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1、第五章1二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵一、一、二次型及其矩阵二次型及其矩阵1 1定义：含有定义：含有n个变量的二次齐次函数：个变量的二次齐次函数：22f(x1,x2,xn)a11x1a22x22annxn2a12x1x22a13x1x3称为二次型。称为二次型。2a(n1)nxn1xn为便于用矩阵讨论二次型，令为便于用矩阵讨论二次型，令aij aji，则二次型为：，则二次型为：2f(x1,x2,xn)a11x1a12x1x2a1nx1xn a2nx2xn2 annxna21x2x1 a22x22nan1xnx1 an2xnx2i,j1aijxixja1n x1xa2n，x 2，xannna11
2、a12a21a22令令Aan1an2则则f(x1,x2,xn)xTAx，且，且A为对称矩阵。为对称矩阵。由于对称矩阵由于对称矩阵A与二次型与二次型f是一一对应关系，是一一对应关系，故称对称矩阵故称对称矩阵A为二次为二次型型f的矩阵，的矩阵，也称二次型也称二次型f为对称矩阵为对称矩阵A的二次型，的二次型，R(A)也称为二次型也称为二次型f的秩。的秩。例例 1 1设设22 3x3 5x1x2 7x2x3 9x1x3f(x1,x2,x3)x12 2x2.试求二次型矩阵试求二次型矩阵A.解解a111,a22 2,a33 3,a12 a21于是得于是得5125A229722579,a23 a32,a13
3、 a31.22259 12257，f (x1,x2,x3)222973229 2 x 17x22x33例例 2 2已知三阶矩阵已知三阶矩阵A和向量和向量X,其中其中x1123A 01 1,X x2.x3 323求二次型求二次型XAX的矩阵的矩阵.解解由于由于A不是对称矩阵不是对称矩阵,故故A不是二次型不是二次型XAX的矩阵的矩阵.因为因为123 x1 X AX (x1,x2,x3)01 1 x23 32 x 322 2x3 2x1x2 6x1x3 4x2x3,x12 x2故此二次型的矩阵为故此二次型的矩阵为113 11 2.3 22二、线性变换二、线性变换1 1标准形标准形22 dnxn定义：
4、形如定义：形如d1x12 d2x2的二次型称为二次型的标准形。的二次型称为二次型的标准形。显然：其矩阵为对角阵。显然：其矩阵为对角阵。2 2线性变换线性变换.x1 c11y1c12y2x c y c y 21 1222定义：定义：关系式关系式2xn cn1y1cn2y2y1,y2,c1nync2nyncnnyn称为由变量称为由变量x1,x2,xn到变量到变量,yn的一个线性变量替换，简称线性变换。的一个线性变量替换，简称线性变换。c11c12c21c22矩阵矩阵C cn1cn2c1nc2n称为线性变换的矩阵。称为线性变换的矩阵。cnn x1 y1xy记记x 2，y 2，则线性变换可用矩阵形式表
5、示为：，则线性变换可用矩阵形式表示为：x Cyxnyn若若C 0，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否则，否则，称为降秩（线性）变换（或退化变换）称为降秩（线性）变换（或退化变换）。f(x1,x2,B CTAC，,xn)xTAx (Cy)TA(Cy)yTCTACy yTBy，其其中中而而BT(CTAC)T CTAC B若线性变换是非退化的，便有：若线性变换是非退化的，便有：y C1x三、矩阵的合同三、矩阵的合同1 1 定义：设定义：设A，B为为n阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵C，使得，使得CTAC B，则称矩阵则
6、称矩阵A与与B合同。合同。容易知道：容易知道：二次型二次型f(x)xTAx的矩阵的矩阵A与经过非退化线性变换与经过非退化线性变换x Cy得到的得到的矩阵矩阵CTAC是合同的。是合同的。2 2 合同的性质合同的性质.反身性：任一方阵反身性：任一方阵A都与它自己合同都与它自己合同 对称性：如果方阵对称性：如果方阵A与与B合同，那么合同，那么B也与也与A合同合同 传递性：如果方阵传递性：如果方阵A与与B合同，合同，B与与C合同，那么合同，那么A与与C合同合同3 3 定理：若矩阵定理：若矩阵A与与B合同，则合同，则A与与B等价，且等价，且R(A)R(B)。4 4 定理：任何一个实对称矩阵定理：任何一个
7、实对称矩阵A都合同于一个对角阵都合同于一个对角阵（是以是以A的的n个特个特征根为对角元的对角阵）征根为对角元的对角阵）。即存在可逆矩阵。即存在可逆矩阵C，使得，使得CTAC 。化二次型为标准形化二次型为标准形一、正交变换法一、正交变换法定理：定理：任给二次型任给二次型f(x1,x2,2,xn)xTAx，总有正交变换总有正交变换x Cy使使f化为化为22（其中（其中1,2,nxn标准形：标准形：f 1x12x2阵阵A的特征根）的特征根）例例：,n是对称矩是对称矩求求一一个个 正正交交 变变换换x Py，化化二二 次次型型222f x12x22x34x1x2 4x1x38x2x3为标准形。为标准形
8、。122 解：二次型的矩阵为：解：二次型的矩阵为：A 224242.由由AE 0，求得，求得A的特征根为：的特征根为：1 7，23 2，1 特征根特征根1 7对应的特征向量为：对应的特征向量为：12；2特征根特征根23 2对应的特征向量为：对应的特征向量为：221,0显然显然1与与2,3都正交，但都正交，但2与3不正交。不正交。正交化：取正交化：取2221，025(332,3)(42,2)251再再将将1,2,3单单位位化化 1 p11212,p251,p1323203 545.3201，得得.1 x132于是正交线性变换为：于是正交线性变换为：x23x233222515023 5 y14y3
9、 525y332使原二次型化为：使原二次型化为：f 7y1 2y2 2y3注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。二、配方法二、配方法对任意一个二次型对任意一个二次型f(x1,x2,xn)xTAx，也可用配方法找到满秩变换，也可用配方法找到满秩变换x Cy，化二次型，化二次型f为标准形。为标准形。1 1二次型中含有平方项二次型中含有平方项例：例：化二次型化二次型f(x1,x2,x3)x1 2x23x3 4x1x24x1x34x2x3为标准为标准形，并求出所用的变换矩阵。形，并求出所用的变换矩阵。解解2f(x1,x2,x
10、3)x1 4(x2 x3)x1 4(x2 x3)24(x2 x3)22222222(x22x2x3 x3)5x32(x1 2x22x3)24(x2 x3)2 2(x2 x3)25x32(x1 2x22x3)22(x2 x3)25x3y1 x1 2x22x3 y1122 x1011xx2 x3，即，即y令令y222y y001 xx3333.1221201令令C 011，则则C 011，所所求求的的满满秩秩变变换换为为001 001 x1120 y1011y，x Cy，即，即x22x001y33则原二次型则原二次型f x Ax化为标准形：化为标准形：f y12y25y32 2二次型中不含平方项二
11、次型中不含平方项例：用配方法化二次型例：用配方法化二次型f(x1,x2,x3)x1x2 x1x3 x2x3为标准形，并求出为标准形，并求出所用的满秩线性变换。所用的满秩线性变换。T222x1 y1 y222解：令解：令x2 y1 y2，则原二次型化为：，则原二次型化为：f y1 y2 2y1y3x y33再按前例的方法有：再按前例的方法有：f y1 y2 2y1y3 y1 2y1y3 y3 y3 y2(y1 y3)y2 y3222222222z1 y1 y3222y2令令z2，则原二次型化为：则原二次型化为：f z1 z2 z3z y33其中的满秩变换为两变换的合成，即：其中的满秩变换为两变换
12、的合成，即：.x1 y1 y2 x1110 y1由第一次变换由第一次变换x2 y1 y2得：得：x2 110y2x x001yy3333z1 y1 y3y2由第二次变换由第二次变换z2得：得：z y33所以有合成的满秩变换为：所以有合成的满秩变换为：y1101 z1y010z22y001 z33 x1110 y1110101 z1zx2 110y2 1100102x001y001001 z333 x1111 z1即即x2 111z2x001 z33三、初等变换法三、初等变换法由于任一二次型由于任一二次型f xTAx(AT A)都可以找到满秩线性变换都可以找到满秩线性变换x Cy将将其化为标准形
13、，即存在可逆矩阵其化为标准形，即存在可逆矩阵C，使，使CTAC为对角阵；由于为对角阵；由于C可逆，可可逆，可以以写写成成一一系系列列初初等等矩矩阵阵的的乘乘积积，即即存存在在初初等等矩矩阵阵P1,P2,C P1P2Ps。则。则CT PsTTTP2P1，所以，所以TTP2P1APP1 2,Ps，使使CTAC PsT.Ps.C P1P2Ps EP1P2Ps表示对实对称矩阵表示对实对称矩阵A施行初等列变换，施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，同时也施行同种的初等行变换，将将A化为对角阵，表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为化为对角阵，表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为C例：用初等变换法
14、化二次型例：用初等变换法化二次型f x12x22x34x1x2 4x1x38x2x3为标准形，并求出相应的满秩线性变换。为标准形，并求出相应的满秩线性变换。222 122 解：二次型解：二次型f的矩阵：的矩阵：A 224242 122 12240 A 242r2r32c2c3E1001010000102 4222001011100 0400 200716r3(2)r2102，12c3()c212010211 0120100r3(2)r1c3(2)c11000420111021所以所以C 01，21012 222原二次型化为原二次型化为f y14y27y3.惯性定理和二次型的正定性惯性定理和二次
15、型的正定性一、惯性定理和规范形一、惯性定理和规范形在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准22形为如下形式：形为如下形式：f d1x1d2x22dpx2pdp1xp12drxr1x y(i 1,2,r)idii再令线性变换：再令线性变换：(j r 1,r 2,xj yj,n)，则原二次型化为：，则原二次型化为：22f y1 y22 y2 ypp12 yr定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。定义：定义：称规范形中正项的个数称规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标，称
16、为二次型的正惯性指标，负项个数负项个数r p称为二次型的负惯性指标，称为二次型的负惯性指标，r是二次型的秩。是二次型的秩。注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。虽注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。定理：任一实二次型定理：任一实二次型f xTAx都可以经过满秩变换都可以经过满秩变换x Cy化为规范形，且化为规范形，且规范形唯一。因而，对任一实对称矩阵规范形唯一。因而，对任一实对称矩阵A，都存在满秩矩阵，都存在满秩矩阵C，使，使1TC AC 1110，称
17、称为为A的的（合同）（合同）0规范形。规范形。定理：实对称矩阵定理：实对称矩阵A与与B合同的充分必要条件是合同的充分必要条件是A与与B有相同的规范形，有相同的规范形，其正惯性指标和秩相等。其正惯性指标和秩相等。.矩阵合同的性质矩阵合同的性质(1)(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同;(2)(2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵;(3)(3)两个实对称矩阵合同的充要条件两个实对称矩阵合同的充要条件有相同的秩有相同的秩,有相同的正惯性指数有相同的正惯性指数.二、二次型的正定性二、二次型的正定性1 1、正、正(负负)定二次型的
18、概念定二次型的概念定义：定义：设实二次型设实二次型f(x)f(x1,x2,实数实数x1,x2,xn)xTAx，若对任意不全为零的若对任意不全为零的,xn(即x 0)，总有总有f(x)0(0)，则称则称f为正为正(负负)定二次型，定二次型，并称对称矩阵并称对称矩阵A为正为正(负负)定矩阵，记作定矩阵，记作A 0(0)。定义：定义：若对任意不全为零的实数若对任意不全为零的实数x1,x2,T,xn，总有总有f(x)x Ax 0(0)，则称实二次型为半正则称实二次型为半正(负负)定二次型，其矩阵定二次型，其矩阵A为半正为半正(负负)定矩阵。定矩阵。2 2、判定方法、判定方法定理：若定理：若A是是n阶实
19、对阵矩阵，则下列命题等价：阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1 1）f(x)x Ax是正定二次型（或是正定二次型（或 A A 是正定矩阵）是正定矩阵）；（2 2）A的的n个特征值全为正；个特征值全为正；（3 3）f的标准形的的标准形的n个系数全为正；个系数全为正；（4 4）f的正惯性指数为的正惯性指数为n；（5 5）A与单位矩阵与单位矩阵E合同（或合同（或E为为A的规范形）的规范形）;(6)(6)存在可逆矩阵存在可逆矩阵P，使得，使得A PTP;(7)(7)TA的的各各a11阶阶a12顺顺 0,序序a11an1主主子子a1n式式均均为为正正，即即a11 0,a21a22 0。ann定理：若定理：
20、若A是是n阶实对阵矩阵，则下列命题等价：阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1 1）f(x)x Ax是负定二次型（或是负定二次型（或 A A 是负定矩阵）是负定矩阵）；.T.（2 2）A的的n个特征值全为负；个特征值全为负；（3 3）f的标准形的的标准形的n个系数全为负；个系数全为负；（4 4）f的负惯性指数为的负惯性指数为n；（5 5）A与负单位矩阵与负单位矩阵E合同（或合同（或E为为A的规范形）的规范形）;(6)(6)存在可逆矩阵存在可逆矩阵P，使得，使得A PTP;(7)(7)A的各阶顺序主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子的各阶顺序主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子a
21、11a1r 0(r 1,2,ar1arr222式为正，即式为正，即(1)r,n)。1 1、判定实二次型、判定实二次型f(x1,x2,x3)x1 2x1x2 2x1x3 2x26x2x36x3是是否正定。否正定。11111111解：解：A 123，因，因1 0，0，A 123 1012136136所以实二次型所以实二次型f是正定的。是正定的。2 2、设二次型、设二次型f(x1,x2,x3)x1 2x23x3 2tx1x22x1x3 4x2x3，试问试问t为何值时，该二次型是正定的？为何值时，该二次型是正定的？222 1t122，为使所给二次型正定，为使所给二次型正定，A的各阶的各阶解：因二次型的
22、矩阵为：解：因二次型的矩阵为：At123 1t顺序主子式应大于零，从而有：顺序主子式应大于零，从而有：d11 0，d2 2t20，t2.1d3 tt212 (3t2 4t)0，31222t 04t 0由由得：得：323t 4t 04t 0时，所给实二次型是正定的时，所给实二次型是正定的所以当所以当33 3、二次型二次型f(x1,x2,x3)x13x2 x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3，则则f的的正惯性指数为？正惯性指数为？4 4、三阶的实对称矩阵三阶的实对称矩阵A的特征值为的特征值为121,3 2,则二次型则二次型f(x1,x2,x3)XAX的规范形为的规范形为分分析析实实对对称称矩矩
23、阵阵A可可经经过过正正交交变变换换化化为为对对角角矩矩阵阵,相相应应的的二二次次型型f(x)XAX就化为标准形就化为标准形.22 2y3解解由已知条件由已知条件,二次型二次型f(x)的标准形为的标准形为y12 y2,故其规范形为故其规范形为22z12 z2 z3.2225 5、任何一个任何一个n阶满秩矩阵必定与阶满秩矩阵必定与n阶单位矩阵阶单位矩阵().).(A)合同合同(B)相似相似(C)等价等价(D)以上都不对以上都不对解解任一个任一个n阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为n阶单位矩阵阶单位矩阵,故故n阶满秩矩阵都与阶满秩矩阵都与n阶单位矩阵等价
24、阶单位矩阵等价.只有单位矩阵与单位矩阵相似只有单位矩阵与单位矩阵相似.只有正定矩阵与单位矩阵合同只有正定矩阵与单位矩阵合同.116 6、设、设A 111 1 1401 1 1,B 01 1 11 1 10000000,则则A与与B（）000000(A)(A)合同且相似合同且相似.(B)(B)合同但不相似合同但不相似.(C)(C)不合同但相似不合同但相似.(D)(D)不合不合同且不相似同且不相似.解解选选(A).(A).A为实对称矩阵且为实对称矩阵且A的特征值为的特征值为4,0,0,0.2117 7、A 121，B 100010，则（，则（）110000（A A）A A 与与 B B 即合同又相
25、似即合同又相似（B B）A A 与与 B B 合同而不相似合同而不相似（C C）A A 与与 B B 不合同而相似不合同而相似（D D）A A 与与 B B 即不合同也不相似即不合同也不相似解：解：（B B）B B 的特征值的特征值 1 1，1 1，0 0111A 1113E B3E，特征值为，特征值为B3，即，即 3 3，3 3，0 0111A A 与与 B B 特征值不相同，但正、负性都一样。特征值不相同，但正、负性都一样。8 8、A 1221，则在实数域上与，则在实数域上与 A A 合同的是（合同的是（）（A A）21 2121 11 2（B B）12（C C）12（D D）2解：解：（
26、D D）A 1222 2122 E，特征值为，特征值为-1-1，3 3 211 11 21 13E，特征值为，特征值为-3-3，-1-1.21.211112 113E，特征值为，特征值为 3 3，1 121 1 11 2 1 1 E，特征值为，特征值为 1 1，3 3 1 2 2 2 21 2 23E，特征值为，特征值为 3 3，-1-122 x3)4x1x2 4x1x3 4x2x3经正交变换经正交变换9 9、已知实二次型、已知实二次型f(x1,x2,x3)a(x12 x2x=Pyx=Py 可化标准型可化标准型f 6y12，则，则a _【详解】二次型【详解】二次型22f(x1,x2,x3)a(
27、x12 x2 x3)4x1x2 4x1x3 4x2x3a所对应矩阵为所对应矩阵为A 222a222a0000006标准型标准型f 6y12所对应矩阵为所对应矩阵为B 00根据题设知根据题设知 A A，B B 为相似矩阵，所以为相似矩阵，所以 A A，B B 的特征值相同，可见的特征值相同，可见 A A 的三个特征的三个特征值为值为 6,0,0.6,0,0.a而而E A 22222(a4)(a2)2a2 a可见可见a4 6,a2 0,故有故有a 22221010、已知二次曲面方程已知二次曲面方程x ay z 2bxy 2xz 2yz 4可以经过正交变换可以经过正交变换.x y Pz 化为椭圆柱面
28、方程化为椭圆柱面方程2 42 4,求求a,b的值的值.解解二次型二次型f 2 42的矩阵为的矩阵为0A 1,4原二次型的矩阵为原二次型的矩阵为1b1B ba1.111由题意由题意,这两个矩阵相似这两个矩阵相似.所以有所以有tr(A)tr(B),即即5 a 2,解得解得a 3;再再由由A B,得得b 1.1111、已知二次型、已知二次型22f(x1,x2,x3)5x125x2cx32x1x26x1x36x2x3的秩为的秩为 2.2.（1 1）求参数）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值及此二次型对应矩阵的特征值.（2 2）指出方程）指出方程f(x1,x2,x3)1表示何种曲面表示何种曲面.513
29、解解(1)(1)二次型的矩阵二次型的矩阵A 153.由由R(A)2 c 3.又又A的特征多的特征多33c项式项式AE (4)(9),则则A的特征值的特征值1 0,2 4,3 9.229y3(2)(2)二次型在某一正交变换下的标准形二次型在某一正交变换下的标准形f 4y2,则则f(x1,x2,x3)1表示表示.椭圆柱面椭圆柱面.1212、设设A是是n阶正定阵阶正定阵,E是是n阶单位阵阶单位阵,证明证明:A E的行列式大于的行列式大于 1 1.证证设设A的的 特特 征征 值值 为为i(i 1,2,n),则则A E的的 特特 征征 值值 为为i1(i 1,2,n).因因A是正定阵是正定阵,所以所以i 0(i 1,2,n),所以所以A E的特征值的特征值i11,于于是是A E(i1)1.i1n.