直线方程复习小结.pptx

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1、在直线 l：3xy10 上求一点 P，使得 P 到 A(4,1)和 B(3,4)的距离之和最小又|PA|PB|PA|PB|，解：设点 B 关于直线 3xy10 上的对称点为 B(a，b)，第1页/共44页第2页/共44页已知正方形的中心为 G(1,0)，一边所在直线的方程为 x3y50，求其他三边所在直线方程设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为解得 C15 或 C17.解：正方形的中心 G(1,0)到四边距离均为第3页/共44页故与已知边平行的直线方程为 x3y70.设正方形另一组对边所在直线方程为 3xyC20，解得 C29 或 C23.所以正方形另两边所在直线的方程为 3xy90 和

2、 3xy30.综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为x3y70,3xy90,3xy30.第4页/共44页直线的方程直线的方程 基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理1.1.直线的倾斜角与斜率（1 1）直线的倾斜角 定义：当直线l l与x x轴相交时，我们取x x轴作为基 准，x x轴 与直线l l 方向之间所成的角 叫 做直线l l的倾斜角.当直线l l与x x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .倾斜角的范围为 .正向向上0 0 18018000第5页/共44页(2)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k k表示，即k k=，倾斜角是909

3、0的直线斜率不存在.过两点的直线的斜率公式经过两点P P1 1（x x1 1,y y1 1）,P P2 2(x x2 2,y y2 2)()(x x1 1x x2 2)的直线的斜率公式为k k=正切值tan tan 第6页/共44页2.2.直线方程的五种形式名称名称方程方程适用范围适用范围点斜式点斜式不含垂直于不含垂直于x x轴的直线轴的直线斜截式斜截式不含垂直于不含垂直于x x轴的直线轴的直线两点式两点式不含直线不含直线x x=x x1（x x1x x2）和直线和直线y y=y y1（y y1y y2）第7页/共44页截距式截距式不含垂直于坐标轴和过原不含垂直于坐标轴和过原点的直线点的直线一

4、般式一般式平面直角坐标系内的直线平面直角坐标系内的直线都适用都适用第8页/共44页3.3.过P P1 1（x x1 1，y y1 1），P P2 2（x x2 2，y y2 2）的直线方程（1 1）若x x1 1=x x2 2,且y y1 1y y2 2时，直线垂直于x x轴，方程为 ;(2)(2)若x x1 1x x2 2,且y y1 1=y y2 2时，直线垂直于y y轴，方程为 ;(3)(3)若x x1 1=x x2 2=0=0，且y y1 1y y2 2时，直线即为y y轴，方程为 ;(4)(4)若x x1 1x x2 2,且y y1 1=y y2 2=0=0时，直线即为x x轴，方程

5、为 .x x=x x1 1y y=y y1 1x x=0=0y y=0=0第9页/共44页4.4.线段的中点坐标公式 若点P P1 1、P P2 2的坐标分别为（x x1 1，y y1 1），（x x2 2，y y2 2），且线段P P1 1P P2 2的中点M M的坐标为（x x,y y），则 ，此公式为线段P P1 1P P2 2的中点 坐标公式.第10页/共44页题型一题型一 直线的倾斜角直线的倾斜角【例1 1】若 ，则直线2 2x xcos +3cos +3y y+1=0+1=0 的倾斜角的取值范围是 （）A.B.A.B.C.D.C.D.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析第11页/共4

6、4页思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围范围，再确定倾斜角范围.解析解析 设直线的倾斜角为 ,则tan =-cos ,tan =-cos ,又 ，0 0cos ,cos ,cos cos 0 0即-tan -tan 0,0,注意到0 0 ,.答案答案 B第12页/共44页思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围范围，再确定倾斜角范围.解析解析 设直线的倾斜角为 ,则tan =-cos ,tan =-cos ,又 ，0 0cos ,cos ,cos cos 0 0即-tan

7、 -tan 0,0,注意到0 0 ,.答案答案 B第13页/共44页探究提高 （1 1）求一个角的范围，是先求这个角）求一个角的范围，是先求这个角某一个函数值的范围，再确定角的范围某一个函数值的范围，再确定角的范围.（2 2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一）在已知两个变量之间的关系式要求其中一个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的 是消去变量是消去变量 得到。得到。第14页/共

8、44页题型二题型二 直线的斜率直线的斜率【例2 2】已知直线l l过点P P（-1-1，2 2），且与以A A（-2-2，-3-3），B B（3 3，0 0）为端点的线段相交，求直线l l的斜率的取值范围.分别求出分别求出PAPA、PBPB的斜率，直线的斜率，直线l l处处于直线于直线PAPA、PBPB之间，根据斜率的几何意义利之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求用数形结合即可求.解解 方法一方法一 如图所示，直线PAPA的斜率直线PBPB的斜率思维启迪第15页/共44页当直线l l绕着点P P由PAPA旋转到与y y轴平行的位置PCPC时，它的斜率变化范围是5 5，+）；当直线l l绕

9、着点P P由PCPC旋转到PBPB的位置时，它的斜率的变化范围是直线l l的斜率的取值范围是方法二方法二 设直线l l的斜率为k k，则直线l l的方程为y y-2=-2=k k（x x+1+1），），即kxkx-y y+k k+2=0.+2=0.A A、B B两点在直线的两侧或其中一点在直线l l上，（-2-2k k+3+3+k k+2+2）（）（3 3k k-0+-0+k k+2+2）0 0，第16页/共44页即（k k-5-5）（）（4 4k k+2+2）0 0，k k55或或k k-.-.即直线l l的斜率k k的取值范围是 5 5，+）.方法一 运用了数形结合思想运用了数形结合思想.

10、当直线当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数需根据正切函数y y=tan =tan 的单调性求的单调性求k k的范围，数的范围，数形结合是解析几何中的重要方法形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决的平面区域的性质使问题得以解决.探究提高第17页/共44页三、解答题10.10.已知线段PQPQ两端点的坐标分别为（-

11、1-1，1 1）、（2 2，2 2），若直线l l:x x+mymy+m m=0=0与线段PQPQ有交点，求m m的范围.解解 方法一方法一 直线x x+mymy+m m=0=0 恒过A A（0 0，-1-1）点.k kAPAP=-2=-2，第18页/共44页又m m=0=0时直线x x+mymy+m m=0=0与线段PQPQ有交点，所求m m的范围是 m m .方法二方法二 过P P、Q Q两点的直线方程为y y-1=-1=即 代入x x+mymy+m m=0,=0,整理得：,由已知-1 2,-1 2,解得：-m m .第19页/共44页题型三题型三 求直线的方程求直线的方程【例3 3】求适

12、合下列条件的直线方程：（1 1）经过点P P（3 3，2 2），且在两坐标轴上的截距相等；（2 2）经过点A A（-1-1，-3-3），且倾斜角等于直线y y=3 3x x的倾斜角的2 2倍.选择适当的直线方程形式，把所需要选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可的条件求出即可.解解 （1 1）方法一方法一 设直线l l在x x,y y轴上的截距均为a a,若a a=0=0，即l l过点（0 0，0 0）和（3 3，2 2），l l的方程为y y=x x，即2 2x x-3-3y y=0.=0.思维启迪第20页/共44页若a a00，则设l l的方程为l l过点（3 3，2 2），a a

13、=5=5，l l的方程为x x+y y-5=0,-5=0,综上可知，直线l l的方程为2 2x x-3-3y y=0=0或x x+y y-5=0.-5=0.方法二方法二 由题意知，所求直线的斜率k k存在且k k0,0,设直线方程为y y-2=-2=k k(x x-3),-3),令y y=0=0，得x x=3-,=3-,令x x=0,=0,得y y=2-3=2-3k k,由已知3-=2-33-=2-3k k，解得k k=-1=-1或k k=,=,直线l l的方程为y y-2=-2=-（x x-3-3）或y y-2=(-2=(x x-3),-3),即x x+y y-5=0-5=0或2 2x x-

14、3-3y y=0.=0.第21页/共44页（2 2）由已知：设直线y y=3=3x x的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为2 .2 .tan =3,tan 2 =tan =3,tan 2 =又直线经过点A A（-1-1，-3-3），因此所求直线方程为y y+3=-(+3=-(x x+1),+1),即3 3x x+4+4y y+15=0.+15=0.第22页/共44页探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存

15、在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距判断截距是否为零，是否为零，若采用点斜式，应先若采用点斜式，应先考虑斜率不存在考虑斜率不存在的情况的情况.第23页/共44页专题二距离公式例 2：已知点 P(2，1)，求：(1)过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程；(2)过 P 点与原点距离最长的直线 l 的方程并求出最大距离；(3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线？若存在

16、，求出方程；若不存在，请说明理由第24页/共44页解：(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2，而 P 点坐标为(2,1)，可见，过 P(2,1)垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.此时 l 的方程为3x4y100.综上，可得直线 l 的方程为 x2 或3x4y100.第25页/共44页(2)作图可知过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与PO 垂直的直线，由直线方程的点斜式得 y12(x2)，即 2xy50，即直线 2xy50 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，第26页

17、/共44页直线，因此不存在过 P 点且到原点距离为 6 的直线方法二：设过 P 点到原点距离为 6 的直线的斜率存在且方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.即 32k24k350.因16432350，故方程无解所以不存在这样的直线第27页/共44页方法与技巧方法与技巧1.1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值 范围，熟记斜率公式：k k=，该公式 与两点顺序无关，已知两点坐标（x x1 1x x2 2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x x1 1=x x2 2，y y1 1y y2 2时，直线的斜率不存在，此时直 线的倾斜角为90.90.思想方法思想方法 感悟提高感悟提

18、高第28页/共44页2.2.求斜率可用k k=tan =tan （9090），其中 为倾 斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割，牢记：“斜率变化分两段，9090是分界，遇 到斜率要谨记，存在与否需讨论”.3.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系 数法.4.4.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线 上设一任意点P P（x x，y y），再找出x x，y y的一次关 系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直 线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.第29页/共44页失误与防范失误与防范1.1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在

19、；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存 在斜率.2.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.3.利用一般式方程AxAx+ByBy+C C=0=0求它的方向向量为 （-B B，A A）不可记错，但同时注意方向向量是不 唯一的.4.4.利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三 种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求 出垂直于x x轴的直线方程.第30页/共44页二、例题分析二、例题分析注：判断两直线平行时要检验是否重合！第31页/共44页专题二距离公式例 2：已知点 P(2，1)，求：(1)过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程；(2)过 P 点

20、与原点距离最长的直线 l 的方程并求出最大距离；(3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由（4）过 P 点作 一条直线，它夹在两条直线2x-y-2=0和x+y-3=0之间的线段恰好被点P平分，求这条直线方程第32页/共44页解：(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2，而 P 点坐标为(2,1)，可见，过 P(2,1)垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.此时 l 的方程为3x4y100.综上，可得直线 l 的方程为 x2 或3x4y100.第3

21、3页/共44页(2)作图可知过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与PO 垂直的直线，由直线方程的点斜式得 y12(x2)，即 2xy50，即直线 2xy50 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，第34页/共44页直线，因此不存在过 P 点且到原点距离为 6 的直线方法二：设过 P 点到原点距离为 6 的直线的斜率存在且方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.即 32k24k350.因16432350，故方程无解所以不存在这样的直线第35页/共44页专题一两直线的位置关系已知直线方程为(2)x(12)y930.(1)求证不论取何实数值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直

22、线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.即点(3，3)适合方程 2xy9(x2y3)0，也就是适合方程(2)x(12)y930.解：把直线方程整理为 2xy9(x2y3)0.第36页/共44页所以，不论取何实数值，直线(2)x(12)y930 必过定点(3，3)(2)设经过点(3，3)的直线与两坐标轴分别交于 A(a,0)，B(0，b)解得 a6，b6.即 xy60.第37页/共44页二、例题分析二、例题分析例2求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，1)且与直线x+2y-1=0平行；(2)经过点Q(2，1)且与直线x+2y-1=0垂直；(3)经过点R(2，1)且在两坐标

23、轴上截距相等；第38页/共44页知能迁移4 4 已知直线l l:kxkx-y y+1+2+1+2k k=0(=0(k kR R).).（1 1）证明：直线l l过定点；（2 2）若直线不经过第四象限，求k k的取值范围；（3 3）若直线l l交x x轴负半轴于A A，交y y轴正半轴于B B，AOBAOB的面积为S S，求S S的最小值并求此时直线l l的方程.（1 1）证明证明 直线l l的方程是：k k（x x+2)+(1-+2)+(1-y y)=0,)=0,无论k k取何值，直线总经过定点（-2-2，1 1）.第39页/共44页（2 2）解解 由方程知,当k k00时直线在x x轴上的截

24、距为 ,在y y轴上的截距为1+21+2k k，要使直线不经过第四象限，则必须有 解之得k k0;0;当k k=0=0时，直线为y y=1,=1,符合题意，故k k0.0.第40页/共44页（3 3）解解 由l l的方程，得依题意得第41页/共44页二、例题分析二、例题分析例2求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，1)且与直线x+2y-1=0平行；(2)经过点Q(2，1)且与直线x+2y-1=0垂直；(3)经过点R(2，1)且在两坐标轴上截距相等；（3）讨论截距为零和不为零两种情况，分别设出直线方程，代入求解.分类讨论！第42页/共44页三、课堂小结三、课堂小结一、知识点二、思想方法1.用待定系数法求直线方程2.数形结合和分类讨论思想1.直线的倾斜角和斜率2.垂直和平行3.直线方程第43页/共44页感谢您的观看！第44页/共44页