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1、对应 投影变换投影变换 例 2阶方阵 对应 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例 2阶方阵 第1页/共49页解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2+ny 2=0 第2页/共49页定义：含有 n 个变量 x1,x2,xn 的二次齐次函数称为二次型第3页/共49页令 aij=aji，则 2 aij xi xj=aij xi xj+aji xi xj，于是第4页/共49页对称阵第5页/共49页对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的二次型二次型的矩阵第6页
2、/共49页对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即f =k1 y12+k2 y22+kn yn2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）.如果标准形的系数 k1,k2,kn 只在1,0,1三个数中取值,即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.简记为 x=C y，于是 f=xTAx =(C y)T A(C y)=yT(CTAC)y第7页/共49页写出二次型对应的对称矩阵A。解：可根据所给的二次型的各个系数直接写出对应的对称矩阵例1第8页/共49页写出由对称矩阵
3、确定的二次型。解：可根据所给的对称矩阵直接写出对应的二次型例2第9页/共49页【练习109】三元二次型的矩阵为（）。A B C DA第10页/共49页【练习110】实对称矩阵 所对应的二次型 _第11页/共49页【练习111】二次型的矩阵是_。第12页/共49页【练习112】二次型的秩是_。2【解】秩为2 第13页/共49页【练习113】实对称矩阵 所对应的二次型是_第14页/共49页【练习114】二次型的秩是().A1 B2 C3 D4C【解】秩为3 第15页/共49页【练习115】二次型 =的正惯性指数为 .1【解】只有 的系数是正的。第16页/共49页定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，
4、若有可逆矩阵 P 满足P 1AP=B，则称矩阵A 和 B 相似（P.121定义7）定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足CTAC=B，则称矩阵A 和 B 合同（P.129定义9）显然，pBT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵pR(B)=R(A)经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变第17页/共49页若二次型 f 经过可逆变换 x=C y 变为标准形，即问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵,（把对称阵合同对角化）第18页/共49页定义：如果 n
5、阶矩阵A 满足 ATA=E，即 A1=AT，则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得P 1AP=PTAP=L L，其中 L L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理7）定理：任给二次型 f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在正交变换 x=P y，使 f 化为标准形 f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2 其中 l l1,l l2,l ln 是 f 的矩阵 A 的特征值推论：任给二次型 f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在可逆变换 x=C z，使 f(Cz)为规范形第19页/共
6、49页推论：任给二次型 f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在可逆变换 x=C z，使 f(C z)为规范形证明：f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2若R(A)=r，不妨设 l l1,l l2,l lr 不等于零，l lr+1=l ln=0,令则 K 可逆，变换 y=Kz 把 f(P y)化为f(PKz)=(PKz)T A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTKz其中第20页/共49页【例3】求一个正交变换 x=P y，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形【解】二次型的矩阵根据P.125例12的结果，有正交阵使得于是正交变换 x=P y
7、 把二次型化为标准形f=2y12+y22+y32第21页/共49页如果要把 f 化为规范形，令 ，即可得 f 的规范形：f=z12+z22+z32第22页/共49页 在以下4个矩阵中，哪些是合同矩阵？哪些是不合同矩阵？【例4】【解】这4个方阵的秩都同为3，因为，A与C的正惯性指数同为1，所以A与C合同。B与D的正惯性指数同为2，所以B与D合同。但A与B不合同，B与C不合同。第23页/共49页【练习116】二次型 =经正交变换可化为标准形 .解:用配方法第24页/共49页【练习117】求正交变换 ，将二次型 化为标准形，并指出 是否为正定二次型 解:二次型的矩阵由得 的特征值为第25页/共49页
8、对于 ，由 得特征向量对于 ，由 得特征向量第26页/共49页将 单位化，得 令 ，则 为正交矩阵，从而经正交变换 ，将二次型化为标准形 由于 的特征值都大于零，故 正定.第27页/共49页6.2 正定二次型和正定矩阵第28页/共49页1.正定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为正定二次型，矩阵A称为正定矩阵。第29页/共49页2.半正定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为半正定二次型，矩阵A称为半正定矩阵。第30页/共49页3.负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为负定二次型，矩阵A称为负定矩阵。第31页/共49页4.
9、半负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为半负定二次型，矩阵A称为半负定矩阵。第32页/共49页5.不定二次型其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称阵称为不定矩阵。第33页/共49页以n=3为例。【例6】（1）正定二次型：对应的矩阵（2）半正定二次型：对应的矩阵（3）负定二次型：对应的矩阵第34页/共49页（4）半负定二次型：对应的矩阵（5）不定二次型：对应的矩阵第35页/共49页 问是不是正定二次型？【例7】解：因为它对应的对称矩阵中的对角元素 ，所以它不是正定二次型。第36页/共49页定理：n阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵A的n个顺序主子式Dk0,k=1,
10、2,，n。第37页/共49页判定 是不是正定矩阵。【例8】解：因为A的三个顺序主子式：所以，A是正定矩阵。第38页/共49页 问 为何值时，以下三元二次为正定二次型：【例9】解：它是标准二次型。它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是正数，即得第39页/共49页 问 为何值时，以下三元二次为正定二次型：【例10】解：写出对应的对称矩阵得第40页/共49页定理：矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是 .称为 的顺序 阶主式，即 第41页/共49页【练习118】设矩阵A=为正定矩阵，则 的取值范围是_ 【解】第42页/共49页【练习119】设矩阵A=为正定矩阵，则 的取值范围是_ 【解】第43页/共49页【练习120】已知二次型 正定，则数k的取值范围为_【解】第44页/共49页【练习121】设 ，则二次型 是（）A正定 B负定C半正定D不定已知二次型 【解】B负定。第45页/共49页【练习122】设矩阵A=，则二次型 的规范形是_【解】其中 第46页/共49页【练习123】二次型 的规范形是（）ABC D【解】其中 D第47页/共49页【练习124】设实对称矩阵 ，则3元二次型 的规范形为（）ABC D【解】D第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页