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1、会计学1线性代数二次型化标准形线性代数二次型化标准形定理定理1 1 设设A A 为为n n 阶阶对称矩阵对称矩阵,则必有则必有正交矩阵正交矩阵Q Q,使使 回顾上次课结论：回顾上次课结论：回顾上次课结论：回顾上次课结论：（1）设A有m个不同特征值依次为（2）相应于恰有 个线性无关的特征向量 ，它们的重数，把它们正交单位化得，（3）为正交阵，且有第1页/共22页 总有正交变换正交变换 x=Py，使 f 化为标准形定理定理2 2第2页/共22页例1 求一个正交变换正交变换 x=Py，把二次型化为标准形标准形.利用利用正交矩阵正交矩阵将对称矩阵将对称矩阵对角化对角化.于是问题转化为：于是问题转化为：
2、第3页/共22页解：解：A A的特征多项式为的特征多项式为故故A A的特征值为的特征值为相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足第4页/共22页相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足第5页/共22页正交矩阵为正交矩阵为所做所做正交变换正交变换为为标准形标准形为：为：第6页/共22页（1）判断二次曲线的形状；（2）判断二次曲面的形状。下面解决本章第一次课所提的问题：下面解决本章
3、第一次课所提的问题：下面解决本章第一次课所提的问题：下面解决本章第一次课所提的问题：第7页/共22页（1）判断二次曲线的形状.解：解：令令其矩阵为其矩阵为A A的特征多项式为的特征多项式为故故A A的特征值为的特征值为第8页/共22页相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足的特征向量满足第9页/共22页正交矩阵为正交矩阵为所做所做正交变换正交变换为为二次型的标准形二次型的标准形为：为：二次曲线的标准方程二次曲线的标准方程为：为：该曲线为该曲线为双曲线
4、双曲线.第10页/共22页（2 2）判断二次曲面）判断二次曲面）判断二次曲面）判断二次曲面的形状.解：解：其矩阵为其矩阵为A A的特征多项式为的特征多项式为故故A A的特征值为的特征值为第11页/共22页相应于相应于无关的特征向量只有一个，可取为无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满的特征向量满足足相应于相应于无关的特征向量有两个，满足无关的特征向量有两个，满足的特征向量满足的特征向量满足第12页/共22页满足满足且正交的特征向量且正交的特征向量可取为可取为单位化得单位化得正交矩阵为正交矩阵为第13页/共22页所做所做正交变换正交变换为为二次型的二次型的标准形标准形为为二次曲面的二次曲面的
5、标准方程标准方程为为二次曲面的二次曲面的形状形状为为旋转双曲面旋转双曲面第14页/共22页二、二、二、二、LgrangeLgrange配方法化二次型为标准形配方法化二次型为标准形配方法化二次型为标准形配方法化二次型为标准形 下面介绍一种行之有效的方法 拉格朗日配方法 用正交变换正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变保持几何形状不变 问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？（不要求形状不变）第15页/共22页拉格朗日配方法的步骤：拉格朗日配方法的步骤：拉格朗日配方法的步骤：拉格朗日配方法的步骤：1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，进行，直到都配成平方项
6、为止，再对其余的变量同样就得到标准形;经过可逆性变换，2.若二次型中不含有平方项，但是含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.化二次型为则先作可逆线性变换第16页/共22页例例例例1 1 所做可逆变换为含有平方项含有平方项含有含有的项配方的项配方第17页/共22页而我们曾用而我们曾用正交变换正交变换化化标准形标准形为：为：比较比较第18页/共22页例例2做可逆变换 不含平方项不含平方项含有含有的项配方的项配方第19页/共22页再做可逆变换，得标准型为 我们曾在正交变换之下化标准型为.比较比较第20页/共22页二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：注：注：(1)(1)所含所含平方项个数相同平方项个数相同，都，都等于矩阵等于矩阵A A的秩的秩；(2)(2)平方项的系数平方项的系数正负项数相同正负项数相同。定义：称标准形中正系数个数为定义：称标准形中正系数个数为正惯性指数正惯性指数；负系数个数为负系数个数为负惯性指数负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数为正惯性指数减去负惯性指数为符号差符号差.例例的正惯性指数为的正惯性指数为2 2，负惯性指数为负惯性指数为1 1，符号差为符号差为1.1.惯性定理惯性定理第21页/共22页