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1、数学试卷一、选择题1.设复数z满足26zzi(i是虚数单位),则复数z在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集1,|21,|ln(1),8UR NxxMx yx则图中阴影部分表示的集合是()A.|31xxB.|30 xxC.|10 xxD.|3x x3.从某企业生产的某种产品中抽取若干件,经测量得这些产品的一项质量指标值Z服从正态分布200,150,N某用户从该企业购买了100 件这种产品,记 X表示这100件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2的产品件数,则E X等于()附1:50.12.2若2,ZN则0.682 6,220.954
2、4.PZPZA.34.13 B.31.74 C.68.26 D.95.44 4.已知1181718a=18,blog18,c=log17,则,a b c的大小关系为()A.abcB.acbC.bacD.cba5.执行下列程序框图,若输出i的值为3,则输入x的取值范围是()A.03xB.13xC.13xD.13x6.如图是一个旋转体被挖掉一个最大半球后得到的几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.14B.15C.16D.187.函数0,|2fxsinx的最小正周期为,若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数fx的图象()A.关于点7,012对称B.关于点对称,012C.关于直线71
3、2x对称D.关于直线12x对称8.若二项式(2)()nxnN的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a,所有项的二项式系数之和是b,则baab的最小值是()A.2B.136C.73D.1569.在高校自主招生中,某中学获得6 个推荐名额,其中中南大学2 名,湖南大学2 名,湖南师范大学2名,并且湖南大学和中南大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3 男 3 女共 6 个推荐对象,则不同的推荐方法共有()A.54 B.45 C.24 D.72 10.已知函数32()9f xxaxxb的图象关于点1,0对称,且对满足1stm的任意实数,s t有()(),f sf t则实数m的最大值为()A.1 B
4、.2 C.3 D.4 11.已知 F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点,过原点O的直线l与双曲线交于,MN两点,且|2|MNOF,若MNF的面积为ab,则该双曲线的离心率为()A.3B.2C.3D.212.已知平面四边形中ABCD，260,ABADBADBCCDBCCD，BD沿将BCD折起形成三棱锥CABD，当三棱锥CABD的外接球的体积最小时，关于三棱锥CABD有下列说法：平面BCD平面ABD；取BD的中点O,则OCBA；三棱锥CABD的外接球的体积是32 327；对棱BC与AD所成的角的余弦值是24.这些说法中正确的个数有()A1 B.2 C.3 D.4 二、填空题13.
5、点A从(1,0)出发,沿单位圆按逆时针方向运动到点B,若点B的坐标是3 4,5 5,记B,则2sin_.14.若圆22:(1)(4)Axya上至少存在一点P落在不等式组表示的平面区域内,则实数a的取值范围是 _.15.已知AB为圆22:1Oxy的直径,点P为椭圆22143xy上一动点,则PA PBuu u r uu u r的最小值为_.16.已知函数()(1)1xf xexax,若存在唯一的整数0 x,使得0()0f x,则a的取值范围是_.三、解答题17.已知nS是等差数列an的前n项和,且6727113,27.SaaSa1.求数列na的通项公式;2.若13b,数列nb的第n项nb是数列na
6、的第1nb项2.n()证明:1nb是等比数列;()求数列nna b的前n项和nT.18.某高校在自主招生期间,把高三学生的平时成绩按“百分制”进行折算,选出前n名学生,并对这n名学生按成绩分组,第一组75,80,第二组80,85,第三组85,90,第四组90,95,第五组95,100,如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.且第四组的学生人数为60,第五组对应的小长方形的高为0.02.1.请在图中补全频率分布直方图;2.若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试,并且在这6名学生中随机抽取3名学生接受考
7、官B的面试,设第三组有名学生被考官B面试,求的分布列和数学期望.19.如图,已知多面体MNABCD的一个面ABCD是边长为2 的菱形,且60,ABCBM平面,2ABCD BMDN BMDNP,点E是线段MN上任意一点.1.证明:平面EAC平面BMND;2.若AEC的最大值是,求三棱锥MNAC的体积.20.如图,点F是抛物线2:20E xpy p的焦点,点A是抛物线上的定点,且(2,0).AFuuur点,B C是抛物线上的动点,直线,AB AC的斜率分 DD别为12,k k且212,kk以A为圆心,的长为半径的圆分别交直线,ABAC 于点,MN抛物线E在点,B C处的切线相交于点.1.求抛物线的
8、方程;2.记BCD的面积为1,SAMN的面积为2S,求12SS的最小值.21.已知21,xfxeaxx其中a为实数.1.若0a,求fx的单调区间;2.设27622261,2g xfxlnaaaa若对任意0,0,xg x求实数a的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为3cos1sinxryr(0r,为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin()13,若直线l与曲线C相切;1.求曲线C的极坐标方程2.在曲线C上取,MN两点与原点O构成MON,且满足6MON,求面积MON的最大值23.已知关于x的不等式|20 xmx的解集为,其中0.
9、m1.求m的值;2.若正数,a b c满足abcm,求证:2222bcaabc参考答案1.答案：D 解析：2.答案：C 解析：3.答案：C 解析：4.答案：A 解析：118171711a=181,b=log18log 18,1.22181811c=log17log 170,abc225.答案：D 解析：该程序框图执行以下程序:1,21;2,2 21143;3,2 43187()()ixxixxxixxx，则由87154315xx可得13,x故选D.6.答案：B 解析：7.答案：D 解析：8.答案：B 解析：令1,x得3na,又2nb,2233nnnba23231332326nnbaab,故选
10、B.9.答案：A 解析：由题意可分为两类:第一类是将3个男生每个大学各推荐1人,共有223336A A种推荐方法;第二类是将3个男生分成两组分别推荐给湖南大学和中南大学,其余3个女生从剩下的大学中选,共有23232318C A C种推荐方法.故共有36 1854种推荐方法,故选A.10.答案：C 解析：由()(2)0f xfx得3,11ab,故32()3911f xxxx,令2()3230f xxx,解得()f x的单调递减区间为1,3,故3maxm,选 C.11.答案：D 解析：不妨设M在第一象限,双曲线的左焦点为F连接,MFNF则易知四边形MFNF是矩形,设,MFm MFn,则可得2222
11、412mnamncmnab可解得ab,双曲线是等轴双曲线,离心率为2.12.答案：D 13.答案：2425解析：由题意可得:43,55sincos4324 222.5525sinsincos14.答案：2,45解析：圆A与不等式组13170 xyxyxy表示的平面区域有交点,作出图象后易求得a的取值范围是2,45.15.答案：2 解析：2222114PAPBPAPBPA PBPOPOuu ruuruu ruu ruu r uu ruu u r,而min3PO,则答案为2.16.答案：0,1)解析：设1,1,xg xexyax由题知存在唯一的整数0,x使得001.g xax因为.xgxxe当0
12、x时,0,gx即g x单调递减,g x的值域为1,0;当0 x时,1;ming x当0 x时,0,gx即g x单调递增,10g且g x的值域为1,直线 y=ax-1 恒过点(0,-1).作出图象知当且仅当0,1)a时满足题设17.答案：1.设等差数列的公差为d,由已知得111116563(6)()27672(10)72adadadadad即11257adad解得112.ad所以1(1)221.nann2.依题意,2n时,1121,nnnbabb所以1121,nnbb又112,b从而是以2 为首项,2 为公比的等比数列.由()知112?22,nnbn即21.nnb故212121 221,nnnn
13、a bnnn所以 Tn=+,即221?23?2.(21)?2nnTnn22311?23?2(21)?222nnnnT-得231222 22221?2nnnTnn1232?26nnn所以1223?26.nnTnn解析：18.答案：1.因为第四组的学生人数为60,且第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列,所以总人数为5 60300n,由频率分布直方图可知,第五组的学生人数为0.02 530030,又公差为6030152,所以第一组的学生人数为45,第二组的学生人数为75,第三组的学生人数为90.故第一、二、三、四组的频率分别为0.15,0.25,45759060300300
14、3003000.3,0.2.补全频率分布直方图如图:2.由题意得,用分层抽样的方法在第三、四、五组中应分别抽取的学生人数为666906030906903,602030906,00301,3则的所有可能取值为0,1,2,3.0212333333660,CC19C,0C1220PPCC2320333333662,CC91C,0C3220PPCC因此的分布列为:0123P12092092012019913E()=123202020202解析：19.答案：1.BM平面,ABCDACBM;又四边形ABCD是菱形,ACBD则AC平面,BMND则平面EAC平面.BMND2.由已知易知2222221,1,0,
15、2AEACAECEcos AECAECAEAE当AE最短时AEC最大,即,AEMN CEMN时AEC最大,(同理得60,60ANCAMC)此时,AEC是二面角AMNC的平面角,大小是2 3120,3AE.取MN得中点H,连接H与AC、BD的交点O,易知OH平面,ABCD如图建系,设,NDa则1,0,0,0,3,0,3,2,ANaMa则1,3,1,3,2,ADaAMauuu ruuuu r设平面AMN的法向量1,nx y z则111320,33,1263,nAMxyazaannANxyazouu uu ruu u r同理求得平面CMN的法向量233,126aan所以22229314361|932
16、1436aaaos AECac解之得:1510a或62a(舍去),22239 151143312,sin120201022323EACMNaBDSAEo13 5310MACMEACNEACEACVNVVSMNV解析：20.答案：1.设00,A xy依题意知0,2Fp,则00,2,02pAFxyuuu r得:x=2,y2p代入抛物线方程中得:2,p则抛物线方程为24xy.2.设221212,(,),44xxB xC x由()知A2,1,所以221212121211124.224xxxxxkkxx又212,kk所以218.xx设直线BD的方程是211,4xyk xx与24xy联立得2211440.
17、xkxkxx令2211164 40kkxx,解得1,2xk所以直线BD的方程是2111,42xxyxx即211.24xxyx同理可得直线CD的方程为222.24xxyx联立直线BD和CD的方程,解得1212,.24DDxxx xxy设BC的中点为P,则P的坐标为221212,28xxxx,所以1121|2BDPCDPSSSDPhh221212211|284xxx xxx321()3216xx另一方面,21|?|2,2SAMAN sinMANsinMAN所以123216162sinsinSSMANMAN等号成立时,90MAN即121,k k又212,kk故121,1.kk所以12SS的最小值为1
18、6 解析：21.答案：1.当0a时,21xfxeax为单调增函数,且00,f故当0,x时,0,fx即fx在0,上单调递增;当,0 x时,0,fx即fx在,0上单调递减.2.因为21,2.xxgxeaxgxea若1,2a则对任意0,x有2120,xgxeaa即gx在0,上单调递增,则 00,gxg所以有g x在0,上单调递增,则27062226;2g xglnaaa令27162226(),22h alnaaaa则14()2,1a ah aa当1,0)2a时,0,h a即h a在1,0)2上单调递增;当10,2a时,0,h a即h a在10,2a上单调递减;当1,)2a时,0,h a即h a在1,
19、)2a上单调递增;又由于1171()30,()6 310,2222hhln所以当1,)2a时,0g x.若11,0120,2aga而gx单调递增,且一定存在00 x使得00,gx此时,对任意的00,0,xxgx即gx在0(0,)x上单调递减,则00,gxg所以有g x在0(0,)x上单调递减,于是当0(0,)xx时27,062226;2g xglnaaa令271622261,22m alnaaaa则1420,1a amaa又由于11730,222m故当11,2a时,0;m a于是当11,2a时,00g,与题设不符;综上,所求实数a的取值范围是1,)2.解析：22.答案：1.由题意可知直线l的直
20、角坐标方程为32yx,曲线C是圆心为(3,1),半径为r的圆,直线l与曲线C相切,可得:331222r;可知曲线C的方程为22(3)(1)4xy,所以曲线C的极坐标方程为22 3cos2sin0,即4sin()32.由1不妨设1212(,),(0,0)6MpNppp1sin26MONSOMONuuuu r u uu r21214sinsin2sincos2 3cos432pp.sin23cos232sin233当12时,23MONS,所以MON面积的最大值为23解析：23.答案：1.由0f得|20 xmx,即2xmxmx或2xmmxx化简得:3xmmx或.xmxm由于0m,所以不等式组的解集为|x xm.由题设可得2,m故2.m2.由()可知,2,abc又由均值不等式有:2,2,2,abbcca三式相加可得222:222,bcaabcbcaabc所以2222.bcaabcabc解析：