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1、特征值问题与二次型特征值问题与二次型第六章 二次型及其标准形第1页/共53页一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.第2页/共53页只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形例如都为二次型；而为二次型的标准形.第3页/共53页第4页/共53页2 2用矩阵表示用矩阵表示二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法第5页/共53页三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系第6页/共53页解解例例第7页/共53页第8页/共
2、53页第9页/共53页设有可逆线性变换四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形第10页/共53页第11页/共53页第12页/共53页第13页/共53页说明说明第14页/共53页用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第15页/共53页1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例4 4第16页/共53页从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组第17页/共53页4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵第18页
3、/共53页于是所求正交变换为第19页/共53页解解例例5 5第20页/共53页第21页/共53页第22页/共53页第23页/共53页第24页/共53页第25页/共53页第26页/共53页六、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法第27页/共53页化为标准型，并指出 表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型思考题1第28页/共53页思考题1解答第29页/共
4、53页第30页/共53页第31页/共53页特征值问题与二次型特征值问题与二次型第五节 正定二次型与正定矩阵第32页/共53页一、惯性定理一、惯性定理第33页/共53页第34页/共53页二、正(负)定二次型的概念第35页/共53页为正定二次型正定二次型为负定二次型负定二次型例如为不定型二次型不定型二次型为负半定二次型负半定二次型第36页/共53页三、正(负)定二次型的判别推论推论对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的特征值全为正的特征值全为正第37页/共53页第38页/共53页第39页/共53页第40页/共53页定理3充分性充分性必要性必要性第41页/共53页第42
5、页/共53页第43页/共53页定义定义2 2第44页/共53页这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理定理定理4 4 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即的各阶顺序主子式为正，即第45页/共53页正定矩阵具有以下一些简单性质：正定矩阵具有以下一些简单性质：推论推论 对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即第46页/共53页例例3 3 判别二次型是否正定.解解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.第47页/共53页例例4 4
6、 判别二次型是否正定.解解二次型的矩阵为用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵，第48页/共53页解解例例5 5 若二次型正定，求参数 t 应满足的条件.第49页/共53页2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)顺序主子式判别法；顺序主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导第50页/共53页思考题第51页/共53页思考题解答第52页/共53页感谢您的观看！第53页/共53页