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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-模块复习课 （教师用书独具)学必求其心得，业必贵于专精 -2-(教师用书独具)一、弧度制与任意角的三角函数 1角的概念经过推广以后,包括正角、负角、零角 2按角的终边所在位置可分为象限角和坐标轴上的角（又叫象限界角)3与角终边相同的角可表示为 Sk360，kZ 4角度制与弧度制的换算关系是 180.5扇形弧长公式是：lr,扇形面积公式是S错误!lr。6 三角函数在各象限的符号可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦 7同角三角函数的基本关系式是 sin2cos21，tan 错误!.8三角函数的诱导公式都可表示为错误!，kZ 的形式，可简记为奇变偶不变,符号看象限
2、 二、三角函数的图象与性质 1正弦函数(1）定义域 R，值域1,1，最小正周期 2。学必求其心得，业必贵于专精 -3-(2）单调增区间：错误!kZ;单调减区间：错误!kZ.2余弦函数 单调增区间：2k，2k，kZ;单调减区间：2k,2k，kZ。3正切函数(1)定义域：错误!.(2)单调增区间：错误!，kZ.4对于yAsin(x)k(A0，0），应明确A，决定“形变，k决定“位变，A影响值域，影响周期，A,影响单调性针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别 5由已知函数图象求函数yAsin（x)(A0，0)的解析式时常用的解
3、题方法是待定系数法由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定,由适合解析式的点的坐标来确定.但由图象求得的yAsin(x）(A0,0)的解析式一般不唯一,只有限定的取值范围，才能得出唯一的解否则的值不确定，解析式也就不唯一 学必求其心得，业必贵于专精 -4-三、向量的线性运算与坐标运算 1零向量与单位向量(1)长度为 0 的向量叫做零向量,规定零向量与任意向量平行(2）长度等于一个单位的向量叫单位向量，单位向量有无数个 2相等向量、相反向量与共线向量（1）长度相等方向相同的向量叫相等向量(2)与向量a方向相反且等长的向量叫做向量a的相反向量（3）向量的基线互相平行或重合,称这些向量共线或平行 3
4、向量的加法与减法（1)向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则(2）错误!错误!错误!它表示向量减法的几何意义,可简记为“终点向量减始点向量”4数乘向量与数量积运算 实数和向量a的乘积是一个向量,记作a，且a的长|a|a|,ab|a|b|cos .四、平行向量基本定理与平面向量基本定理 1如果ab，则ab,反之，如果ab且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.学必求其心得，业必贵于专精 -5-2如果e1和e2是一个平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2。3直线l的向量参数方程 错误!（1t）错误!t错误!。五、向量的运算律与坐标运
5、算 1向量的运算律（1)交换律:abba，abba。(2）结合律：a（bc）（ab）c,abca(bc)（a)b（ab）a（b）.（3)分配律（u）aaua，(ab)ab，(ab)cacbc.2向量的坐标运算 已知向量a(x1，y1），b（x2,y2)和实数，则ab(x1x2，y1y2）,ab(x1x2,y1y2）,学必求其心得，业必贵于专精 -6-a(x1，y1)，abx1x2y1y2,a|错误!,a2x错误!y错误!，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.六、三角恒等变换 1和角公式(1）cos(）cos_cos_ sin_sin_。(2）sin（）sin_cos_cos_sin
6、_。(3）tan（）错误!.2倍角公式与半角公式（1)sin 22sin_cos_，（2）cos 2cos2sin22cos2112sin2,（3)tan 2错误!,(4）sin 错误!错误!,cos 错误!错误!,tan 错误!错误!错误!错误!。3辅助角公式 f（x）asin xbcos x错误!sin(x）1钝角是第二象限角 提示 钝角的范围是大于 90而小于 180,始边与x轴正学必求其心得，业必贵于专精 -7-半轴重合时，终边落在第二象限，因此钝角是第二象限角 2不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 （)提示 根据角度、弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角
7、的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关,所以错误 3已知是三角形的内角，则必有 sin 0。提示 当为三角形的内角时,00。4三角函数线的长度等于三角函数值（）提示 三角函数线表示轴上的向量，不仅有大小，也有方向,三角函数线的方向表示三角函数值的正负 5对任意角，错误!tan 错误!都成立（）提示 由正切函数的定义域知不能取任意角,所以错误 6若 cos 0，则 sin 1。提示 由同角三角函数关系式 sin2cos21 知，当 cos 0 时，sin 1。7诱导公式中角是任意角 学必求其心得，业必贵于专精 -8-提示 在诱导公式中，角没有限定条件，也就是为任意角 8若 sin
8、错误!0，且 cos 错误!0，则是第一象限角 提示 由题意得错误!,所以为第二象限角 9画正弦函数图象时,函数自变量通常用弧度制表示 提示 在平面直角坐标系中画ysin x（xR）的图象自变量x为实数，通常用弧度表示 10函数y3sin(2x5）的初相为 5.提示 在y3sin(2x5)中x0 时的相位5 称为初相，故初相为5.11由函数ysin 错误!的图象得到ysin x的图象，必须向左平移 ()提示 由函数ysin 错误!的图象得到ysin x的图象，可以把ysin 错误!的图象向右平行移动错误!得到ysin x的图象,不一定向左平移 12函数ysin x，x错误!的图象与函数ycos
9、 x，x0,2的图象的形状完全一致 (）提示 由正、余弦曲线可知它们的图象形状一致 13将函数ysin x的图象向左平移错误!个单位,得到函数ycos 学必求其心得，业必贵于专精 -9-x的图象 （）提示 函数ysin x的图象向左平移错误!个单位,得到函数ysin 错误!的图象，因为ysin 错误!cos x,故正确 14正切函数在整个定义域上是增函数(）提示 正切函数的定义域为错误!kZ，只能说正切函数在每一个开区间错误!，kZ 上为增函数，不能说它在整个定义域上为增函数 15 若 sin 错误!,且错误!，则可表示为错误!arcsin 错误!。(）提示 错误!，错误!，sin sin（)
10、错误!，arcsin 错误!，arcsin 错误!。16向量就是有向线段 提示 向量可以用有向线段来表示，但不能说向量就是有向线段，如 0 就不是有向线段 17若向量错误!，错误!满足|错误!|错误!|，且错误!与错误!同方向，学必求其心得，业必贵于专精 -10-则错误!错误!.（)提示 向量的模也就是向量的长度可以比较大小,但向量又具有方向性,因此向量不能比较大小 18两个向量相加实际上是两个向量的模相加 提示 向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则,两个向量的和仍是一个向量 19对于任意实数m和向量a,b，若mamb，则ab.提示 当m0 时，不一定有ab.20向量a与向量b平行，则a与
11、b同向或反向 提示 a与b中若有一个为零向量，则其方向不确定 21一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底 ()提示 在平面内，只要两个向量不共线，它们就可作为该平面内所有向量的基底 22相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关 提示 相等向量长度相等，方向相同，那么坐标显然相同，又向量可以平移,因此与起点、终点无关 23相等的向量，若起点不同，则终点一定不同 学必求其心得，业必贵于专精 -11-提示 若是零向量，起点和终点重合，注意零向量的特殊性 24已知a（a1，a2），b(b1，b2)，若ab，则必有a1b2a2b1.()提示 若ab，则a1b2a2b10 即a1
12、b2a2b1.25若abbc,则一定有ac。()提示 当b0 时，满足abbc，但不一定有ac.26若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b20.提示 当a(a1，a2）,b（b1，b2），且a，b为非零向量时，则aba1b1a2b20。27对于任意实数，,cos(）cos cos 都不成立 提示 当3，错误!时，cos（）1，cos cos 1,此时 cos（）cos cos.28对于任意R，sin 错误!错误!sin 都不成立 提示 当2k(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立 29tan 错误!错误!，只需要满足2k,（kZ)提示 tan 错误!中,错误!k错误!即2
13、k，（kZ），错误!中，cos 1 即2k，（kZ）学必求其心得，业必贵于专精 -12-30若xy1,则 sin xsin y1.提示 sin xsin y2sin 错误!cos 错误!2sin 错误!cos 错误!,又 0错误!错误!错误!，sin 错误!sin 错误!。2sin 122sin 错误!1,sin xsin y2sin 错误!cos 错误!cos 错误!1。sin xsin y1.1（2018全国卷）若 sin 错误!，则 cos 2（)A。错误!B.错误!C错误!D错误!B cos 212sin212错误!错误!错误!.2(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，
14、则a(2ab）()A4 B3 C2 D0 B a(2ab)2a2ab2（1)3，故选 B。3（2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!（)A。错误!错误!错误!错误!B。错误!错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -13-C。错误!错误!错误!错误!D.错误!错误!错误!错误!A 由题可得错误!错误!错误!错误!(错误!错误!）错误!错误!错误!14错误!.4(2018全国卷）若f（x）cos xsin x在a，a是减函数,则a的最大值是（)A错误!B错误!C错误!D A 法一：f（x)cos xsin x错误!cos错误!，且函数ycos x在区间0
15、，上单调递减，则由 0 x错误!,得错误!x错误!.因为f(x)在a，a上是减函数，所以错误!解得a错误!,所以 0a错误!，所以a的最大值是错误!，故选 A.法二:因为f(x）cos xsin x，所以f（x）sin xcos x，则由题意，知f（x)sin xcos x0 在a，a上恒成立，即 sin xcos x0，即2sin错误!0 在a，a上恒成立，结合函数y错误!sin错误!的图象可知有错误!解得a错误!，所以 0a错误!，所以a的最大值是错误!，故选 A。5（2017全国卷)已知曲线C1:ycos x，C2：ysin错误!，则学必求其心得，业必贵于专精 -14-下面结论正确的是(
16、)A把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移错误!个单位长度，得到曲线C2 B把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移错误!个单位长度，得到曲线C2 C把C1上各点的横坐标缩短到原来的错误!倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移错误!个单位长度,得到曲线C2 D把C1上各点的横坐标缩短到原来的错误!倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移错误!个单位长度，得到曲线C2 D 因为ysin错误!cos错误!cos错误!,所以曲线C1:ycos x上各点的横坐标缩短到原来的错误!倍，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x,再把得到的曲
17、线ycos 2x向左平移错误!个单位长度，得到曲线ycos 2错误!cos错误!.故选 D.6（2016全国）若 tan 错误!，则 cos22sin 2（）A错误!B错误!C1 D错误!A 因为 tan 错误!,则 cos22sin 2错误!错误!错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -15-故选 A.7(2018全国卷）已知向量a(1，2），b(2，2)，c（1,）若c（2ab），则_。错误!2ab（4,2)，因为c(1，)，且c（2ab），所以 124，即错误!.8(2018全国卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，则sin()_。错误!sin cos 1,cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0,两式相加可得 sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin）1，sin()错误!。