co)的数据,绘制了下面的折线图。已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据该折线图,下列结论错误的是()A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D.最低气温低于0 C的月份有4个4.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.
2、书中有一道这样类似的题目:把 120 个面包分给 5 个人,使每人所得的面包数成等差数列,且较大的三份亭和的手等于较小的两份之和,问最小的一份面包数为()A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知,m n是空间中两条不同的直线,a,卢是两个不同的平面,则下列的命题为真命题的是()A.若,mna P,则mnPB.若,mP,则m PC.若,n,则n PD.若,mnl,且,mlnl,则6.已知数列na的前n项和为nS,执行如图所示的程序框图,则输出的肘一定满足()A.2nnMSB.nSnMC.nSnMD.nSnM7.在边长为a的正三角形内随机任取一点P,则点P到三角形三个顶点的距离均大于2a的概率是(
3、)A.113126B.316C.13D.148.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱椎的表面积是()A.23B.13C.12 2D.2 29.函数2()2xxeef xxx的部分图象大致是()A.B.C.D.10.已知定义在R上的函数()f x是奇函数,且满足(3)()fxf x,(1)3f,数列na满足11a且1()()nnnan aanN,则3637()()f af a()A.-3 B.-2 C.2 D.3 11.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左焦点为1,Fy轴上的点P在椭圆外,且线段1PF与椭圆E交于点M,若133OMMFOP,则椭圆E的离心率为()A.12B.32C.31D
4、.31212.已知函数213341()8cos2xxf xex,则函数()f x在(0,)x上的所有零点之和为()A.6 B.7 C.9 D.12 二、填空题13.若向量,a brr满足:3,2,ababarrrrr,则ar与br的夹角为 _ 14.已知sin()cos()66,则tan_ 15.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1车皮甲种肥料需要主要原料磷酸盐4 吨、硝酸盐18 吨;生产 l 车皮乙种肥料需要主要原料磷酸盐1 吨、硝酸盐15 吨,如果生产 1 车皮甲种肥料,可获利 12000 元;生产 1 车皮乙种肥料,可获利 7000 元.现库存磷酸盐10 吨、硝酸盐66 吨,那么该
5、化肥厂在此基础上生产甲、乙两种混合肥料,最大获利为 _元.16.若曲线2()f xx在点2(,)(0)a aa处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则32loga的值为 _ 三、解答题17.ABC中,角,A B C所对的边分别为,a b c.已知2A,且13sincossin 23sin2ABbAC1.求a的值2.若23A,求ABC周长的最大值18.某学校为了了解高三文科学生第一学期数学的复习效果.从高三第一学期期末考试成绩中随机抽取 50 名文科考生的数学成绩,分成 6 组制成如图所示的频率分布直方图.1.试利用此频率分布直方图求m的值及这50 名同学数学成绩的平均数的估计值2.该学校
6、为制定下阶段的复习计划,从被抽取的成绩在130,140)的同学中选出3 位作为代表进行座谈,若已知被抽取的成绩在130,140)的同学中男女比例为2:1,求至少有一名女生参加座谈的概率19.如图所示,直三棱柱111ABCA B C的所有棱长都为2,点F为棱BC的中点,点E在棱1CC上.且14CCCE1.求证:EF平面1B AF2.求点1C到平面AEF的距离20.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆:C22221xyab(0)ab的离心率23e,且椭圆C上的点到点0,2Q的距离的最大值为3.1.求椭圆C的方程;2.在椭圆C上,是否存在点,M m n使得直线:1lmxny与圆22:1Oxy相交于不同
7、的两点A、B,且OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的OAB的面积;若不存在,请说明理由.21.已知函数以21()ln()2f xxaxx aR,函数()23g xx1.讨论函数()()()2aF xf xg x的单调性2.若21a时,对任意12,1,2xx,不等式1212()()()()f xf xt g xg x恒成立,求实数t的最小值22.已知曲线C的极坐标方程为24cossin,直线l的参数方程为cos1sinxtyt(t为参数,0)1.求曲线C的直角坐标方程.并说明曲线C的形状2.若直线l经过点1,0M且与曲线C交于A、B两点,求AB23.设函数()1()f xxxa aR
8、1.当4a时,求不等式()5fx的解集2.若()4f x对xR恒成立,求a的取值范围参考答案1.答案：C 解析：集合2|0|1Mx xxx x或0 x,1|1|1Nxx xx或0 x,故两个集合相等.2.答案：C 解析：由212izii得2zi,故复数Z的虚部为2,故选C3.答案：D 解析：由图可以看出,当最低气温较大时,最高气温也较大,故A正确;10月份的最高气温大于20 C,而5月份的最高气温为不超过20 C,故B正确;从各月的温差看,1月份的温差最大,故C正确;而最低气温低于0 C的月份是1,2,4三月份,故D错,选D.4.答案：A 解析：设五个人所分得的面包数为:2,2ad ad a
9、ad ad(其中0d),则有22120adadaadad,所以5120a,故24a因为227aadadadad,得2411da,故11d,最小的一份为224222ad,故选A5.答案：B 解析：两个平行平面中的两条直线可能异面,A错;两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行,B正确;C中直线n也可能在平面内,C错;任意一个二面角的平面角的两条边都与二面角的棱垂直,但这个二面角不一定是直二面角,D错.故选 B.6.答案：C 解析：由程序框图知:算法的功能是求数列na的前n项中的最小项,所以输出的M是数列的最小项,则满足nSnM,故选C7.答案：B 解析：如图正ABC的边长为a,分别以它的三
10、个顶点为圆心,以2a为半径,在ABC内部画圆弧,得三个扇形,依题意知点P在这三个扇形外,因此所求概率为2223134221634aaPa,故选B8.答案：A 解析：由题意,该四面体的直观图如下:,ABDBCD是直角三角形,ABCACD,是等边三角形,12212BCDABDSS,1322 sin 6022ABCACDSS,3212BCDABDABCACDSSSSS9.答案：D 解析：由于fxfx故函数为奇函数,排除A选项.令11,022xf,排除B选项.由于分母不为零,分子1xxyee为增函数且为奇函数,有且仅有1个零点0,x排除C选项.故选D.10.答案：A 解析：函数fx是奇函数fxfx又3
11、fxfx3fxfx3,fxfx即6fxfxfx是以6为周期的周期函数.11(),1nnnan aaa11nnanan,12211231122.11231nnnnnnnaaaannnaanaaaannn即nan,363736,37aa又13,00ff3637()()(0)(1)(1)(1)3f af affff故选 A 11.答案：C 解析：12.答案：A 解析：13.答案：56解析：由题意2()0abaaa buu rrrrrr,3a brr2cos,2a ba ba brrrrrr则5,6a brr14.答案：-1 解析：由sincos66,即1331cossincossin2222,即13
12、21cossin2222,所以cossin,即tan1.15.答案：38000 解析：设,x y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.由题意,得4108156600 xyxyxy.工厂的总利润120007000zxy由约束条件得可行域如图,由41081566xyxy,解得:22xy,所以最优解为2,2,A则当直线1200070000 xyz过点2,2A时,z取得最大值为:38000元,即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润.16.答案：12解析：求导得()2afxx,所以在点2(,)a a处的切线方程为232()yaaxa.令0 x得23ya,令0y得,32ax;所以切线与两条坐标轴围
13、成的三角形的面积213333,224aaa(舍去负值),所以123344331loglog24217.答案：1.由13sincossin 23sin2ABbAC,得3sincossincos3sinABbAAC,由正弦定理,得3 coscos3aBabAc,由余弦定理,得2222223322acbbcaaabcacbc,整理得222()(3)0bcaa,因为2A,所以2220bca,所以3a2.在ABC中,2,33Aa,由余弦定理得,229bcbc,因为2222223()()24bcbcbcbcbcbcbc,所以23()94bc,即2()12bc,所以2 3bc,当且仅当 3bc时,等号成立.
14、故当 3bc时,ABC周长的最大值32 3.解析：18.答案：1.由题(0.0040.0120.0240.040.012)101m解得0.008m,950.004 10105 0.012 101150.024 101250.040 10 1350.012 101450.008 10121.8x2.由频率分布直方图知,成绩在130,140的同学有0.012 10 506(人),由比例可知男生4人,女生2人,记男生分别为,A B C D;女生分别为,x y,则从6名同学中选出3人的所有可能如下:,ABC ABD ABx ABy ACD ACx ACy ADx ADy BCD BCx BCy BDx
15、 BDy CDx CDy Axy Bxy Cxy Dxy共20种,其中不含女生的有4种,ABC ABD ACD BCD设:至少有一名女生参加座谈为事件A,则44()1205P A解析：19.答案：1.面ABC面11B BCC,AFBC,则AF面11B BCC,EF面11B BCC,11,90B BBFAFEFB BFFCEFCCE,1B BFFCE,1B FBFEC190B FBEFCFECEFC11,EFB F B FAFFEF面1B AF2.1CAEFA FECVV,即115113331322322h,解3 55h,即点1C到面AEF距离为3 55解析：20.答案：1.由23e得223ab
16、,椭圆方程为22233xyb椭圆上的点到点Q的距离222222332dxybyy=222443yybbyb当1b时,即1b,2max633db得1b.当1b时,即1b2max443dbb得1b(舍).所以1b,所以椭圆方程为2213xy.2.假设,M m n存在,则有221mn,|AB|=2212 1ABmn,点O到直线 l 距离221dmn所以22221112 12AOBSmnmn=2222111mnmn.当且仅当2222111mnmn,即2221mn时,AOBS取最大值12,又2213mn解得:232m,212n.所以点M的坐标为62,22或62,22或62,22或62,22,AOB的面积
17、为12.解析：21.答案：1.由题意得2113()()()ln(1),(0,)222F xf xag xxaxa xa x,21(1)1(1)(1)()1axa xaxxFxaxaxxx当0a时,()0Fx,函数()yF x在(0,)上单调递增;当0a时,令()0Fx,解得10 xa;令()0Fx,解得1xa.故函数()yF x在10,a上单调递增,在1,a上单调递减.综上,当0a时,函数()yF x在(0,)上单调递增;当0a时,函数()yF x在10,a上单调递增,在1,a上单调递减.2.由题意知0t.211()1axxfxaxxx,当21a时,函数()yfx单调递增.不妨设1212xx,
18、又函数()yg x单调递减,所以原问题等价于:当21a时,对任意1212xx,不等式2112()()()()f xf xt g xg x恒成立,即2211()()()()f xtg xf xtg x对任意1221,12axx恒成立.记21()()()ln(12)32h xf xtg xxaxt xt,由题意得()h x在1,2上单调递减.所以1()(12)0h xaxtx对任意2,1,1,2ax恒成立.令1()(12),2,1H axatax,则max1()(2)2120H aHxtx在(0,)x上恒成立.故max1212txx,而12yxx在1,2上单调递增,所以函数12yxx在1,2上的最
19、大值为92.由9212t,解得114t.故实数的最小值为114解析：22.答案：1.对于曲线24cos:sinCp,可化为4cossinsinppp把互化公式代入,得4xyy,即24yx,为抛物线2.根据条件直线l经过两定点1,0和0,1,所以其方程为1xy由241yxxy,消去x并整理得2440yy令1122(,),(,)A xyB xy,则12124,4yyyy所以221212211()41 1(4)4(4)8AByyyyk解析：23.答案：1.145xx等价于1255xx或1435x或4255xx,解得:0 x或5x,故不等式()5f x的解集为|0 x x或5x2.()1(1)()1f xxxaxxaa所以min()1f xa.由题意得:14a,解得3a或5a解析：