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1、备战中考数学二轮 一元二次方程组 专项培优易错试卷附答案解析 一、一元二次方程 1某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米 5670 元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为 10%（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别
2、求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调 x%，则 7000（1x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为 10%（2）（15%）（115%）=95%85%=80.75%，（1x）2=（110%）2=81%80.75%81%，房产销售经理的方案对购房者更优惠 2已知关于 x 的二次函数22(21)1yxkxk的图象与 x 轴有 2 个交点.（1）求 k 的取值范围；（2）若图象与 x 轴交点的横坐标为12,x x，且它们的倒数之和是32，求 k 的值.【答案】（1）k-34；（2）k=1【解析】试题分析：（1）根据
3、交点得个数，让 y=0 判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式=b2-4ac 的范围可求解出 k 的值；（2）利用 y=0 时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到 k的值.试题解析：（1）二次函数 y=x2-（2k-1）x+k2+1 的图象与 x 轴有两交点，当 y=0 时，x2-（2k-1）x+k2+1=0 有两个不相等的实数根 =b2-4ac=-（2k-1）2-41（k2+1）0 解得 k-34；（2）当 y=0 时，x2-（2k-1）x+k2+1=0 则 x1+x2=2k-1，x1x2=k2+1，=32，解得：k=-1 或 k=13（舍去），k=1 3发现思考
4、：已知等腰三角形 ABC 的两边分别是方程 x27x+10=0 的两个根，求等腰三角形 ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因 涵涵的作业 解：x27x+10=0 a=1 b=7 c=10 b24ac=90 x=2bb4ac2a=732 x1=5，x2=2 所以，当腰为 5，底为 2 时，等腰三角形的三条边为 5，5，2 当腰为 2，底为 5 时，等腰三角形的三条边为 2，2，5 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形 ABC 的两边是关于 x 的方程 x2mx+m214=0 的两个实数根（1）当 m=2 时，求 ABC 的周长
5、；（2）当 ABC 为等边三角形时，求 m 的值【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当 m=2 时，ABC 的周长为72；（2）当 ABC 为等边三角形时，m 的值为 1【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为 2、2、5（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即=（m）24（m214）=m22m+1，可求得 m.【详解】解：错误之处：当 2 为腰，5 为底时，等腰三角形的三条边为 2、2、5 错误原因：此时不能构成三角形（1）当 m=2 时，方程为 x22x+34=0，x1=12，x2=32 当12为腰时，12+1232，12、12
6、、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72 答：当 m=2 时，ABC 的周长为72（2）若 ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，=（m）24（m214）=m22m+1=0，m1=m2=1 答：当 ABC 为等边三角形时，m 的值为 1【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.4 1.735=59.5，1.780=136151 这家酒店四月份用水量不超过 m 吨（或水费是按 y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过 m 吨（或水费是按来计算的）则有 151=1.
7、780+（80m）即 m280m+1500=0 解得 m1=30，m2=50 又 四月份用水量为 35 吨，m1=3035，m1=30 舍去 m=50 【解析】5已知关于x的方程221(1)104xkxk 有两个实数根.(1)求k的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x，2x，且221212615xxx x，求k的值.【答案】（1）32k （2）4【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ，解之即可得出结论.根据韦达定理可得：212121114xxkxxk，结合221212615xxx x 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k值，再由的结论即可确定k值.试题
8、解析：因为方程有两个实数根，所以22114 112304kkk ，解得32k.根据韦达定理，2212121111411.114kkxxkxxk，因为221212615xxx x，所以212128150 xxx x，将上式代入可得 2211811504kk，整理得2280kk，解得 1242kk，又因为32k，所以4k.6已知关于 x 的一元二次方程220 xmxm（m 为常数）（1）求证：不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根【答案】(1)见解析；(2)即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式
9、，计算判别式得到=(m+2)241 m=m2+40，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系得到 2+t=21m,2t=m,最终解出关于 t和 m 的方程组即可.【详解】(1)证明：=(m+2)241 m=m2+4，无论 m 为何值时 m20，m2+440，即 0，所以无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为 t，220 xmxm 根据题意得 2+t=21m,2t=m，解得 t=0，所以 m=0，即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关
10、系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对 的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为 t，用根于系数关系列出方程组，在求解.7已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+3）x+m2=0 有两根，（1）求 m 的取值范围；（2）若111，则 m 的值为多少？【答案】（1）14m；（2）m 的值为 3【解析】【分析】（1）根据 0 即可求解,（2）化简11,利用韦达定理求出+，,代入解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）241m20，解得：m-34；（2）由根与系数的关系得：+=（2m+3），=m2，111 ，即=-1,2m3m2（）=-1,
11、整理得 m22m3=0 解得：m1=1，m1=3，由（1）知 m-34，m1=1 应舍去，m 的值为 3【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.8（问题）如图，在 abc（长宽高，其中 a，b，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图，在 211 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2=2 32=3 条线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 311=3（2）如图，在 311 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2+3=3 42=6 条线段，棱 AC，AD
12、 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 611=6（3）依此类推，如图，在 a11 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有1+2+a=a a12线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为_ 探究二：（4）如图，在 a21 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有 1+2=2 32=3 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a1231=3a a12（5）如图，在 a31 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有 1+2+3=3 42=6 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则
13、图中长方体的个数为_（6）依此类推，如图，在 ab1 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_ 探究三：（7）如图，在以 ab2 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱AC 上有b b12 条线段，棱 AD 上有 1+2=2 32=3 条线段，则图中长方体的个数为3a a12b b123=3ab a1b14（8）如图，在 ab3 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有b b12条线段，棱 AD 上有 1+2+3=3 42=6 条线段，则图中长方体的个数为_ （结论）如图，在 abc 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（应用）在 2
14、34 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有 1000 个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论【答案】探究一：（3）a a12；探究二：（5）3a（a+1）；（6）ab a1b 14；探究三：（8）3ab a1b12；【结论】：abc a1b1 c 18；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是 64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱 A
15、B，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4 代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论【详解】解：探究一、（3）棱 AB 上共有a a12线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 11=a a12，故答案为a a12；探究二：（5）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有 6 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长
16、方体的个数为a a12 61=3a（a+1），故答案为 3a（a+1）；（6）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 b b121=ab a1b 14，故答案为ab a1b 14；探究三：（8）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上有 6 条线段，则图中长方体的个数为a a12 b b126=3ab a1b12，故答案为3ab a1b12；(结论)棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上有c c12条线段，则图中长方体的个数为a
17、a12b b12c c12=abc a1b1 c 18，故答案为abc a1b1 c 18；(应用)由(结论)知，abc a1b1 c 18，在 234 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 2 3 42 13 14 18 =180，故答案为为 180；拓展：设正方体的每条棱上都有 x 个小立方体，即 a=b=c=x，由题意得 33(1)8xx=1000，x（x+1）3=203，x（x+1）=20，x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）444=64 所以组成这个正方体的小立方块的个数是 64【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目 9已知
18、关于 x 的一元二次方程 x26x+（2m+1）=0 有实数根（1）求 m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 2x1x2+x1+x220，求 m 的取值范围【答案】（1）m4；（2）3m4【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到=（-6）2-4（2m+1）0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到 x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用 2x1x2+x1+x220 得到 2（2m+1）+620，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的 m 的取值范围 试题解析：（1）根据题意得（6）24（2m1）0，解得 m4；（2）根据题意得 x1x26，x1
19、x22m1，而 2x1x2x1x220，所以 2（2m1）620，解得 m3，而 m4，所以 m 的范围为 3m4 10校园空地上有一面墙，长度为 20m，用长为 32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示（1）能围成面积是 126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由（2）若篱笆再增加 4m，围成的矩形花圃面积能达到 170m2吗？请说明理由 【答案】（1）长为 18 米、宽为 7 米或长为 14 米、宽为 9 米；（2）若篱笆再增加 4m，围成的矩形花圃面积不能达到 170m2【解析】【分析】（1）假设能，设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（322x）米，
20、再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设 AB 的长度为 y 米，则 BC 的长度为（362y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（322x）米，根据题意得：x(322x)=126，解得：x1=7，x2=9，322x=18 或 322x=14，假设成立，即长为 18 米、宽为 7 米或长为 14 米、宽为 9 米（2）假设能，设 AB 的长度为 y 米，则 BC 的长度为（362y）米，根据题意得：y(362y)=170，整理得：y218y+85=0 =(18)24185=160，该方
21、程无解，假设不成立，即若篱笆再增加 4m，围成的矩形花圃面积不能达到 170m2 11淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动甲网店销售的 A 商品的成本为 30 元/件，网上标价为 80 元/件（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售 A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使 A 商品的售价为 39.2 元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为“双十一”活动之前，乙网店销售 A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出 1000 件 A 商品在“双十一”购
22、物活动当天，乙网店先将 A 商品的网上标价提高 a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的 A 商品数量相比原来一周增加了 2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3 万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价【答案】（1）平均每次降价率为 30%，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为 100 元【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为 x，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利
23、润每件的利润销售数量，即可得出关于 a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出 a 的值，再将其代入 80（1+a%）中即可求出结论【详解】（1）设平均每次降价率为 x，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元，根据题意得：80（1x）239.2，解得：x10.330%，x21.7（不合题意，舍去）答：平均每次降价率为 30%，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元（2）根据题意得：0.580（1+a%）301000（1+2a%）30000，整理得：a2+75a25000，解得：a125，a2100（不合题意，舍去），80（1+a%）80（1+25%）100 答：乙网店在“双十一”购物活动
24、这天的网上标价为 100 元【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 12已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中 a、b、c 分别为 ABC 三边的长（1）如果 x=1 是方程的根，试判断 ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 ABC 的形状，并说明理由；（3）如果 ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【答案】(1)ABC 是等腰三角形；(2)ABC 是直角三角形；(3)x1=0，x2=1【解析】试题分析：（1）直接将 x=1 代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可
25、判断 ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断 ABC 的形状；（3）利用 ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可 试题解析：（1）ABC 是等腰三角形；理由：x=1 是方程的根，（a+c）（1）22b+（ac）=0，a+c2b+ac=0，ab=0，a=b，ABC 是等腰三角形；（2）方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c）（ac）=0，4b24a2+4c2=0，a2=b2+c2，ABC 是直角三角形；（3）当 ABC 是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，x2+x=0，解得：x1=0，
26、x2=1 考点：一元二次方程的应用 13已知关于 x 的方程 x2（2k+1）x+4（k12）0（1）求证：无论 k 取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰 ABC 的一边长 a3，另两边 b、c 恰好是这个方程的两个根，求 k 值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k32或 2【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到（2k3）20，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到 x12k1，x22，再根据等腰三角形的性质得到 2k12或 2k13，然后分别解关于 k 的方程即可【详解】（1）（2k+1）244（k12）4k212k+9（2k3）20，该方程总有实
27、数根；（2）2k12k 3x=2 x12k1，x22，a、b、c 为等腰三角形的三边，2k12 或 2k13，k32或 2【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分 a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.14自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元 1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用_元；2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有
28、多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过 10 人，每增加 1 人，人均旅游费用降低 5 元，但人均旅游费用不得低于 150 来求解；对于（2）设这次旅游可以安排 x 人参加，而由 1020020002625，可以得出人数大于10 人，则根据 x 列出方程：（10 x）（2005x）2625，求出 x，然后根据人均旅游费用降低 5 元，但人均旅游费用不得低于 150 来求出 x 的范围，最后得出 x 的值.【详解】（1）2280 2因为10 20020002625 因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x人，由题意得：102005262
29、5xx 解得 15x 225x，2005150 x，010 x，经检验 15x 是方程的解且符合题意，225x（舍去）1010515x 答：该单位共有15名员工参加旅游【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.15阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当 a0，b0 时：（ab）2=a2ab+b0 a+b2ab，当且仅当 a=b 时取等号 请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当 x0 时，x+1x的最小值为 当 x0 时，x+1x的最大值为 ；（2）若
30、y=27101xxx，（x1），求 y 的最小值；（3）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB、COD 的面积分别为 4和 9，求四边形 ABCD 面积的最小值 【答案】（1）2；2（2）y 的最小值为 9；（3）四边形 ABCD 面积的最小值为 25【解析】【分析】（1）当 x0 时，按照公式 a+b2ab（当且仅当 a=b 时取等号）来计算即可；当 x0时，x0，1x0，则也可以按公式 a+b2ab（当且仅当 a=b 时取等号）来计算；（2）将 y27101xxx的分子变形，分别除以分母，展开，将含 x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设 S
31、 BOC=x，已知 S AOB=4，S COD=9，由三角形面积公式可知：S BOC：S COD=S AOB：S AOD，用含 x 的式子表示出 S AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可【详解】（1）当 x0 时，x1x21xx2；当 x0 时，x0，1x0 x1x21xx 2，则 x1x（x1x）2，当 x0 时，x1x的最小值为 2当 x0 时，x1x的最大值为2 故答案为：2，2（2）x1，x+10，y27101xxx2(1)5141xxx=（x+1）41x52411xx5=4+5=9，y 的最小值为 9（3）设 S BOC=x，已知 S AOB=4，S COD=9 则由等高三角形可知：S BOC：S COD=S AOB：S AOD，x：9=4：S AOD，S AOD36x，四边形 ABCD 面积=4+9+x36x13+236xx25 当且仅当 x=6 时，取等号，四边形 ABCD 面积的最小值为 25【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用