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1、高中数学-打印版 校对打印版 章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.(2015福建高考)若(1i)(23i)abi(a，bR，i 是虚数单位)，则 a，b 的值分别等于()A.3，2 B.3，2 C.3，3 D.1，4【解析】(1i)(23i)32iabi，所以 a3，b2.【答案】A 2.(2015广东高考)若复数 zi(32i)(i 是虚数单位)，则 z()A.23i B.23i C.32i D.32i【解析】zi(32i)3i
2、2i223i，z23i.【答案】A 3.(2016衡阳高二检测)若 i(xyi)34i(x，yR)，则复数 xyi 的模是()【导学号：37820051】A.2 B.3 C.4 D.5【解析】由 i(xyi)34i，得yxi34i，解得 x4，y3，所以复数 xyi 的模为42（3）25.【答案】D 4.(2014广东高考)已知复数 z 满足(34i)z25，则 z()A.34i B.34i C.34i D.34i 高中数学-打印版 校对打印版【解析】由(34i)z25，得 z2534i25（34i）（34i）（34i）34i，故选D.【答案】D 5.(2016天津高二检测)“m1”是“复数
3、z(1mi)(1i)(mR，i 为虚数单位)为纯虚数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】z(1mi)(1i)1imim(1m)(1m)i，若 m1，则z2i 为纯虚数；若 z 为纯虚数，则 m1.故选 C.【答案】C 6.设 zC，若 z2为纯虚数，则 z 在复平面上的对应点落在()A.实轴上 B.虚轴上 C.直线 yx(x0)上 D.以上都不对【解析】设 zabi(a，bR)，z2a2b22abi 为纯虚数，a2b20，ab0.ab，即 z 在复平面上的对应点在直线 yx(x0)上.【答案】C 7.设复数 z 满足1z1zi，则|1z
4、|()A.0 B.1 C.2 D.2【解析】1z1zi，高中数学-打印版 校对打印版 z1i1i（1i）2（1i）（1i）i，|z1|1i|2.【答案】C 8.设 i 是虚数单位，z 是复数 z 的共轭复数，若 z zi22z，则 z()A.1i B.1i C.1i D.1i【解析】设 zabi(a，bR)，由 z zi22z，得(abi)(abi)i22(abi)，即(a2b2)i22a2bi，由复数相等的条件得a2b22b，22a，得a1，b1，z1i.【答案】A 9.若 zcos isin(i 为虚数单位)，则使 z21 的 值可能是()A.6 B.4 C.3 D.2【解析】z2(cos
5、 isin)2(cos2sin2)2isin cos cos 2isin 21，sin 20，cos 21，22k(kZ)，k2(kZ)，令 k0 知选 D.【答案】D 10.当 z1i2时，z100z501 的值是()高中数学-打印版 校对打印版 A.1 B.1 C.i D.i【解析】原式1i21001i25011i22501i22251(i)50(i)251i.故应选 D.【答案】D 11.在复平面上，正方形 OBCA 的三个顶点 A，B，O 对应的复数分别为 12i，2i，0，则这个正方形的第四个顶点 C 对应的复数是()A.3i B.3i C.13i D.13i【解析】正方形的三个顶点
6、的坐标分别是 A(1，2)，B(2，1)，O(0，0)，设第四个顶点 C 的坐标为(x，y)，则BCOA，(x2，y1)(1，2).x21，y12，x1，y3，第四个顶点 C 的坐标为(1，3).【答案】D 12.复数 z(x2)yi(x，yR)在复平面内对应向量的模为 2，则|z2|的最大值为()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】由于|z|2，所以（x2）2y22，即(x2)2y24，故点(x，高中数学-打印版 校对打印版 y)在以(2，0)为圆心，2 为半径的圆上，而|z2|xyi|x2y2，它表示点(x，y)与原点的距离，结合图形易知|z2|的最大值为 4，故选 B.【答案】B 二、
7、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中横线上.)13.(2015天津高考)i 是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数 a的值为_.【解析】由(12i)(ai)(a2)(12a)i 是纯虚数可得 a20，12a0，解得 a2.【答案】2 14.复数 z11i1i2，z22i3分别对应复平面内的点 P，Q，则向量PQ对应的复数是_.【解析】z11i1i21，z22i32i，P(1，0)，Q(2，1)，PQ(3，1)，即PQ对应的复数为 3i.【答案】3i 15.定义运算a bc dadbc，则对复数 zxyi(x，yR)符合条件z 1z 2i32i
8、的复数 z 等于_.【解析】由定义运算，得z 1z 2i2ziz32i，则 z32i12i（32i）（12i）（12i）（12i）1585i.【答案】1585i 16.复数 z(a2)(a1)i，aR 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围高中数学-打印版 校对打印版 是_.【导学号：37820052】【解析】复数 z(a2)(a1)i 对应的点的坐标为(a2，a1)，因为该点位于第二象限，所以a20，解得1a2.由条件得|z|（a2）2（a1）2 2a22a5 2a2a1492 2a12292，因为1a2，所以|z|3 22，3.【答案】3 22，3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 7
9、0 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分 10 分)已知复数 x2x2(x23x2)i(xR)是 420i 的共轭复数，求实数 x 的值.【解】复数 420i 的共轭复数为 420i，x2x2(x23x2)i420i，x2x24，x23x220，x3.18.(本小题满分 12 分)已知复数 z(2i)m26m1i2(1i)，当实数 m 取什高中数学-打印版 校对打印版 么值时，复数 z 是：(1)虚数；(2)纯虚数.【解】z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i，(1)当 m23m20，即 m2 且 m1 时，z 为虚数.(2)当
10、2m23m20，m23m20，即 m12时，z 为纯虚数.19.(本小题满分 12 分)设复数 z（1i）23（1i）2i，若 z2azb1i，求实数 a，b 的值.【解】z（1i）23（1i）2i2i3（1i）2i 3i2i（3i）（2i）（2i）（2i）1i.将 z1i 代入 z2azb1i，得(1i)2a(1i)b1i，(ab)(a2)i1i，所以ab1，（a2）1.所以a3，b4.20.(本小题满分 12 分)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A，B 在复平面上对应的复数分别为 12i，26i，OABC.求顶点 C 所对应的复数 z.【导学号：37820053】【解】设 zxyi，x，y
11、R，高中数学-打印版 校对打印版 因为 OABC，|OC|BA|，所以 kOAkBC，|zC|zBzA|，即21y6x2，x2y23242，解得x15，y10或x23，y24.因为|OA|BC|，所以 x23，y24(舍去)，故 z5.21.(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足|z|2，z2的虚部为 2.(1)求复数 z；(2)设 z，z2，zz2在复平面内对应的点分别为 A，B，C，求ABC 的面积.【解】(1)设 zabi(a，bR)，由已知条件得：a2b22，z2a2b22abi，2ab2.ab1 或 ab1，即 z1i 或 z1i.(2)当 z1i 时，z2(1i)22i，zz2
12、1i.点 A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)，SABC12|AC|112211.当 z1i 时，z2(1i)22i，zz213i.点 A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，SABC12|AC|112211.高中数学-打印版 校对打印版 即ABC 的面积为 1.22.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的方程：x2(6i)x9ai0(aR)有实数根 b.(1)求实数 a，b 的值；(2)若复数 z 满足|zabi|2|z|0，求 z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.【解】(1)b 是方程 x2(6i)x9ai0(aR)的实根，(b26b9)(ab)i0，b26b90，ab，解得 ab3.(2)设 zxyi(x，yR)，由|z33i|2|z|，得(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28，复数 z 对应的点 Z 的轨迹是以 O1(1，1)为圆心，2 2为半径的圆，如图所示.当点 Z 在 OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，|OO1|2，半径 r2 2，当 z1i 时，|z|有最小值且|z|min 2.高中数学-打印版 校对打印版