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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-模块复习课 一、计数原理 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m种不同的方法，在第 2 类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有m种不同的方法,做第 2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法 3排列数（1)从n个不同元素中取出m（mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 A错误!表示；(2）排列数公式 Am，nn（n1）（n2)（nm1）错误!.4组合数(1）从n个不同元素中取出m(mn）个元素的所
2、有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符合 C错误!学必求其心得，业必贵于专精 -2-表示（2)组合数公式 C错误!错误!错误!组合数性质：CmnC错误!。C错误!C错误!C错误!。5二项式定理（1）二项式定理 公式(ab)nC错误!anC错误!an1bC错误!ankbkC错误!bn叫做二项式定理(2)相关概念 公式右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式；各项的系数 C错误!叫做二项式系数；展开式中的 C错误!ankbk叫做二项展开式的通项,记作Tk1，它表示展开式的第k1 项 6杨辉三角(1）杨辉三角的特点 在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数
3、相等；在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 C错误!C错误!C错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -3-（2)各二项式系数的和 C错误!C错误!C错误!C错误!2n；C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!2n1.二、随机变量及其分布 1离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2离散型随机变量的分布列的定义及性质(1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2，xi，xn，X取每一个值xi（i1,2，,n）的概率P（Xxi）pi，以表格形式表示为:X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 称上表为离散型
4、随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列用等式可表示为P(Xxi)pi，i1，2，n，离散型随机变量分布列还可以用图象表示(2）离散型随机变量分布列的性质：(）pi0，i1，2，,n；(）错误!pi1。3特殊分布 学必求其心得，业必贵于专精 -4-（1)两点分布 X 0 1 P 1p p 像上面这样的分布列叫做两点分布如果随机变量X的分布列为两点分布,就称X服从两点分布，并称Pp（x1）为成功概率(2）超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P（Xk）错误!,k0,1，2,，m，即 X 0 1 m P 错误!错误!错误!其中mminM，n,且nN，MN，n
5、，M，NN*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布 4条件概率（1)条件概率的定义 一般地，设A,B为两个事件，且P(A）0，称P(BA）PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)读作A学必求其心得，业必贵于专精 -5-发生的条件下B发生的概率（2)条件概率的性质 任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间,即 0P（B|A)1。如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A）P（BA）P(CA)5事件的相互独立性(1）相互独立事件的概念 设A,B为两个事件，若P（AB)P（A）P(B），则称事件A与事件B相互独立(2）相互独立事件的性质 如果事件
6、A与B相互独立,那么A与错误!,错误!与B，错误!与错误!也都相互独立 6独立重复试验与二项分布（1）n次独立重复试验 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验（2)二项分布 一般地，在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数，学必求其心得，业必贵于专精 -6-设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（Xk）Ck，npk（1p)nk,k0,1,2，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作XB（n，p)，并称p为成功概率 7离散型随机变量的均值与方差（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称E（X)错误!xipi为随机
7、变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平 则把D(X)错误!（xiE(X）)2pi叫做随机变量X的方差，D(X）的算术平方根错误!叫做随机变量X的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度(2)两点分布与二项分布的均值 若随机变量X服从两点分布,则E（X）p；D(X)p（1p)；若XB（n，p）,则E(X)np，D（X）np(1p）(3）性质 若YaXb，其中a，b为常数，则E（Y)E(aXb）aE（X)D(aXb)a2D(X)学必求其心得，业必贵于专精 -7-8正态分布(1)定义 一般地,如果对于任何实数a，b（ab)，随机变量X满足P（aXb)
8、错误!，（x）dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2)如果随机变量X服从正态分布，则记为N（，2)（2）正态分布在三个特殊区间内取值的概率及 3原则 P(X)0。683；P（2X2）0.954；P(3X3）0。997。三、统计案例 1回归分析(1）回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(2）回归直线方程 方程y，错误!x错误!是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1）,（x2,y2），(xn，yn)的回归方程,其中错误!，错误!是待学必求其心得，业必贵于专精 -8-定参数，其最小二乘估计分别为：错误!其中错
9、误!错误!错误!xi，错误!错误!错误!yi,(错误!，错误!）称为样本点的中心 2独立性检验（1）22 列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为 22 列联表)为 y1 y2 合计 x1 a b ab x2 c d cd 合计 ac bd abcd(2）2错误!，其中nabcd为样本容量 1将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中，则有不同的放法种数有34个.(）提示 本题是一个分步计数问题对于第一个小球有 4 种不同的放法，第二个小球也有 4 种不同的放法，第三个小球也有 4 种不同的放法，跟据分步乘法计数原理知共有 44464
10、 种不同的学必求其心得，业必贵于专精 -9-放法 2从甲、乙等 6 人中选出 3 名代表，甲一定当选，则有 20 种选法。()提示 因为甲一定当选，所以只要从剩下的 5 人中选出 2 人即可，因此有 C错误!10 种选法 3三个人踢球，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢,经过 5 次传递后，球又回给甲，则不同的传递方式共有 10 种。(）提示 可利用树状图进行求解 4式子 A错误!错误!中mn.()提示 当mn时，(nm)！0！1，即求n个元素的全排列数 5由 0，1,2,3 这 4 个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有 343A错误!168(个）（)提示 首位不含 0,有 3
11、种选法，其余 3 位都有 4 种选法，共有343192个四位数；其中没有重复数字的有332118个，故有重复数字的四位数共有 19218174 个 63 名医生和 6 名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，则不同的分配方法有540 种.(）学必求其心得，业必贵于专精 -10-7（ab）n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.（）8在错误!6的二项展开式中，常数项为160.（）9 在(1x）9的展开式中系数最大的项是第 5 项和第 6 项.（)提示 由通项公式得Tr1C错误!(1)rxr，故第r1 项的系数为（1）rC错误!。故当r4 时，即第 5 项的系数最
12、大 10 若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0,则a7a6a1的值为128。（)提示 当x0 时，a01，当x1 时a7a6a5a1a027，a7a6a5a1271129.11若错误!n的展开式中,仅有第 5 项的二项式系数最大，且x4的系数为 7，则实数a错误!.()12离散型随机变量是指某一区间内的任意值()提示 随机变量的取值都能一一列举出来 13在区间0,10内任意一个实数与它四舍五入取整后的整数的差值是离散型随机变量（）提示 可以取区间0，10内的一切值，无法按一定次序一学必求其心得，业必贵于专精 -11-一列出,故其不是离散型随机变量 14离散型随机变量的分布列的每个随机变量取
13、值对应概率都相等（）提示 因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件 15在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1。()提示 由分布列的性质可知，该说法正确 16超几何分布的模型是不放回抽样（）17超几何分布的总体里可以有两类或三类特点（)提示 超几何分布的模型特征是“由较明显的两部分组成”18若事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生(）19 小王通过英语听力测试的概率是错误!,他连续测试 3 次，那么其中恰好第 3 次测试获得通过的概率是PC13错误!1错误!2错误!.（）提示 所求概率应为P错误!错误!错误!错误!。20试验之前可以判断离散型随机
14、变量的所有值（）提示 因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个,只学必求其心得，业必贵于专精 -12-不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确 21必然事件与任何一个事件相互独立()提示 必然事件的发生与任何一个事件的发生，没有影响 22二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有正整数（）提示 二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有自然数 23若a是常数,则D（a）0.()24已知Y3X2，且D(X）10，则D（Y）92。（)提示 D（X)10,且Y3X2 D(Y）D(3X2)9D(X）90.25离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分
15、布用分布列描述(）提示 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线（函数）描述 26正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的（）提示 正态曲线与x轴围成的面积是 1，它不随和变化而学必求其心得，业必贵于专精 -13-变化 27若2的观测值大于 6。635，则在犯错误的概率不超过 0。01 的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病(）提示 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故此说法不正确 28如果两个变量x与y之间不存在着线性关系，那么
16、根据它们的一组数据（xi，yi)(i1,2，n)不能写出一个线性方程（）提示 任何一组（xi，yi）（i1，2，n)都能写出一个线性方程,只是有无意义的问题，因此这个说法错误，线性关系是可以检验的，可以画出带状散点图,可以写出一个拟合效果最好的线性方程 29利用线性回归方程求出的值是准确值()提示 因为利用线性回归方程求出的值为估计值，而不是真实值 30变量x与y之间的回归直线方程表示x与y之间的真实关系形式(）提示 因为变量x与y之间的线性回归直线方程仅表示x与学必求其心得，业必贵于专精 -14-y之间近似的线性关系,x与y之间满足ybxae，其中e为随机误差 1（2017全国卷）错误!（1
17、x)6展开式中x2的系数为（）A15 B20 C30 D35 C 因为（1x）6的通项为 C错误!xr，所以错误!（1x)6展开式中含x2的项为 1C错误!x2和错误!C错误!x4.因为 C错误!C错误!2C错误!2错误!30，所以错误!(1x）6展开式中x2的系数为 30.故选 C。2(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（)A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 D 由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成1 项工作，可得安排方式为 C错误!C错误!A错误!36（种)，或列式为C
18、错误!C错误!C错误!3错误!236（种）故选 D.学必求其心得，业必贵于专精 -15-3(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30723。在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是(）A。错误!B.错误!C.错误!D。错误!C 不超过 30 的所有素数有 2,3,5,7，11,13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两个不同的数有 C错误!种不同的取法，这 10个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对,所以所求概率P错误!错误!，故选 C.
19、4（2018全国卷）错误!5的展开式中x4的系数为（）A10 B20 C40 D80 C Tr1C错误!（x2）5r错误!rC错误!2rx103r,由 103r4，得r2，所以x4的系数为 C错误!2240.5(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立 设X为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX2。4，P(X4)P（X6)，则p()学必求其心得，业必贵于专精 -16-A0.7 B0.6 C0。4 D0。3 B 由题意知，该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX10p（1p)2.4，所以p0。6 或p0.4.由P(
20、X4）P（X6)，得 C410p4（1p）6C错误!p6（1p)4,即(1p）2p2,所以p0.5，所以p0.6。6（2017全国卷）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X表示抽到的二等品件数，则DX_。196 由题意得XB（100，0.02)，DX1000。02（10。02）1。96。7（2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p(0p
21、1)，且各件产品是否为不合格品相互独立(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0。学必求其心得，业必贵于专精 -17-(2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品,以（1）中确定的p0作为p的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用()若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f（p）C错误!p2(1p)
22、18.因此 f（p）C错误!2p(1p)1818p2(1p）172C错误!p（1p）17(110p)令f（p)0，得p0。1.当p（0,0。1)时，f(p)0；当p(0.1,1)时，f(p)0.所以f(p)的最大值点为p00。1。（2)由(1)知，p0。1.()令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知YB(180,0。1）,X20225Y，即X4025Y。所以EXE（4025Y)4025EY490。学必求其心得，业必贵于专精 -18-(）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 由于EX400，故应该对余下的产品作检验 8(2018全国卷）下图是某地区
23、2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元)的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为 1,2,，17）建立模型:错误!30。413。5t；根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量t的值依次为 1，2,，7)建立模型：错误!9917.5t.（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；(2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 解（1）利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为错误!30.
24、413.519226.1（亿元）学必求其心得，业必贵于专精 -19-利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为错误!9917.59256.5（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下：()从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30。413。5t上下,这说明利用 2000 年至 2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长
25、趋势，利用2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型错误!9917.5t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（)从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220亿元,由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠（以上给出了 2 种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均学必求其心得，业必贵于专精 -20-可)9(2019全国卷）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 1010 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比
26、赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0。4，各球的结果相互独立,在某局双方 1010 平后，甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束(1）求P（X2）；(2)求事件“X4 且甲获胜的概率 解（1）X2 就是 1010 平后,两人又打了 2 个球该局比赛结束，则这 2 个球均由甲得分,或者均由乙得分因此P（X2）0。50.4(10。5)（10.4)0.5.(2）X4 且甲获胜，就是 1010 平后，两人又打了 4 个球该局比赛结束,且这 4 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1 分,后两球均为甲得分因此所求概率为0.5（10.4）(10。5)0.40.50.40.1.