2020高中数学模块复习课讲义_2.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-模块复习课 一、正、余弦定理及其应用 1正弦定理、余弦定理 在ABC中，若角A，B,C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容（1）错误!错误!错误!2R（2）a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B;c2a2b22abcos_C （3)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4)sin A错误!，sin B错误!，sin C错误!；(7)cos A错误!；cos B错误!；cos C错误!变形 学必求其心得，业必贵于专精 -2-(5)abc sin_Asin_Bsin_C；(6）as

2、in Bbsin A,bsin Ccsin B，asin Ccsin A 2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 absin A bsin Aab ab ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式(1)S12aha(ha表示边a上的高)；（2)S错误!absin C错误!acsin B错误!bcsin A；（3)S错误!r（abc）(r为三角形内切圆半径)学必求其心得，业必贵于专精 -3-二、等差数列及其前n项和 1等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列

3、，这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示 2等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d,那么它的通项公式是ana1(n1）d.3等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时,A叫做a与b的等差中项 4等差数列的常用性质（1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*）（2)若an为等差数列，且klmn（k，l，m，nN)，则akalaman。(3）若an是等差数列，公差为d,则a2n也是等差数列，公差为 2d。（4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列 学必求其心得，业必贵于专精 -4-（5）若an是等差数列,公差为d,则ak，

4、akm，ak2m，(k，mN）是公差为md的等差数列(6）数列Sm,S2mSm，S3mS2m，构成等差数列 5等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn错误!或Snna1错误!d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn错误!n2错误!n。数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数）7等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值 三、等比数列及其前n项和 1等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通

5、常用字母q表示(q0）2等比数列的通项公式 学必求其心得，业必贵于专精 -5-设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1（a10，q0)3等比中项 如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，错误!错误!，G2ab，G错误!，称G为a，b的等比中项 4等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：anamqnm（n，mN*）（2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3）若an，bn（项数相同）是等比数列,则an（0），错误!，a错误!,anbn,错误!仍是等比数列 5等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为

6、q(q0），其前n项和为Sn，当q1 时,Snna1;当q1 时,Sn错误!错误!。6等比数列前n项和的性质 公比不为1 的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3n学必求其心得，业必贵于专精 -6-S2n仍成等比数列，其公比为qn。四、数列求和的常用方法 1公式法 直接利用等差、等比数列的求和公式求和 2分组转化法 把数列转化为几个等差、等比数列,再求解 3裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项 常见的裂项公式（1）错误!错误!错误!；(2)错误!错误!错误!;(3）错误!错误!错误!。4倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的

7、推导过程的推广 5错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 学必求其心得，业必贵于专精 -7-6并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解，则称之为并项求和 形如an(1）nf（n）类型，可采用两项合并求解 五、不等关系 两个实数比较大小的方法(1）作差法错误!(a,bR），(2）作商法错误!(aR，b0），六、一元二次不等式及其解法 1“三个二次”的关系 判别式b24ac 0 0 0 二次函数yax2bxc(a0）的图象 一元二次方程ax2bxc0（a0）的根 有两相异实根x1,x2(x1x2）有两相等实根x1x2b2a 没有实数根 一元二次不等式ax2

8、bxc0(a0)的解集 xxx1或xx2 错误!x|xR 学必求其心得，业必贵于专精 -8-一元二次不等式ax2bxc0(a0）的解集 x|x1xx2 2。常用结论（xa)(xb)0 或(xa)（xb)0 型不等式的解法 不等式 解集 ab ab ab(xa）（xb)0 x|xa或xb xxa xxb或xa(xa）（xb）0 xaxb xbxa 口诀：大于取两边，小于取中间 3常见分式不等式的解法(1）fxgx0(0)f(x）g(x）0（0）(2)错误!0(0)f（x)g(x)0（0）且g（x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式 七、基本不等式及其应用 学必求其心得，业必贵于

9、专精 -9-1基本不等式：错误!错误!(a0，b0）(1)基 0 本不等式成立的条件：a0，b0.(a0，b0）（2）等号成立的条件:当且仅当ab时取等号 2几个重要的不等式(1）a2b22ab(a,bR)(2)错误!错误!2（a，b同号）（3)ab错误!错误!（a,bR）(4)错误!错误!错误!（a，bR）以上不等式等号成立的条件均为ab。3算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则（1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值

10、2错误!.(简记：积定和最小)（2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值学必求其心得，业必贵于专精 -10-错误!.（简记：和定积最大)1在ABC中，若 sin Asin B,则AB.()2当b2c2a20 时，三角形ABC为锐角三角形（）提示 只能保证A为锐角，但不能保证三角形为锐角三角形 3在ABC中，错误!错误!。（）4在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积()5若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列（）提示“常数”必须强调为“同一个常数 6等差数列an的单调性是由公差d决定的()7数列an为等差数列的充要条件是对任意nN，都有 2

11、an1anan2。（)8已知数列an的通项公式是anpnq（其中p，q为常数),则数列an一定是等差数列（)9满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()提示 必须强调q0。10G为a，b的等比中项G2ab。（）学必求其心得，业必贵于专精 -11-提示 G2ab不能得出G是a，b的等比中项，如G0，a0，b1。11如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列（）提示 当an0 时,结论才能成立 12 数列 an 的通项公式是anan，则其前n项和为Sn错误!.()提示 公式成立的条件是a0，且a1.13 若不等式ax2bxc0 的解集是(,x1）（x2,)，则方程ax2b

12、xc0 的两个根是x1和x2。(）14若方程ax2bxc0（a0)没有实数根,则不等式ax2bxc0 的解集为 R.()提示 当a0 或a0，b0 且c0 时，结论才能成立 15不等式ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是a0 且b24ac0.()提示 当a0，b0 且c0 时，不等式在 R 上也是恒成立的 16若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0 的解集一定不是空集()17函数yx错误!的最小值是 2。（）学必求其心得，业必贵于专精 -12-提示 当x0 时，x错误!的最小值是 2。18函数f(x）cos x错误!，x错误!的最小值等于 4。(）提示 cos x4

13、cos x。19“x0 且y0”是“错误!错误!2”的充要条件()提示 错误!错误!2Dx0 且y0，如x4，y1。20若a0，则a3错误!的最小值为 2错误!.（)提示 2错误!不是定值 21不等式a2b22ab与错误!错误!有相同的成立条件（)提示 a2b22ab成立的条件是a,bR。错误!错误!成立的条件是a0，b0.22两个正数的等差中项不小于它们的等比中项(）1(2018全国卷）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若ABC的面积为错误!，则C()A.错误!B.错误!C.错误!D。错误!C 因为SABC错误!absin C,所以错误!错误!absin C由余弦定理a2b2c2

14、2abcos C，得 2abcos C2absin C,即 cos Csin C，所以在学必求其心得，业必贵于专精 -13-ABC中,C4.故选 C。2(2018全国卷)在ABC中，cos C2错误!，BC1,AC5，则AB（）A4错误!B。错误!C。错误!D2错误!A 因为 cos 错误!错误!，所以 cos C2cos2 错误!12错误!21错误!。于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C5212251错误!32，所以AB4错误!。故选 A。3（2017全国卷)ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c。已知 sin Bsin A(sin Ccos C）0，a

15、2，c错误!，则C（)A.错误!B.错误!C。错误!D。错误!B 因为a2，c错误!,所以由正弦定理可知，错误!错误!，故 sin A错误!sin C.又B（AC)，故 sin Bsin A（sin Ccos C)sin(AC）sin Asin Csin Acos C 学必求其心得，业必贵于专精 -14-sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C（sin Acos A）sin C 0.又C为ABC的内角，故 sin C0，则 sin Acos A0,即 tan A1。又A（0，），所以A错误!.从而 sin C错误!sin A错误!错误!错误!。由A错误!

16、知C为锐角，故C错误!。故选 B。4(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C,b2c2a28，则ABC的面积为_ 错误!由bsin Ccsin B4asin Bsin C得 sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C,因为 sin Bsin C0，所以 sin A错误!.因为b2c2a28,cos A错误!，所以bc错误!,所以SABC错误!bcsin A错误!错误!错误!错误!。5（2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，学必求其心得，业必贵于专精 -15-b，c，若 2b

17、cos Bacos Cccos A,则B_.错误!法一：由 2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB.2sin Bcos Bsin（B）sin B。又 sin B0,cos B错误!。B错误!。法二：在ABC中，acos Cccos Ab,条件等式变为 2bcos Bb，cos B错误!.又 0B，B错误!。6(2018全国卷）已知数列an满足a11，nan12(n1）an。设bn错误!。(1)求b1，b2,b3;（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；（3)

18、求an的通项公式 解(1)由条件可得an1错误!an。将n1 代入得，a24a1，而a11，所以,a24.将n2 代入得，a33a2,所以，a312.学必求其心得，业必贵于专精 -16-从而b11,b22,b34。（2）bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列 由条件可得错误!错误!,即bn12bn，又b11，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3）由(2）可得错误!2n1，所以ann2n1.7（2018全国卷）等比数列an中，a11，a54a3。（1)求an的通项公式；(2）记Sn为an的前n项和若Sm63，求m。解（1)设an的公比为q，由题设得anqn1。由已知得q44q2,解

19、得q0（舍去），q2 或q2.故an（2)n1或an2n1。（2)若an(2)n1，则Sn错误!。由Sm63 得（2)m188，此方程没有正整数解 若an2n1，则Sn2n1。由Sm63 得 2m64，解得m6。综上,m6.8（2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1）an2n.（1)求an的通项公式;学必求其心得，业必贵于专精 -17-(2)求数列错误!的前n项和 解(1）因为a13a2（2n1)an2n，故当n2 时,a13a2（2n3)an12（n1），两式相减得(2n1）an2，所以an错误!(n2)又由题设可得a12，满足上式,所以an的通项公式为an错误!。（2)记错误!的

20、前n项和为Sn.由(1)知错误!错误!错误!错误!，则Sn错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!。9（2018全国卷）在平面四边形ABCD中，ADC90，A45,AB2，BD5。(1)求 cosADB；(2）若DC22，求BC。解（1)在ABD中,由正弦定理得错误!错误!.由题设知，5sin 45错误!，所以 sinADB错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -18-由题设知，ADB90,所以 cosADB错误!错误!.(2）由题设及(1)知，cosBDCsinADB错误!。在BCD中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcosBDC 258252错误!错误!25。所以BC5。10(2

21、017全国卷)ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为错误!.(1）求 sin Bsin C；（2)若 6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长 解（1)由题设得12acsin B错误!,即错误!csin B错误!.由正弦定理得错误!sin Csin B错误!。故 sin Bsin C错误!.（2）由题设及（1）得 cos Bcos Csin Bsin C错误!，即 cos（BC）错误!.所以BC错误!，故A错误!.由题意得12bcsin A错误!，a3,所以bc8。学必求其心得，业必贵于专精 -19-由余弦定理得b2c2bc9，即（bc）23bc9。由bc8，得bc错误!.故ABC的周长为 3错误!。