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1、北师大版八年级下学期期末考试数学试题时间：120分钟总分：120 分一、选择题1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.若 ab，则下列各式中一定成立的是()A.a2b2 B.a2b2 C.2a2bD.2a 2b 3.化简221x11x的结果是()A.21xB.2xC.21xD.2(x1)4.已知关于x 的方程 x2kx50 的一个根为x5，则另一个根是()A.1 B.4 C.4 D.2 5.八年级(1)班实行高效课堂教学，四人一组，每做对一道题得0.5 分，“奋斗组”的四个同学做了四道因式分解题，甲：x24x4(x2)2，乙：x2 9(x3)2，丙：2x2
2、8x2x2x(x4)，丁：x2 6x5(x1)(x5).则“奋斗组”得()A.0.5 分B.1 分C.1.5 分D.2 分6.如果分式:23xyxy中分子、分母的x，y同时扩大为原来的2 倍，则分式的值()A.扩大为原来的2 倍B.缩小为原来的12C.扩大为原来的4 倍D.不变7.在 ABCD中，延长AB 到 E，使 BEAB，连接 DE 交 BC 于 F，则下列结论不一定成立的是()A.E CDFB.EFDFC.AD 2BFD.BE 2CF 8.如图所示，两个含有30角的完全相同的三角板ABC 和 DEF 沿直线 l 滑动，下列说法错误的是（）A.四边形 ACDF 是平行四边形B.当点 E为
3、 BC 中点时，四边形ACDF 是矩形C.当点 B 与点 E 重合时，四边形ACDF 是菱形D.四边形 ACDF 不可能是正方形9.如下图，一次函数y1x 十 b 与一次函数y2kx4 的图象交于点P(1，3)则关于 x 的不等式xbkx4的解集是()A.x3B.x3C.x1D.x1 10.我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边 AB 在 x轴上，AB 的中点是坐标原点O，固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在 y 轴正半轴上点D 处，则点 C 的对应点C 的坐标为（）A.（3，1）B.（2，1）C.（2，3）D.（1，3）11.如下图
4、，将 ABC 绕点 P顺时针旋转90 得到 A B C，则点 P的坐标是()A.(1，1)B.(1，2)C.(4，3)D.(1，4)12.如图，菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点 P，Q，K 分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK的最小值为【】A.1 B.3C.2 D.31 二、填空题13.分解因式：4x216_.14.已知一个多边形的每一个内角都等于108，则这个多边形的边数是15.若一元二次方程220 xxk有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是16.若关于 x 的分式方程34x4xmx1 有增根，则m 的值是 _17.如图，?ABCD 的对角线AC、BD 相
5、交于点O，E 是 AB 中点，且 AE+EO 4，则?ABCD 的周长为 _18.如图，矩形ABCD 中，BC=2AB，对角线相交于O 点，过 C 点作 CEBD 交 BD 于 E 点，H 为 BC 中点，连接 AH 交 BD 于 G 点，交 EC 的延长线于F 点，下列4 个结论：EH=AB；ABG=HEC；ABG HEC；CF=BD 正确的结论是_（填序号）三、解答题19.解下列不等式组(1)321541xxxx(2)513(1)2151132xxxx20.解下列方程(1)x212x 270(2)3x225x 21.先化简(23aa93a)32aa，再从 1，2，3 这三个数中选取一个合适
6、的数代入求值.22.如图，在 ABCD中，点 E、F 分别在 AD，BC 上，且 AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF 23.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.24.在平面直角坐标系中，ABC 的位置如图所示(每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形)(1)将 ABC 沿 x 轴方向向左平移6 个单位，画出平移后得到的A1B1C1(2)将 ABC 绕着点 A 顺时针旋转90，画出旋转后得到的AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标；(3)在第(2)问中，点B 旋
7、转到点B2的过程中运动的路径长是_.25.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x m 有一个因式是(x 3)，求另一个因式以及m 的值.解：设另一个因式为(xn)，得 x24xm(x3)(xn),则 x24xmx2(n3)x3n.433nmn，解得：217mn.另一个因式为(x 7)，m 的值为 21.问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式2x23xk 有一个因式是(2x5)，求另一个因式以及k值(2)已知二次三项式6x24ax2 有一个因式是(2xa)，a是正整数，求另一个因式以及a的值.26.（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E是AB上一点，F是AD
8、延长线上一点，且DFBE，求证：CECF；（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E是AB 上一点，G是AD 上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GE BEGD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形ABCD 中，AD BC（BCAD），B90，ABBC，E 是 AB 上一点，且 DCE45，BE4，DE=10,求直角梯形ABCD 的面积27.问题情填，在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图 1，将矩形纸片ABCD 沿对角线 AC 剪开，得到 ABC 和 ACD、并且量得AB 2cm，AC 4cm.操作发
9、现：(1)将图 1中的 ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 BAC，得到加图 2所示的 ACD，过点 C 作 AC 的平行线，与DC 的延长线交于点E，则四边形ACEC 的形状是 _；(2)创新小组将图1 中的 ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D 三点在同一条直线上，得到如图3 所示的 AC D，连接 CC ，取 CC的中点 F，连精 AF 并延长到点G，使 FGAF，连接 CG，CG，得到四边形ACGC ，发现它是正方形，请你证明这个结论.实践探究：(3)缜密小组在创新小组发现结论基础上，进行如下操作：将ABC 沿着 BD 方向平移，使点B 与点 A
10、 重合，此时A 点平移至A 点，AC与 BC 相交于点H.如图 4 所示，连接CC，试求 CH 的长度.答案与解析一、选择题1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选 C【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对
11、称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合2.若 ab，则下列各式中一定成立的是()A.a2b2B.a2b2C.2a2bD.2a 2b【答案】C【解析】已知 ab，A.a+2b+2，故 A选项错误；B.a-2b-2，故 B 选项错误；C.2a2b，故 C 选项正确；D.-2a-2b，故 D 选项错误 故选 C.3.化简221x11x的结果是()A.21xB.2xC.21xD.2(x1)【答案】A【解析】【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果【详解】原式=211xx（）（）?（x 1）=21x故选 A【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键4.已知关于x
12、的方程 x2kx50 的一个根为x5，则另一个根是()A.1B.4C.4D.2【答案】A【解析】【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之积等于ca即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】设方程的另一个根为m，则有 5m=-5，解得：m=-1故选 A【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积等于ca是解题的关键5.八年级(1)班实行高效课堂教学，四人一组，每做对一道题得0.5 分，“奋斗组”的四个同学做了四道因式分解题，甲：x24x4(x2)2，乙：x2 9(x3)2，丙：2x2 8x2x2x(x4)，丁：x2 6x5(x1)(x5).则“奋斗组”得()A.0.5 分B.
13、1 分C.1.5 分D.2 分【答案】B【解析】【分析】此题只需根据因式分解的方法：提取公因式、运用公式法、分组分解法，进行分析判断之后再进行计算得分即可.【详解】甲：x24x 4(x2)2，因式分解正确；乙：x29(x+3)(x 3)，因式分解错误；丙：2x28x2x2x(x3)，因式分解错误；丁：x26x5(x1)(x5).因式分解正确.共做对两题，得1分.故选 B.【点睛】本题考查公式法、提公因式法、分组分解法分解因式，熟练掌握因式分解的各种方法是解本题的关键，此题充分体现了在因式分解的过程中的易错点6.如果分式:23xyxy中分子、分母的x，y同时扩大为原来的2 倍，则分式的值()A.
14、扩大为原来的2 倍B.缩小为原来的12C.扩大为原来的4 倍D.不变【答案】A【解析】【分析】根据分式的基本性质即可求出答案【详解】224222322(23)23xyxyxyxyxyxyg.故选 A.【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型7.在 ABCD中，延长AB 到 E，使 BEAB，连接 DE 交 BC 于 F，则下列结论不一定成立的是()A.E CDFB.EFDFC.AD 2BFD.BE 2CF【答案】D【解析】试题分析：根据CDAE 可得 E=CDF，A 正确；根据AB=BE 可得 CD=BE，从而说明 DCF 和 EBF全等，得到EF=
15、DF，B 正确；根据中点的性质可得BF 为ADE 的中位线，则AD=2BF，C 正确；D 无法判定.考点：(1)、平行四边形的性质；(2)、三角形中位线性质.8.如图所示，两个含有30角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A.四边形 ACDF 是平行四边形B.当点 E为 BC 中点时，四边形ACDF 是矩形C.当点 B 与点 E 重合时，四边形ACDF 是菱形D.四边形 ACDF 不可能是正方形【答案】B【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可解：ACB=EFD=30，ACDF，AC=DF，四边形AFDC 是平行四边形，选项 A 正确；当
16、E 是 BC 中点时,无法证明 ACD=90，选项 B 错误；B、E 重合时，易证FA=FD，四边形AFDC 是平行四边形，四边形AFDC 是菱形，选项 C 正确；当四边相等时,AFD=60,FAC=120，四边形AFDC 不可能是正方形，选项 D 正确.故选 B.点睛：本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定.熟练应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法进行证明是解题的关键.9.如下图，一次函数y1x 十 b 与一次函数y2kx4 的图象交于点P(1，3)则关于 x 的不等式xbkx4的解集是()A.x 3 B.x 3 C.x1 D.x1【答案】C【解析】【分析】观察函数图象得到当x
17、1 时，函数 y=x+b 的图象都在y=kx+4 的图象上方，所以关于x 的不等式x+bkx+4的解集为x1【详解】当x1 时，x+bkx+4，即不等式x+bkx+4 的解集为x1故选 C【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0 的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合10.我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边 AB 在 x轴上，AB 的中点是坐标原点O，固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，
18、使点D 落在 y 轴正半轴上点D 处，则点 C 的对应点C 的坐标为（）A.（3，1）B.（2，1）C.（2，3）D.（1，3）【答案】C【解析】【分析】由已知条件得到AD=AD=2，AO=12AB=1，根据勾股定理得到OD=22ADO3A，于是得到结论【详解】解：AD=AD=2，AO=12AB=1，OD=22ADO3A，CD=2，CDAB，C（2，3），故选 D【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键11.如下图，将ABC绕点P顺时针旋转90得到A B C，则点P的坐标是()A.(1，1)B.(1，2)C.(4，3)D.(1，4)【答案】B【解析
19、】试题分析：先根据旋转的性质得到点A 的对应点为点A，点 B 的对应点为点B，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA 的垂直平分线，也在线段BB 的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心将 ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90 得到 ABC，点 A 的对应点为点A，点 C 的对应点为点 C，作线段 AA 和 CC 的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），旋转中心的坐标为（1，2）考点：坐标与图形变化-旋转12.如图，菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点 P，Q，K 分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK的最小值为【】A.1 B.3C.2 D.31【答案】B【解
20、析】【分析】先根据四边形ABCD 是菱形可知，AD BC，由 A=120 可知 B=60，作点 P关于直线BD 的对称点 P，连接 PQ，PC，则 PQ 的长即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点 Q 与点 C 重合，CP AB 时 PK+QK的值最小，再在RtBCP中利用锐角三角函数的定义求出PC 的长即可【详解】解：四边形ABCD 是菱形，AD BC，A=120，B=180-A=180-120=60，作点 P关于直线BD 的对称点 P，连接 PQ，PC，则 PQ 的长即为 PK+QK 的最小值，由图可知，当点 Q 与点 C 重合，CP AB 时 PK+QK 的值最小，在 RtBCP中，B
21、C=AB=2，B=60，3sin232P QCPBCB故选 B【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键二、填空题13.分解因式：4x216_.【答案】4（x+2）（x 2）【解析】【分析】先提公因式，再套用平方差公式.【详解】24x164(x2-22)=4 x2x2故答案为：4 x2x2【点睛】本题考核知识点：因式分解.解题关键点：掌握因式分解方法.14.已知一个多边形的每一个内角都等于108，则这个多边形的边数是【答案】5【解析】试题分析：多边形的每一个内角都等于108，每一个外角为72 多边形的外角和为360，这个多边形的边
22、数是：360 72=515.若一元二次方程220 xxk有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【答案】：k1【解析】【详解】一元二次方程220 xxk有两个不相等的实数根，=24bac=44k 0，解得：k1，则 k 的取值范围是：k1故答案为k116.若关于 x 的分式方程34x4xmx1 有增根，则m 的值是 _【答案】-1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-4=0，求出 x 的值，代入整式方程求出m 的值即可【详解】去分母得：3-x-m=x-4，由分式方程有增根，得到x-4=0，即 x=4，把 x=4 代入整式方程得：3-4-m=0，解得：m=-1，
23、故答案为-1.【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值17.如图，?ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，E 是 AB 中点，且 AE+EO 4，则?ABCD 的周长为 _【答案】16【解析】【分析】首先证明OE=12BC，再由 AE+EO=4，推出 AB+BC=8，然后计算周长即可解答【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，OA=OC，AE=EB，OE=12BC，AE+EO=4，2AE+2EO=8，AB+BC=8，平行四边形ABCD 的周长=28=16，故答案为16【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角
24、形中位线定理，熟练掌握是解题的关键.18.如图，矩形ABCD 中，BC=2AB，对角线相交于O 点，过 C 点作 CEBD 交 BD 于 E 点，H 为 BC 中点，连接 AH 交 BD 于 G 点，交 EC 的延长线于F 点，下列4 个结论：EH=AB；ABG=HEC；ABGHEC；CF=BD正确的结论是_（填序号）【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质进行分析，特别是对角线.【详解】由图可知，12EHBC，因为12ABBC,所以EHAB,故正确；因为EHHC,所以HECHCE,由于90HCEEBC，90EBCABG，所以ABGHCE,则ABGHEC,故正确；在 ABG 与 HEC 中，45
25、BAGDHCEHC，从而两三角形不全等，故错误；过点 A 作 AMBG 于点 M，由图可知2ABGBGHSSVV，而12AMGABGSSVV，即AMGBGHSSVV，则GADGHCESSV四边形，故错误；因为90FEGH，45EGHGBH，GBHDAC，所以45FDAC，又因为45DACCAF，所以FCAF，则CFBD，故正确.综上所述，正确的结论有3 个，故选B.【点睛】矩形的对角线相等且相互平分.三、解答题19.解下列不等式组(1)321541xxxx(2)513(1)2151132xxxx【答案】(1)x43；(2)-1 x 2.【解析】【分析】（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀
26、：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【详解】(1)321541xxxx解不等式得，x32，解不等式得，x43,所以不等式组的解集为：x43；（2）513(1)2151132xxxx解不等式得，x-1,所以，不等工组的解集为：-1x0，x=(5)496x1=2，x2=13.【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程21.先化简(23aa93a)32aa，再从 1，2，3 这三个数中选取一个合适的数代入求值
27、.【答案】-1【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可【详解】(23aa93a)32aa=29233aaaa=a-2；a2 或3，当 a=1 时，原式=-1.【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键22.如图，在 ABCD中，点 E、F 分别在 AD，BC 上，且 AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF【答案】证明见解析.【解析】试题分析：连接BE 和 DF，根据平行四边形的性质得出四边形BEDF 为平行四边形，从而得出答案试题解析：连接BE、DF，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC，AD=
28、BC，又 AE=CF，DE BF，DE=BF，四边形BEDF 是平行四边形，OE=OF23.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.【答案】排球的单价为50 元，则篮球的单价为80元【解析】【分析】设排球的单价为x 元，则篮球的单价为（x+30）元，根据总价 单价=数量的关系建立方程求出其解即可【详解】设排球的单价为x 元，则篮球的单价为（x+30）元，根据题意，列方程得：1000160030 xx解得：x=50经检验，x=50 是原方程的根，当 x=50 时，x+30=80 答：排球
29、的单价为50 元，则篮球的单价为80 元【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，总价 单价=数量的数量关系的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是关键24.在平面直角坐标系中，ABC 的位置如图所示(每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形)(1)将ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的A1B1C1(2)将 ABC 绕着点 A 顺时针旋转90，画出旋转后得到的AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标；(3)在第(2)问中，点B 旋转到点B2的过程中运动的路径长是_.【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，B2（4，-2），C2（1，-3），
30、（3）3 22【解析】【分析】（1）分别画出A、B、C 的对应点A1、B1、C1即可；（2）分别画出A、B、C 的对应点A2、B2、C2即可；根据B2、C2的位置写出坐标即可；（3）利用弧长计算公式，即可得到点B 旋转到点 B2所经过的路径长【详解】（1）的 A1B1C1如图所示（2）的 A2B2C2如图所示 B2（4，-2），C2（1，-3），（3）AB=22333 2点 B 旋转到点B2的过程中运动的路径长为：903 23 21802.【点睛】本题考查作图-平移变换，作图-旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识25.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x m 有一个
31、因式是(x 3)，求另一个因式以及m 的值.解：设另一个因式为(xn)，得 x24xm(x3)(xn),则 x24xmx2(n3)x3n.433nmn，解得：217mn.另一个因式为(x 7)，m 的值为 21.问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式2x23xk 有一个因式是(2x5)，求另一个因式以及k 的值(2)已知二次三项式6x24ax2 有一个因式是(2xa)，a是正整数，求另一个因式以及a的值.【答案】（1）另一个因式是：x+4，k=20（2）另一个因式是3x+1，a的值是 2【解析】【分析】（1）设另一个因式是（x+b），则（2x-5）（x+b）=2x2+2bx-5x
32、-5b=2x2+（2b-5）x-5b=2x2+3x-k，根据对应项的系数相等即可求得b 和 k 的值；（2）设另一个因式是（3x+m），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a 的值，然后代入代数式进行计算即可得解.【详解】（1）设另一个因式是（x+b），则（2x-5）（x+b）=2x2+2bx-5x-5b=2x2+（2b-5）x-5b=2x2+3x-k，则25 35bbk，解得：420bk则另一个因式是：x+4，k=20（2）设另一个因式是（3x+m），则（2x+a）（3x+m）=6x2+（2m+3a）x+am=6x2+4ax+2，则2342maaam，解得21a
33、m或21am，另一个因式是3x-1，a 的值是-2（不合题意舍去），故另一个因式是3x+1，a的值是 2【点睛】题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键26.（1）如图 1，在正方形ABCD 中，E是 AB上一点，F是 AD延长线上一点，且DF BE，求证：CE CF；（2）如图 2，在正方形ABCD 中，E是 AB上一点，G是 AD上一点，如果 GCE 45，请你利用（1）的结论证明：GE BE GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形ABCD 中，AD BC（BCAD），B90，ABBC，E 是 AB 上一点，且 DC
34、E45，BE4，DE=10,求直角梯形ABCD 的面积【答案】（1）、（2）证明见解析（3）108【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质，可直接证明 CBE CDF，从而得出CE=CF；（2）延长 AD 至 F，使 DF=BE，连接 CF，根据（1）知 BCE=DCF，即可证明 ECF=BCD=90，根据 GCE=45，得 GCF=GCE=45，利用全等三角形的判定方法得出 ECGFCG，即 GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；（3）过 C 作 CFAD 的延长线于点F则四边形ABCF 是正方形，设DF=x，则 AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直
35、角 ADE 中利用勾股定理即可求解；试题解析：（1）如图 1，在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBE CDF，CE=CF；（2）如图 2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBE CDF，BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45，CE=CF，GCE=GCF，GC=GC，ECG FCG，GE=GF，GE=DF+GD=BE+GD；（3）过 C作 CF AD的延长线于点F则四边形ABCF是正方形AE=AB-BE=12-4=8，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在
36、直角ADE中，AE2+AD2=DE2，则 82+（12-x）2=（4+x）2，解得：x=6则 DE=4+6=10【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线【此处有视频，请去附件查看】27.问题情填，在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图 1，将矩形纸片ABCD 沿对角线 AC 剪开，得到 ABC 和 ACD、并且量得AB 2cm，AC 4cm.操作发现：(1)将图 1中的 ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 BAC，得到加图 2所示的 ACD，过点 C 作 AC 的平行线，
37、与DC 的延长线交于点E，则四边形ACEC 的形状是 _；(2)创新小组将图1 中的 ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D 三点在同一条直线上，得到如图3 所示的 AC D，连接 CC ，取 CC的中点 F，连精 AF 并延长到点G，使 FGAF，连接 CG，CG，得到四边形ACGC ，发现它是正方形，请你证明这个结论.实践探究：(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将ABC 沿着 BD 方向平移，使点B 与点 A 重合，此时A 点平移至A 点，AC与 BC 相交于点H.如图 4 所示，连接CC，试求 CH 的长度.【答案】（1）菱形；（2）见解析；（
38、3）43tan3C CH【解析】分析】（1）在图一中，利用矩形的性质和平行线的性质可得出 ACD BAC，在图 2中，由旋转知AC AC，ACD ACD，可得 CAC ACD，可得 AC CE，证得四边形ACEC是平行四边形，又ACAC，证得?ACEC 是菱形（2）在图 1 和图 3 中，根据矩形的性质和旋转的性质证明BAC+DAC 90，根据中点可得CFCF，AFFG，可得到四边形ACGC是平行四边形，又因为AGCC，证得?ACGC是菱形，由CAC90，故证得菱形ACGC 是正方形；（3）在 RtABC 中，AB=2，AC=4，可求得 sinACB=12ABAC，由（2）结合平移知，CHC
39、=90，再利用解直角三角形求出BH=BC sin30=3，进而求得C H=BC -BC=4-3，CH=AC-AH=4-1=3，最后在 RtCHC 中，利用锐角三角函数的定义求得tanCCH=C HCH=433.【详解】解：（1）在如图 1 中，AC 是矩形 ABCD 的对角线，B D 90，AB CD，ACD BAC，在如图 2 中，由旋转知，ACAC，ACD ACD，BAC ACD，CAC BAC，CAC ACD，AC CE，AC CE，四边形 ACEC 是平行四边形，AC AC，?ACEC 是菱形，故答案为菱形；（2）在图 1 中，四边形 ABCD 是矩形，AB CD，CAD ACB，B9
40、0，BAC+ACB 90在图 3 中，由旋转知，DAC DAC，ACB DAC，BAC+DAC 90，点 D，A，B 在同一条直线上，CAC90，由旋转知，AC AC，点F是CC的中点，AG CC，CFCF，AFFG，四边形 ACGC是平行四边形，AG CC，?ACGC 是菱形，CAC90，菱形 ACGC是正方形；（3）在 RtABC 中，AB=2，AC=4 BC=AC=4，BD=BC=23，sin ACB=12ABAC ACB=30 由（2）结合平移知，CHC=90在 RtBCH 中，ACB=30 BH=BC sin30=3CH=BC -BC=4-3在 RtABH 中，AH=12AB=1 CH=AC-AH=4-1=3 在 RtCHC 中，tan CCH=C HCH=433【点睛】本题以四边形为背景，进行旋转，平移等几何变换，考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质和判定，正确利用锐角三角函数求线段长度是解题的关键.