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1、3.2双曲线 课时作业一、单选题（共8题）1在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（）ABCD2已知双曲线上的点A，B关于原点对称，若双曲线上的点P(异于点A，B)使得直线，的斜率满足，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A2BCD3已知双曲线，则该双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD4中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（）ABCD5在锐角中，则以B，C为两个焦点且过点的双曲线的离心率为（）ABC3D6如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的
2、距离为（）A4米B米C米D米7对于曲线（且），以下说法正确的是（）A曲线是椭圆B曲线是双曲线C曲线的焦点坐标是D曲线的焦点坐标是8双曲线C：的左，右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点，且，点M为线段的中点，则（）ABCD二、多选题（共4题）9曲线，下列结论正确的有（）A若曲线表示椭圆，则B若曲线表示双曲线，则焦距是定值C若，则短轴长为2D若，则渐近线为10设双曲线左右焦点分别为，设右支上一点P与所连接的线段为直径的圆为圆，以实轴为直径的圆为圆，则下列结论正确的有（）A圆与圆始终外切B若与渐近线垂直，则与圆相切C的角平分线与圆相切D三角形的内心和外心最短距离为211已知双曲线C的标准方程为，
3、则（）A双曲线C的离心率等于半焦距B双曲线与双曲线C有相同的渐近线C双曲线C的一条渐近线被圆截得的弦长为D直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，212已知双曲线C：，两个焦点记为，下列说法正确的是（）AB渐近线方程为：C离心率为D点在双曲线上且线段的中点为，若，则三、填空题（共4题）13已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为_.14已知点是右焦点为的双曲线上一点，点是圆上一点，则的最小值是_.15双曲线 的左、右焦点，若过点的直线与圆相切于点，且交双曲线的右支于点，若，则的离心率为_.16某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲
4、线C：的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为，为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，则港口到两油气井距离之和的最小值为_四、解答题（共5题）17已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.18已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点在双曲线C1上(不包含顶点).(1)求双曲线C1的标准方程；(2)记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积.19设双曲线的上焦点为，过且平行于轴的弦其长4 .(1)求双曲线的标准方程及实轴长;(2)直线与双曲线交于两点，且满足，求实数的取值.2
5、0已知双曲线的方程为.(1)直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求的取值范围；(2)过双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于两点，且是线段的中点，求证：为常数. 21已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2(1)求双曲线的方程；(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围参考答案1B【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为6，即可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的标准方程为；易得椭圆焦点坐标为，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，由双曲线虚轴长为6可知，所以；所以，双曲线的标准方程为.故选：B.
6、2B【分析】利用代入法，结合直线斜率公式、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由题意设P(x，y)，则，即，解得，又双曲线的焦点(c，0)到渐近线的距离为：，故选：B3C【分析】根据题意得到，故，计算得到答案.【详解】，故，故故选：C4D【分析】设双曲线方程，根据已知得到，即可得到渐近线的方程.【详解】由已知可设双曲线的标准方程为.由已知可得，所以，则，所以.所以，双曲线的渐近线方程为.故选：D.5C【分析】先利用余弦定理求出，再根据双曲线的定义及离心率公式即可得解.【详解】解：在锐角中，则，即,解得或，经检验，所以在以B，C为两个焦点且过点的双曲线中，则，所以其离心率为.故选：C.6D【分
7、析】将代入双曲线得到，当得到，得到答案.【详解】根据题意：，故，解得，即，当水面宽度为米时，即时，拱顶M到水面的距离为.故选：D7D【分析】对m进行分类讨论，分为双曲线和椭圆，即可判断.【详解】当时，曲线为双曲线，故焦点坐标为；当时，曲线为椭圆，焦点坐标为.故选：D.8B【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得，进而得解【详解】设，因为，所以，由双曲线定义知，则由双曲线定义知，则设，因为，在中，；在中，解得：，代入式，得点M为线段的中点，所以，因为，所以，又因为，所以，故选：B9AC【分析】根据椭圆双曲线简单几何性质逐项判断即可.【详解】对于:表示椭圆,
8、则,即,故正确;对于:表示双曲线,则,即,当时,焦距不是定值, 故错误;对于:时,为椭圆,短轴长,故正确;对于:时, 为双曲线,渐近线方程为,故错误;故选: .10ABD【分析】利用圆心距与半径的关系判断两圆是否外切，圆心到直线距离与半径的关系判断直线是否与圆相切，判断三角形内心和外心的位置特征，计算内心和外心最短距离.【详解】双曲线，左右焦点分别为，设，满足，P与所连接的线段为直径的圆为圆，则，半径，实轴为直径的圆，圆心，半径，如图所示：，所以圆与圆始终外切，A选项正确；双曲线，渐近线方程为，若与渐近线垂直，则所在直线方程为，到直线为距离，所以与圆相切，B选项正确；为圆的直径， 的角平分线过
9、P点，不可能与互相垂直，即的角平分线与圆不可能相切，C选项错误；三角形的内切圆的切点分别为A，B，C，其中C在x轴上，内心为N，如图所示：则，又，故，所以，内心N的横坐标为2，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以外心M一定在y轴上，外心M的横坐标为0，在P点移动的过程中，当点M与点N纵坐标相同时，两点间距离最短为2，即三角形的内心和外心最短距离为2，D选项正确.故选：ABD11AD【分析】根据双曲线的方程求出的值，即可判断A项；分别求出两个双曲线的渐近线方程，即可判断B项；求出圆心、半径，圆心到渐近线的距离，即可求出弦长，判断C项；由直线与双曲线的位置关系（或举特例）可说明D项.【详解】对
10、于A项，由双曲线方程可知，所以离心率，故A正确；对于B项，C的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为，二者渐近线方程不同，所以B错误；对于C项，圆圆心，半径，圆心到C的渐近线的距离，则被圆截得的弦长为，圆心到C的渐近线的距离，则被圆截得的弦长为，故C错误；对于D项，显然，直线与双曲线最多有2个公共点.双曲线的渐近线与双曲线没有交点；双曲线的切线与双曲线只有一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点.所以，直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2，故D正确.故选：AD.12AC【分析】根据双曲线的性质判断ABC，再由中位线定理结合定义判断D.【详解】由题意可知，即渐近线方
11、程为：，离心率为，故AC正确，B错误；对于D，当位于轴上方时，由中位线定理可得，则，故D错误；故选：AC13#【分析】先由双曲线的标准方程求得其渐近线方程，再利用点线距离公式及双曲线的几何性质求得的范围，从而得解.【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，设是双曲线上任意一点，则，所以，则，由点线距离公式得，两边平方得，所以，即的最小值为.故答案为：.14【分析】利用双曲线的定义将换成，然后利用三点共线时取最值即可求解.【详解】设双曲线的左焦点为，则，设圆的圆心为，则，半径.因为双曲线表示双曲线的右支（除去顶点），由定义可知：，所以（当且仅当三点共线时等号成立），因为，所以的最小值为，故答
12、案为：.15【分析】过右焦点作，垂足为，连接，进而得是等腰三角形，再根据双曲线的定义得，再求离心率即可.【详解】解：过右焦点作，垂足为，连接，因为过点的直线与圆相切于点，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，是等腰三角形，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，解得或（舍）所以，的离心率为故答案为：1625【分析】首先根据双曲线的标准方程可求出，即得恰好为双曲线C的右焦点，然后设为双曲线C的左焦点，根据双曲线的定义得，通过两点间距离公式求出，即可求得最小距离.【详解】由双曲线C：；可知，故该双曲线的两个焦点分别为和，则恰好为双曲线C的右焦点，设为双曲线C的左焦点，连接与双曲线C右支交
13、于点P，则点P即为港口所在位置由双曲线的定义可得，即，则当且仅当Q，P，E三点共线时，等号成立，此时港口到两油气井的距离之和最小，因为，所以，此时故答案为：2517(1)(2)【分析】(1)根据题意建立的方程组即可求解;(2)利用韦达定理确定的取值范围，再建立之间的等量关系即可求解.【详解】（1）由离心率又,所以，又右顶点为，所以，所以，故双曲线的标准方程为.（2）设直线的方程为，设，则由得，因为直线与双曲线一支交于、两点，所以 ，解得，因此 ，因为，所以，所以，所以，故.18(1)(2)【分析】（1）首先设出共渐近线的双曲线方程，再将点代入方程，即可求解；（2）首先设点，利用坐标表示，利用点
14、在双曲线上，即可化简求定值.【详解】（1）设双曲线的方程为，将(4，)代入可得，解得，故双曲线的标准方程为.（2）由（1）可设，A(，0)，B(，0)，P(，)，则，而点P在双曲线上，点，即.故.19(1)的标准方程为，双曲线的实轴长也为；(2).【分析】（1）由弦长为4，可得，从而得知标准方程及实轴长；（2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得值.【详解】（1）双曲线的上焦点的坐标为，令 ，代入，得，而，可知，故的标准方程为，双曲线的实轴长也为.（2）联立 ,可得，且，将代入式，可知，即,再代入式，有，计算可得，且满足. 20(1)；(2)，证明见解析.【分析】（1）直线与双曲线联立，得到
15、关于的方程满足：此方程是一元二次方程，且有两个同号根.（2）求出双曲线的渐近线的方程，把两点坐标只用来表示,然后用来表示，把点代入双曲线化简整理得.【详解】（1）直线与双曲线即联立得即由题意得有两个同号根，则满足即，即解得：（2）双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为则，所以的中点又因为点在双曲线上，即即，即.21(1)(2)【分析】（1）根据双曲线离心率以及点到左、右焦点的距离之差为2，可求得a，b，c，进而求得双曲线的标准方程；（2）根据过点作两条相互垂直的直线与双曲线相切，讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；若切线的斜率存在，
16、则设其斜率为，从而得到切线方程，再根据切线与双曲线相切，联立方程组，得，进而可得关于的一元二次方程，再根据两切线互相垂直有，即可得到，再结合在直线上，推出，求解即可得到的取值范围【详解】（1）依题意有双曲线的左、右焦点为，则，得，则，所以双曲线的方程为；（2）若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；若切线的斜率存在，则设其斜率为，则切线方程为，联立，消并整理得，则，化简得，即，化成关于的一元二次方程，设该方程的两根为，即为两切线的斜率，所以，即，又点在直线上，所以直线与圆有交点，所以，即，即，故的取值范围为【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常见思路是先讨论直线的斜率是否存在，再联立直线与圆锥曲线，必要时根据的情况得出相应的关系式，再根据题目中的其他条件，可求得参数的值或者参数之间的关系式，最后求解即可