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1、2020-2021备战中考数学培优易错试卷(含解析)之一元二次方程组含答案 一、一元二次方程 1如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3），其对称轴 l 为 x=1（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点 P 在第二象限内的抛物线上，动点 N 在对称轴 l 上 当 PANA，且 PA=NA 时，求此时点 P 的坐标；当四边形 PABC 的面积最大时，求四边形 PABC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 【答案】（1）y=（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）；（2）点 P（21，2）；P（32，154）【解析】试题分
2、析：（1）将 B、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x 即可得到抛物线的解析式；（2）首先求得抛物线与 x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到 PD=OA，从而得到方程求得 x 的值即可求得点 P 的坐标；OBCAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可 试题解析：（1）抛物线2yaxbxc与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3），其对称轴 l 为1x，0312abccba，解得：123abc ，二次函数的解析式为223yxx=2(1)4x，顶点坐标为（1，4）；（2）令2230yxx，解得3x 或1x，点 A（
3、3，0），B（1，0），作PDx 轴于点 D，点 P 在223yxx 上，设点 P（x，223xx），PANA，且 PA=NA，PAD AND，OA=PD，即2232yxx，解得x=21（舍去）或 x=21，点 P（21，2）；设 P(x，y)，则223yxx，OBCAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形=12OBOC+12ADPD+12(PD+OC)OD=1113 1+(3)(3)()222x yyx=333222xy=2333(23)222xxx=239622xx=23375()228x，当 x=32时，ABCPS四边形最大值=758，当 x=32时，223yxx=154，此时 P（3
4、2，154）考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4压轴题 2某建材销售公司在 2019 年第一季度销售,A B两种品牌的建材共 126 件，A种品牌的建材售价为每件 6000 元，B种品牌的建材售价为每件 9000 元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于 96.6 万元，求至多销售A种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在 2019 年第二季度调整价格，将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a，B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了1%2a，B种品牌的建材的销售量减少了2%
5、3a，结果 2019 年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a，求a的值.【答案】（1）至多销售A品牌的建材 56 件;(2)a的值是 30.【解析】【分析】（1）设销售A品牌的建材x件，根据售完两种建材后总销售额不低于 96.6 万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A品牌的建材x件.根据题意，得60009000 126966000 xx，解这个不等式，得56x，答：至多销售A品牌的建材 56 件.（2）在（1）中销售额最低时，B品牌的建材 70 件，根据题意，得 1226000 1%56 1%9000 1%70 1%6000 56900070
6、1%2323aaaaa，令%ay，整理这个方程，得21030yy，解这个方程，得1230,10yy，10a（舍去），230a，即a的值是 30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解 3解下列方程：（1）x23x=1 （2）12（y+2）26=0【答案】(1)12313313,22xx;(2)1222 3,22 3yy 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得 x23x1=0，b24ac=130 12313313,22
7、xx （2）（y+2）2=12，或，1222 3,22 3yy 4如图，在 ABC 中，AB6cm，BC7cm，ABC30，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动如果 P、Q 两点同时出发，经过几秒后 PBQ 的面积等于 4cm2？【答案】经过 2 秒后 PBQ 的面积等于 4cm2【解析】【分析】作出辅助线，过点 Q 作 QEPB 于 E，即可得出 S PQB=12PBQE，有 P、Q 点的移动速度，设时间为 t 秒时，可以得出 PB、QE 关于 t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案【详解】解：如图，过点
8、 Q 作 QEPB 于 E，则 QEB90 ABC30，2QEQB S PQB12PBQE 设经过 t 秒后 PBQ 的面积等于 4cm2，则 PB6t，QB2t，QEt 根据题意，12（6t）t4 t26t+80 t22，t24 当 t4 时，2t8，87，不合题意舍去，取 t2 答：经过 2 秒后 PBQ 的面积等于 4cm2【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去 5机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为 90kg，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为 36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的
9、甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到 70kg，用油的重复利用率仍然为 60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少 1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为 89kg 时，用油的重复利用率为 61.6%润滑用油量为 80kg，用油量的重复利用率为多少？已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到 12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
10、【答案】（1）28（2）76%75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到 70kg，用油的重复利用率仍然为 60%，进而得出答案；（2）利用润滑用油量每减少 1kg，用油的重复利用率将增加 1.6%，进而求出答案；首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到 12kg，得出等式求出答案 试题解析：（1）根据题意可得：70（160%）=28（kg）；（2）60%+1.6%（9080）=76%；设润滑用油量是 x 千克，则 x160%+1.6%（90 x）=12，整理得：x265x750=0，（x75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2
11、=10（舍去），60%+1.6%（90 x）=84%，答：设备的润滑用油量是 75 千克，用油的重复利用率是 84%考点：一元二次方程的应用 6图 1 是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为 ABC 和 DEF，其中 B=90，A=45，BC=，F=90，EDF=30，EF=2将 DEF的斜边 DE 与 ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将 DEF 沿 AC 方向移动在移动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合)（1）请回答李晨的问题：若 CD=10，则 AD=；（2）如图 2，李晨同学连接 FC，编制了如下问题，请你回答：F
12、CD 的最大度数为 ；当 FC AB 时，AD=；当以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 FC 为斜边时，AD=;FCD 的面积 s 的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）60；.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出 AC 的长，即可得到 AD 的长.（2）当点 E 与点 C 重合时，FCD 的角度最大，据此求解即可.过点 F 作 FHAC 于点 H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含 30 度角直角三角形的性质求解即可.过点 F 作 FHAC 于点 H，AD=x，应用含 30 度角直角三角形的性质把 FC 用 x 来表示，根据勾股定理列式求解.
13、设 AD=x，把 FCD 的面积 s 表示为 x 的函数，根据 x 的取值范围来确定 s 的取值范围.试题解析：（1）B=90，A=45，BC=，AC=12.CD=10，AD=2.（2）F=90，EDF=30，DEF=60.当点 E 与点 C 重合时，FCD 的角度最大，FCD 的最大度数=DEF=60.如图，过点 F 作 FHAC 于点 H，EDF=30，EF=2，DF=.DH=3，FH=.FC AB，A=45，FCH=45.HC=.DC=DH+HC=.AC=12，AD=.如图，过点 F 作 FHAC 于点 H，设 AD=x，由知 DH=3，FH=，则 HC=.在 Rt CFH 中，根据勾股
14、定理，得.以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 FC 为斜边，即，解得.设 AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.FCD 的面积 s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含 30 度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.7将 m 看作已知量，分别写出当 0 xm 时，与之间的函数关系式；8从图象来看，该函数是一个分段函数，当 0 xm 时，是正比例函数，当 xm 时是一次函数【小题 1】只需把 x 代入函数表达式，计算出 y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案 9解下
15、列方程：(1)2x24x10(配方法)；(2)(x1)26x6.【答案】(1)x1162，x2162(2)x11，x25.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为 ab=0 的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x22x12，x22x132.(x1)232.x13262.x1162，x2162.(2)由题可得，(x1)26(x1)0，(x1)(x16)0.x10 或 x160.x11，x25.10解方程：(x1)(x1)22x.【答案】x1
16、23，x223.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x1)(x1)22x x2-22x-1=0 a=1，b=-2 2，c=-1 =b2-4ac=8+4=120 x=242bbcaa=23 x123，x223.11已知关于 x 的方程 mx2+(3m)x3=0(m 为实数，m0)(1)试说明：此方程总有两个实数根(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 m 的值.【答案】(1)2243bacm0；(2)m=-1,-3.【解析】分析:（1）先计算判别式得到=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到 0，然后根
17、据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出 x1=3m，x2=-1，然后利用整除性即可得到 m 的值 详解:（1）证明：m0，方程 mx2+（m-3）x-3=0（m0）是关于 x 的一元二次方程，=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，（m+3）20，即 0，方程总有两个实数根；（2）解：x=332mmm，x1=-3m，x2=1，m 为正整数，且方程的两个根均为整数，m=-1 或-3 点睛:本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了解一元二次方程 1
18、2某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件，那么每天要想获得 510 元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为 10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则商品应降价 2.5元【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x，（1x）2 为两次降价后的百分率，40 元 降至 32.4 元 就是方程的等量条件，列出方程求解
19、即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x 40（1x）232.4 x10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得 4030y(448)5100.5y 解得：1y1.5，2y2.5，有利于减少库存，y2.5 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，
20、则每件商品应降价 2.5 元【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可 13如图，要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？【答案】羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米.【解析】试题分析：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（1004x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程 试题解析：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（1004x）米 根据题意得（100
21、4x）x=400，解得 x1=20，x2=5 则 1004x=20 或 1004x=80 8025，x2=5 舍去 即 AB=20，BC=20 考点：一元二次方程的应用 14某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 361 万元假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测 4 月份该公司的生产成本【答案】（1）每个月生产成本的下降率为 5%；（2）预测 4 月份该公司的生产成本为342.95 万元【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据 2 月份、3 月份的生产
22、成本，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由 4 月份该公司的生产成本=3 月份该公司的生产成本（1下降率），即可得出结论【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据题意得：400（1x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）答：每个月生产成本的下降率为 5%；（2）361（15%）=342.95（万元），答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算 15若两个一次函数的图象与 x 轴交于同一
23、点，则称这两个函数为一对“x 牵手函数”，这个交点为“x 牵手点”（1）一次函数 yx1 与 x 轴的交点坐标为 ；一次函数 yax+2 与一次函数 yx1为一对“x 牵手函数”，则 a ；（2）已知一对“x 牵手函数”：yax+1 与 ybx1，其中 a，b 为一元二次方程 x2kx+k40 的两根，求它们的“x 牵手点”【答案】（1）（1，0），a2；（2）“x 牵手点”为（12，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据 x 轴上点的坐标特征可求一次函数 y=x-1 与 x 轴的交点坐标；把一次函数 y=x-1与 x 轴的交点坐标代入一次函数 y=ax+2 可求 a 的值；（2）根据
24、“x 牵手函数”的定义得到 a+b=0，根据根与系数的关系求得 k=0，可得方程 x2-4=0，解得 x1=2，x2=-2，再分两种情况：若 a=2，b=-2，若 a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x 牵手点”【详解】解：（1）当 y0 时，即 x10，所以 x1，即一次函数 yx1 与 x 轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数 yax+2 与一次函数 yx1 为一对“x 牵手函数”，所以 0a+2，解得 a2；（2）yax+1 与 ybx1 为一对“x 牵手函数”11ab，a+b0 a，b 为 x2kx+k40 的两根 a+bk0，x240，x12，x22 若 a2，b2 则 y2x+1 与 y2x1 的“x 牵手点”为1,02；若 a2，b2 则 y2x+1 与 y2x1 的“x 牵手点”为（12，0）综上所述，“x 牵手点”为1,02或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用