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1、1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.第1页/共44页1.空间向量的数量积运算(重点)2.利用空间向量的数量积求夹角及距离(难点)3.空间向量数量积的运算律(易错点)第2页/共44页第3页/共44页第4页/共44页数量积|a|b|cosa，b abba(ab)c 第5页/共44页ab 第6页/共44页1空间向量的夹角 AOB a，b 0，互相垂直 ab 第7页/共44页2空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则，则|a|b|cosa，b叫做叫做a，b的数量积，记作的数
2、量积，记作ab.运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b .交换律ab .分配律a(bc).(ab)baabac第8页/共44页第9页/共44页第10页/共44页答案：A第11页/共44页第12页/共44页答案：D第13页/共44页第14页/共44页第15页/共44页第16页/共44页1.1.空间空间向量共线定理向量共线定理若若 ，则点，则点P P、A A、B B共线共线的充要条件是的充要条件是x xy y1 1。第17页/共44页2.2.空间空间向量共面定理向量共面定理对空间任一点对空间任一点O O和不共线三点和不共线三点A A、B B、C C，若若 ，则点，则点P P在在平面平面ABCA
3、BC内的充要条件是内的充要条件是 x xy yz z1.1.若向量若向量 不共线，则向量不共线，则向量 与与 共共面的充要条件是：存在惟一的有序实数面的充要条件是：存在惟一的有序实数对对(x(x，y)y)，使，使 .第18页/共44页3.3.利用空间向量共线定理和共面定利用空间向量共线定理和共面定 理，可以解决立体几何中的共点、理，可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是共线、共面和平行等问题，这是 一种向量方法一种向量方法.第19页/共44页例题讲解例题讲解例例1 1 用向量方法证明三垂线定理：平面用向量方法证明三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条内的一条直线，如
4、果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直垂直.P PO OA Al第20页/共44页例例2 2：用向量方法证明直线和平面垂直的：用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理：判定定理：lmng已知已知m m，n n是平面是平面内的两条相交直线，内的两条相交直线，直线直线lmlm，lnln，求证：，求证：ll 第21页/共44页小结作业小结作业1.1.由于空间任意两个向量都可以转化为共面由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间向量的数量积运算与平面向向量，所以空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算的理论体系完全一样量的数量积运算的理论体系
5、完全一样.2.2.对于空间线线垂直，线面垂直问题可以转对于空间线线垂直，线面垂直问题可以转化为向量的数量积为零来处理，同时，利用化为向量的数量积为零来处理，同时，利用向量的数量积还可以计算夹角和距离向量的数量积还可以计算夹角和距离.第22页/共44页第23页/共44页第24页/共44页第25页/共44页第26页/共44页第27页/共44页第28页/共44页第29页/共44页第30页/共44页第31页/共44页 已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC.第32页/共44页第33页/共44页第34页/共44页题后感悟(
6、1)向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断ab时，须指明a0，b0；(2)证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a，b，c的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直第35页/共44页3.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点求证：AB1BM.第36页/共44页第37页/共44页2数量积的理解(1)书写向量的数量积时，只能用符号ab，而不能用符号ab，也不能用ab.(2)两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值
7、决定(3)当a0时，由ab0不能推出b一定是零向量，这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有ab0.第38页/共44页3空间向量数量积的运算律的注意事项(1)要准确区分两向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积之间的差异(2)数量积的运算不满足消去律，即abbc推不出ac.(3)数量积的运算不满足结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)第39页/共44页4空间向量数量积的应用空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可用于解决很多立体几何问题，如：(1)求空间中两点间的距离或线段长度，可以理解为求相应线段所对应的向量的模；(2)求空间中两条直线的夹角(特别是两条异面直线所成的角)，可以理解为求这两条直线所对应的两个向量的夹角；(3)证明线线垂直问题时，可以通过计算两条直线所对应的两向量的数量积为零，从而说明这两条直线垂直第40页/共44页第41页/共44页第42页/共44页练考题、验能力、轻巧夺冠课时作业第43页/共44页感谢您的观看！第44页/共44页