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1、7-2-1实例定义定义一、数量积1.定义数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积一物体在常力作用下沿直线从点表示位移,所作的功为移动到点向量数量积数量积第1页/共33页7-2-2结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.重要(两向量的数量积的几何意义)数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第2页/共33页7-2-3注关于数量积的说明：证证(1)(2)(1)数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第3页/共33页7-2-4证证此时也称(2)与正交.说明说明互相正交、kjirrr数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第4页/共33页7-2-5
2、2.数量积符合下列运算规律（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数 若、为数：(可用定义证)数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第5页/共33页7-2-6 向量的数量积不满足消去律,向量的数量积是否满足消去律？注事实上,注?平行于 的向量平行于 的向量即在一般情况下,数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第6页/共33页7-2-7 用向量的数量积,证明恒等式:即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(如图).证证 数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第7页/共33页7-2-8设数量积的坐标表达式3.用坐标表示式计算数量积分配律数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第8页
3、/共33页7-2-9两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为4.两向量的夹角(数量积在几何中的应用)数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第9页/共33页7-2-10解解例例求数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第10页/共33页7-2-11证证(由分配律)例例 证明向量与向量垂直.数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第11页/共33页7-2-12实例1.1.定义定义二、两向量的向量积二、两向量的向量积设O为一根杠杆L的支点,有一个力作用于这杠杆上P点处.对支点O的力矩是一向量向量它的模为力力的方向垂直于所决定的平面,指向符合右手系.与OP 的夹角为数量积数量积
4、 向量积向量积 *混合积混合积第12页/共33页7-2-13定义定义关于向量积的说明/大小数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积向量向量积向量积的方向既垂直于又垂直于指向符合右手系.方向第13页/共33页7-2-142.2.向量积符合下列运算规律向量积符合下列运算规律(2)分配律(3)若 为数证证/(1)反交换律数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积/第14页/共33页7-2-15向量的向量积是否满足消去律向量的向量积是否满足交换律？向量的向量积不满足消去律,向量的向量积不满足交换律.注 注即在一般情况下,数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第15页/共33页7-2-16设向量积
5、的坐标表达式3.3.用坐标表示式计算向量积用坐标表示式计算向量积分配律数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第16页/共33页7-2-17数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积 向量积还可用三阶行列式表示/由上式可推出向量积的几何意义向量积的几何意义说明说明不能同时为零,但允许两个为零.表示以为邻边的平行四边形的面积./第17页/共33页7-2-18解解例例 求与都垂直的数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积单位向量.第18页/共33页7-2-19解解三角形ABC的面积为例例 已知三角形的顶点计算从顶点B到边AC的高的长度BD.数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第19页/共
6、33页7-2-20 求同时垂直于向量 和x轴的 单位向量.两种方法:法二法一解解用向量积.设x轴为 单位向量为用数量积.即可得.提示用向量积或数量积.数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第20页/共33页7-2-21 定义定义设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、*向量的混合积设已知三个向量、数量称为这个向量的记为混合积,数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第21页/共33页7-2-22向量混合积的几何意义关于混合积的说明：(1)(2)(3)向量的混合积是这样的一个数,它的绝对值表示以向量为棱的平行六面体的体积.数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第22页/共33页7-2
7、-23解解例例 已知计算数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第23页/共33页7-2-24解解由立体几何知,四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体的体积的六分之一.已知空间内不在一平面上的四点A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),求四面体例例的体积.数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第24页/共33页7-2-25式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第25页/共33页7-2-26向量的数量积向量的向量积向量的混合积结果是一个数量、结果是一个向量、结果是一个数量、几何意义、三向量共面
8、四、小结几何意义、物理意义、两向量垂直的充要条件；几何意义、物理意义、两向量平行的充要条件；的充要条件.数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第26页/共33页7-2-27下列命题是否正确错,错.对.等式左边没意义.错.数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第27页/共33页7-2-28 解解 注:分配律 例例 数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第28页/共33页7-2-29下列命题是否正确错对数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第29页/共33页7-2-30分析 即 A、B、D三点共线.希自己再用法(2)证,试比较哪种方法简单?其方法有两种:证证用向量证三点共线只要证明(1)证(2)证用法一数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第30页/共33页7-2-31思考题思考题(是非题)对两个非零向量是是注意,因为又所以数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第31页/共33页7-2-32作业作业习题习题7-2(3097-2(309页页)3.4.5.6.10.12.数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第32页/共33页2009.2.6北京工商大学7-2-33感谢您的观看！第33页/共33页