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1、1 本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。第1页/共16页2第一节第一节 基本概念基本概念定义一、二次型及其矩阵称为一个(n元)二次型.本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。第2页/共16页3于是上述二次型可以写成如下求和形式 第3页/共16页4第4页/共16页5记则上述二次型可以用矩阵形式表示为 A称为二次型 的矩阵。第5页/共16页6A的秩称为该二次型的秩。A称为二次型 的矩阵。A是一个实对称矩阵。事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究A所具有的性
2、质。第6页/共16页7例1设二次型 求二次型的矩阵A和二次型的秩。解所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。第7页/共16页8例2求二次型 的矩阵A和二次型的秩，解所以二次型 f 的矩阵为第8页/共16页9二、线性变换二、线性变换在平面解析几何中，为了确定二次方程 所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：第9页/共16页10定义关系式 记则上述线性变换可以写成矩阵形式：第10页/共16页11C 称为该线性变换的矩阵。如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。容易验证，转轴公式是一个正交变换。第11页/共16页12三、矩阵的合同关系三、矩阵的合同关系 由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个二次型的秩相等。第12页/共16页13定义 与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也具有以下性质。(1)反身性：(2)对称性：(3)传递性：A AA BB AA BB CA C证明只证(3)，其余留作练习。第13页/共16页14练习：P222 习题五第14页/共16页15END第15页/共16页16感谢您的观看！第16页/共16页