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1、中考数学培优(含解析)之一元二次方程组附详细答案 一、一元二次方程 1解下列方程：（1）x23x=1 （2）12（y+2）26=0【答案】(1)12313313,22xx;(2)1222 3,22 3yy 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得 x23x1=0，b24ac=130 12313313,22xx （2）（y+2）2=12，或，1222 3,22 3yy 2解方程：（2x+1）2=2x+1【答案】x=0 或 x=12.【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用 ab=0 的关系求
2、解方程即可.试题解析：（2x+1）2（2x+1）=0，（2x+1）（2x+11）=0，即 2x（2x+1）=0，则 x=0 或 2x+1=0，解得：x=0 或 x=12 3机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为 90kg，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为 36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到 70kg，用油的重复利用率仍然为 60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低
3、了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少 1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为 89kg 时，用油的重复利用率为 61.6%润滑用油量为 80kg，用油量的重复利用率为多少？已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到 12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）76%75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到 70kg，用油的重复利用率仍然为 60%，进而得出答案；（2）利用润滑用油量每减少 1kg，用油的重复利用率将增加 1.6%，进而求出答案
4、；首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到 12kg，得出等式求出答案 试题解析：（1）根据题意可得：70（160%）=28（kg）；（2）60%+1.6%（9080）=76%；设润滑用油量是 x 千克，则 x160%+1.6%（90 x）=12，整理得：x265x750=0，（x75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=10（舍去），60%+1.6%（90 x）=84%，答：设备的润滑用油量是 75 千克，用油的重复利用率是 84%考点：一元二次方程的应用 4发现思考：已知等腰三角形 ABC 的两边分别是方程 x27x+10=0 的两个根，求等腰三角形 AB
5、C 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因 涵涵的作业 解：x27x+10=0 a=1 b=7 c=10 b24ac=90 x=2bb4ac2a=732 x1=5，x2=2 所以，当腰为 5，底为 2 时，等腰三角形的三条边为 5，5，2 当腰为 2，底为 5 时，等腰三角形的三条边为 2，2，5 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形 ABC 的两边是关于 x 的方程 x2mx+m214=0 的两个实数根（1）当 m=2 时，求 ABC 的周长；（2）当 ABC 为等边三角形时，求 m 的值【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当
6、m=2 时，ABC 的周长为72；（2）当 ABC 为等边三角形时，m 的值为 1【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为 2、2、5（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即=（m）24（m214）=m22m+1，可求得 m.【详解】解：错误之处：当 2 为腰，5 为底时，等腰三角形的三条边为 2、2、5 错误原因：此时不能构成三角形（1）当 m=2 时，方程为 x22x+34=0，x1=12，x2=32 当12为腰时，12+1232，12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32
7、+12=72 答：当 m=2 时，ABC 的周长为72（2）若 ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，=（m）24（m214）=m22m+1=0，m1=m2=1 答：当 ABC 为等边三角形时，m 的值为 1【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5解方程：2332302121xxxx【答案】x=15或 x=1【解析】【分析】设321xyx，则原方程变形为 y2-2y-3=0,解这个一元二次方程求 y，再求 x【详解】解：设321xyx，则原方程变形为 y2-2y-3=0 解这个方程，得 y1=-1,y2=3,3121xx
8、或3321xx 解得 x=15或 x=1 经检验：x=15或 x=1 都是原方程的解 原方程的解是 x=15或 x=1【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根 6 y 与 x 的函数关系式为：y=1.7x（xm）;或(xm)；7元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知 1 千克甲种苹果和 1 千克乙种苹果的进价之和为 18 元.当销售 1 千克甲种苹果和 1 千克乙种苹果利润分别为 4 元和 2 元时,陈老师购买 3 千克甲种苹果和 4 千克乙种苹果共用 82 元.（1）求甲
9、、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果 100 千克和乙种苹果 140 千克，若将这两种苹果的售价各提高 1 元，则超市每天这两种苹果均少售出 10 千克，超市决定把这两种苹果的售价提高 x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960 元，求 x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为 10 元/千克,8 元/千克；（2）x的值为 2 或 7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克,b元/千克.由题得：18
10、344282abab 解之得：108ab 答：甲、乙两种苹果的进价分别为 10 元/千克,8 元/千克 （2）由题意得：4100 102140 10960 xxxx 解之得：12x，27x 经检验，12x，27x 均符合题意 答：x的值为 2 或 7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.8已知关于 x 的一元二次方程220 xmxm（m 为常数）（1）求证：不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根【答案】(1)见解析；(2)即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0.【解析】【分析】（
11、1）可用根的判别式，计算判别式得到=(m+2)241 m=m2+40，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系得到 2+t=21m,2t=m,最终解出关于 t和 m 的方程组即可.【详解】(1)证明：=(m+2)241 m=m2+4，无论 m 为何值时 m20，m2+440，即 0，所以无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为 t，220 xmxm 根据题意得 2+t=21m,2t=m，解得 t=0，所以 m=0，即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0.【点睛】本题考查根的
12、判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对 的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为 t，用根于系数关系列出方程组，在求解.9某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是 40 元，若每箱售价 60 元，每星期可卖 180 箱为了促销，该水果店决定降价销售市场调查反映:若售价每降价 1 元，每星期可多卖 10 箱设该苹果每箱售价 x 元（40 x60），每星期的销售量为 y 箱（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到 3570 元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多
13、少元?【答案】(1)y=-10 x+780；(2)57；(3)当售价为 59 元时，利润最大，为 3610 元【解析】【分析】（1）根据售价每降价 1 元，每星期可多卖 10 箱,设售价 x 元,则多销售的数量为 60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）售价每降价 1 元，每星期可多卖 10 箱,设该苹果每箱售价 x 元（40 x60），则 y=180+10（60-x）=-10 x+780,(40 x60),(2)依题意得：（x-40）(-10 x+780)=3570,解得：x=57,当每箱售价为 57 元时，每星期的销售利润达到
14、 3570 元.（3）设每星期的利润为 w，W=（x-40）(-10 x+780)=-10（x-59）2+3610,-100,二次函数向下,函数有最大值,当 x=59 时,利润最大，为 3610 元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.10校园空地上有一面墙，长度为 20m，用长为 32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示（1）能围成面积是 126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由（2）若篱笆再增加 4m，围成的矩形花圃面积能达到 170m2吗？请说明理由 【答案】（1）长为 18 米、宽为 7 米或长为 14 米、宽为
15、 9 米；（2）若篱笆再增加 4m，围成的矩形花圃面积不能达到 170m2【解析】【分析】（1）假设能，设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（322x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设 AB 的长度为 y 米，则 BC 的长度为（362y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（322x）米，根据题意得：x(322x)=126，解得：x1=7，x2=9，322x=18 或 322x=14，假设成立，即长为 18 米、宽为 7 米或长为 14 米、宽为 9 米（2）假设
16、能，设 AB 的长度为 y 米，则 BC 的长度为（362y）米，根据题意得：y(362y)=170，整理得：y218y+85=0 =(18)24185=160，该方程无解，假设不成立，即若篱笆再增加 4m，围成的矩形花圃面积不能达到 170m2 11已知关于 x 的方程 x2（m2）x（2m1）=0。（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。【答案】（1）见详解；（2）410或 42 2.【解析】【分析】（1）根据关于 x 的方程 x2（m2）x（2m1）=0 的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元
17、二次方程的解的定义求得 m 值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：当该直角三角形的两直角边是 2、3 时，当该直角三角形的直角边和斜边分别是 2、3 时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.【详解】解：（1）证明：=（m2）24（2m1）=（m2）24，在实数范围内，m 无论取何值，（m2）2+440，即 0.关于 x 的方程 x2（m2）x（2m1）=0 恒有两个不相等的实数根.（2）此方程的一个根是 1，121（m2）（2m1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m21=2+1=3.当该直角三角形的两直角边是 1、3 时，由勾股定理得斜边的
18、长度为10，该直角三角形的周长为 1310=410.当该直角三角形的直角边和斜边分别是 1、3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 2；则该直角三角形的周长为 132 2=42 2.12重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为 20 元，每天销售 150 件：（1）若要每天的利润不低于 2250 元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低 m%，则日销售量可以在 150 件基础上增加m 件，结果当天的销售额达到 5670 元；要使销售量尽可能大，求出
19、 m 的值【答案】（1）销售单价至少为 35 元；（2）m=16【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价（1m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可 试题解析：（1）设销售单价至少为 x 元，根据题意列方程得，150（x20）=2250，解得 x=35，答：销售单价至少为 35 元；（2）由题意得：35（1 m%）（150+m）=5670，150+m150 m%m%m=162，mm2=12，60m3m2=192，m220m+64=0，m1=4，m2=16，要使销售量尽可能大，m=16【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用 13阅读下面
20、的材料，回答问题：解方程 x45x2+40，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2y，那么 x4y2，于是原方程可变为 y25y+40 ，解得 y11，y24 当 y1 时，x21，x1；当 y4 时，x24，x2；原方程有四个根：x11，x21，x32，x42（1）在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）120【答案】（1）换元，降次；（2）x1=3，x2=2【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设 x2+x=y，原方程可化为
21、y24y12=0，解得 y1=6，y2=2 由 x2+x=6，得 x1=3，x2=2 由 x2+x=2，得方程 x2+x+2=0，b24ac=142=70，此时方程无实根所以原方程的解为 x1=3，x2=2 14已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中 a、b、c 分别为 ABC 三边的长（1）如果 x=1 是方程的根，试判断 ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 ABC 的形状，并说明理由；（3）如果 ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【答案】(1)ABC 是等腰三角形；(2)ABC 是直角三角形；(3)x1=0，x2
22、=1【解析】试题分析：（1）直接将 x=1 代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可判断 ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断 ABC 的形状；（3）利用 ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可 试题解析：（1）ABC 是等腰三角形；理由：x=1 是方程的根，（a+c）（1）22b+（ac）=0，a+c2b+ac=0，ab=0，a=b，ABC 是等腰三角形；（2）方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c）（ac）=0，4b24a2+4c2=0，a2=b2+c2，ABC 是直角三角形；（3）当 ABC 是等边三角形，（a
23、+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，x2+x=0，解得：x1=0，x2=1 考点：一元二次方程的应用 15我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价 30 元或 80 元；（2）该店应按原售价的
24、8 折出售【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价 x 元，利用销售量每件利润=41600 元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价 80 元，求出此时的销售单价即可确定几折【详解】（1）设每千克茶叶应降价 x 元根据题意，得：（400 x240）（200+10 x40）=41600 化简，得：x210 x+240=0 解得：x1=30，x2=80 答：每千克茶叶应降价 30 元或 80 元（2）由（1）可知每千克茶叶可降价 30 元或 80 元因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价 80 元 此时，售价为：40080=320（元），320100%80%400 答：该店应按原售价的 8 折出售【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程