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1、3.1椭圆 课时作业一、单选题1已知O为坐标原点，椭圆C：，C的两个焦点为F1，F2，A为C上一点，其横坐标为1，且|OA|2=|AF1|AF2|，则C的离心率为（）ABCD2若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（）ABC或D或3设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60的直线与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（）ABCD4已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则（）A6B3CD25已知椭圆：的左右顶点分别为，圆的方程为，动点在曲线上运动，动点在圆上运动，若的面积为，记的最大值和最小值分别为和，则的值为（）ABCD6已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，
2、分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（）ABCD7已知为椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，若，则（）A0BCD8已知直线与椭圆：交于两点，弦平行轴，交轴于，的延长线交椭圆于，下列说法正确的个数是（）椭圆的离心率为；以为直径的圆过点.A1个B2个C3个D4个二、多选题9设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（）A为定值B的周长的取值范围是C当时，为直角三角形D当时，的面积为10已知椭圆的左右两个端点分别为为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（）A的周长为6B的最大面积为C存在点使得D的最大值为711已知点，其中，则（）A点的轨迹方程为B点的轨迹方程为C的最
3、小值为D的最大值为12阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点，点Q为椭圆C上的动点，直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C 中（）A短轴长为4B渐近线方程为C点Q在两处取到直角D离心率为三、填空题13最能引起美感的比例被称为黄金分割现定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则_14已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为，给出下列四个条件：半短轴长为2；半长轴长为；离心率为；一个顶点坐标为选择一个条
4、件可求得椭圆方程为的有_（填序号）15已知椭圆：的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率_16已知椭圆的两个顶点在直线上，分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，则的值为_四、解答题17（1）已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一个点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程18已知椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，离心率为(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C右焦点且倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求的值19已
5、知椭圆：经过点且离心率为，是椭圆的两个焦点(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值20已知，分别是椭圆（，）的左右两个焦点，为椭圆上任意一点，(1)若，的最大值为12，求的值；(2)若，直线与椭圆相交于两个不同的点，且（为坐标原点），求椭圆的方程.21已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A，(1)求椭圆的方程；(2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值；参考答案一、单选题1D 2D 3A 4B
6、 5B 6A 7B 8D二、多选题9AB 10BD 11ABC 12AD三、填空题13【分析】分焦点在x轴上和焦点在y轴上，利用离心率公式求解.【详解】解：当焦点在x轴上时，则所以，解得；当焦点在y轴上时，则，所以，解得；故答案为：14【分析】由椭圆方程得值，得椭圆顶点坐标，离心率等值，再判断【详解】只需保证，即可，且椭圆的顶点坐标为，离心率为，故可求得椭圆方程为故答案为：15【分析】由题意得，联立直线与椭圆方程得，再利用，再代入值计算即可得答案.【详解】如图所示，由椭圆定义可得，设的面积为，的面积为，因为，所以，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，由韦达定理得：，又，即化简可得，即，即时
7、，有.故答案为：16【分析】根据题意求出，进而写出椭圆方程，设点的切线方程为，与椭圆联立，由得到，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出，进而化简整理即可求出结果。【详解】因为椭圆的两个顶点在直线上，所以，所以椭圆方程为，所以,设点的切线方程为，联立，消去得，因为直线与椭圆相切，所以，所以，所以，所以点，又，所以，所以，设点，又在切线上，所以，所以，所以，故答案为：【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，注意不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.四、解答题17（1）；（2）或
8、.【分析】（1）设出椭圆方程，代入，结合，求出，得到椭圆方程；（2）根据，得到，结合求出，得到椭圆的标准方程.【详解】（1）显然椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为，则，解得：，椭圆方程为：（2）因为，解得：，又因为，所以，椭圆的标准方程为或.18(1)(2)【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，c，即可得到椭圆C的标准方程；（2）由题意可得直线l的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理和弦长公式即可得到的值.【详解】（1）由题得，解得，椭圆C的标准方程为（2）由（1）知椭圆C的右焦点坐标为，则直线l的方程为，设，联立，化简得，19(1)(2)证明见解析【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点在椭圆
9、上，结合，的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，由题中三角形面积的关系可得，由两点的距离公式化简可得；再由直线的方程与椭圆方程联立，运用韦达定理求得，结合，与纵坐标的关系，即可得到定值【详解】（1）由题意可得，由椭圆经过点，可得，又，解方程得，所以椭圆的方程为；（2）证明：由题意可得，设，则，由，可得，；直线的方程为,得，与椭圆方程联立，可得，所以，即有，所以所以，是定值20(1)或(2)【分析】(1)由可得椭圆方程为：，结合焦点三角形面积的最大值得出，然后解方程组即可求解；(2)当，联立方程组，根据得到，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）由，则椭圆方程为：，由的最大值为12，则，
10、即解得或所以或.（2）若，联立方程组消去得设，则，解得：或由可知，所以，解得所以椭圆的方程为.21(1)(2)(3)2【分析】（1）利用题给条件求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）先求得点关于直线的对称点的坐标，并代入椭圆的方程，即可求得的值；（3）先利用设而不求的方法求得点，的坐标，再利用向量表示点，和点三点共线，进而求得的值【详解】（1）椭圆：的长轴长为，离心率为，则，则，则则椭圆的方程为；（2）设椭圆上点关于直线的对称点则，解之得，则由在椭圆上，可得，整理得，解之得或当时与点M重合，舍去.则（3）设，则又，则，直线的方程为由，整理得则，则又，则，则，则令则，直线的方程为由，整理得则，则又，则，则，则则由点，和点三点共线，可得则整理得，则【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题