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1、高中数学-打印版 校对打印版 章末综合测评(二)推理与证明(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.数列 2，5，11，20，x，47，中的 x 等于()A.28 B.32 C.33 D.27【解析】观察知数列an满足：a12，an1an3n，故 x203432.【答案】B 2.用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程 x3axb0 没有实根 B.方程 x3axb0 至多有一个实根 C.方程 x3axb0 至多有
2、两个实根 D.方程 x3axb0 恰好有两个实根【解析】方程 x3axb0 至少有一个实根的反面是方程 x3axb0没有实根，故应选 A.【答案】A 3.下列推理过程是类比推理的是()A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为12 B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 C.通过检测溶液的 pH 值得出溶液的酸碱性 D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】A 为归纳推理，C，D 均为演绎推理，B 为类比推理.【答案】B 高中数学-打印版 校对打印版 4.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180归纳
3、出所有三角形的内角和都是 180；由 f(x)sin x，满足 f(x)f(x)，xR，推出 f(x)sin x 是奇函数；三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.A.B.C.D.【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，是类比推理，是归纳推理，是演绎推理.【答案】C 5.设 a21.522.5，b7，则 a，b 的大小关系是()A.ab B.ab C.a2(b1)【解析】因为 a21.522.5221.522.587，故 ab.【答案】A 6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：abba；(ab)ca
4、(bc)；a(bc)abac；|ab|a|b|；由 abac(a0)，可得bc.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是()A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个【解析】正确；错误.【答案】A 7.证明命题：“f(x)ex1ex在(0，)上是增函数”.现给出的证法如下：因为 f(x)ex1ex，所以 f(x)ex1ex.因为 x0，所以 ex1，01ex0，即 f(x)0.所以 f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是()高中数学-打印版 校对打印版【导学号：37820030】A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.
5、【答案】A 8.已知 c1，ac1 c，b c c1，则正确的结论是()A.ab B.a1，所以 a0，b0，故只需比较1a与1b的大小即可，而1a1c1 cc1 c，1b1cc1 cc1，显然1a1b，从而必有 a2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，观察上述结果，可推测出一般结论()A.f(2n)2n12 B.f(n2)n22 C.f(2n)n22 D.以上都不对【解析】f(2)32，f(4)f(22)222，f(8)f(23)322，f(16)f(24)422，f(32)f(25)522.高中数学-打印版 校对打印版 由此可推知 f(2n)n22.故选 C.【答案】C 10.定
6、义 A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对应下面图 1 中的(1)(2)(3)(4)，则图中 a，b 对应的运算是()图 1 A.B*D，A*D B.B*D，A*C C.B*C，A*D D.C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知 A 对应横线，B 对应矩形，C 对应竖线，D对应椭圆.由此可知选 B.【答案】B 11.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10()A.28 B.76 C.123 D.199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则
7、a10b10123.【答案】C 12.在等差数列an中，若 an0，公差 d0，则有 a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若 bn0，公比 q1，则 b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A.b4b8b5b7 B.b4b8b5b8 D.b4b7a3a7，所以在等比数列bn中，由于 4857，所以应有 b4b8b5b7或 b4b81，bn0，所以 b4b8b5b7.【答案】A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上.)13.已知 x，yR，且 xy2，则 x，y 中至少有一个大于 1，在用反证法证明时假设应为_.【解析】“至少有一个
8、”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或 x1 且 y1).【答案】x，y 均不大于 1(或 x1 且 y1)14.如图 2，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来(n1，2，3，)，则第 n2(n2)个图形中共有_个顶点.【导学号：37820031】图 2【解析】设第 n 个图形中有 an个顶点，则 a1333，a2444，an(n2)(n2)(n2)，an2n2n.高中数学-打印版 校对打印版【答案】n2n 15.设 a0，b0，则下面两式的大小关系为 lg(1 ab)_12lg(1a)lg(1b).【解析】因为(1 ab)2(1a)(1b)12 abab1aba
9、b 2 ab(ab)(a b)20，所以(1 ab)2(1a)(1b)，所以 lg(1 ab)12lg(1a)lg(1b).【答案】16.(2016杭州高二检测)对于命题“如果 O 是线段 AB 上一点，则|OB|OA|OA|OB0”将它类比到平面的情形是：若 O 是ABC 内一点，有 SOBCOASOCAOBSOBAOC0，将它类比到空间的情形应为：若 O 是四面体 ABCD内一点，则有_.【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为 VOBCDOAVOACDOBVOABDOCVOABCOD0.
10、【答案】VOBCDOAVOACDOBVOABDOCVOABCOD0 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分 10 分)已知 a，b，c 成等差数列，求证：abac，b2ac，acbc 也成等差数列.【证明】因为 a，b，c 成等差数列，所以 2bac，所以(abac)(acbc)b(ac)2ac2(b2ac).所以 abac，b2ac，acbc 也成等差数列.18.(本小题满分 12 分)在平面几何中，对于 RtABC，C90，设 AB高中数学-打印版 校对打印版 c，ACb，BCa，则(1)a2b2c2；(2)cos
11、2Acos2B1；(3)RtABC 的外接圆半径 ra2b22.把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明.【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为 S1，S2，S3，底面积为 S，则 S21S22S23S2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则 cos2cos2cos21.(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为 a，b，c，则这个四面体的外接球半径 Ra2b2c22.19.(本小题满分 12 分)已知ABC 的三条边分别为 a，b，c，且 ab，求证：ab1 ab0，b0，所以 1 ab0，1ab0.所以要
12、证ab1 abab1ab，只需证 ab(1ab)(1 ab)(ab)，只需证 abb，所以 ab2 abab，所以ab1 ab1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零；(2)若 a，b 为不相等的正实数且满足 f(a)f(b)，求证：ab43.【证明】(1)假设 f(m)0，f(n)0，即 m3m20，n3n20，n0，m10，n10，0m1，0n1，mn1 矛盾，假设不成立，即 f(m)，f(n)至少有一个不小于零.(2)证明：由 f(a)f(b)，得 a3a2b3b2，a3b3a2b2，(ab)(a2abb2)(ab)(ab)，ab，a2abb2ab，(ab)2(ab)abab22，
13、34(ab)2(ab)0，解得 ab0，且 a1).(1)523，请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.【解】(1)f(3)g(2)g(3)f(2)a3a32a2a22a3a32a2a22a5a52，又 g(5)a5a52，g(5)f(3)g(2)g(3)f(2).高中数学-打印版 校对打印版(2)由(1)知 g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即 g(32)f(3)g(2)g(3)f(2)，于是推测 g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y).证明：f(x)axax2，g(x)axax2，g(xy)axya（xy）2，g(y)ayay2，f(y)ayay2，f(x)g(y)g(x)f(y)axax2ayay2axax2ayay2 axya（xy）2g(xy).