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1、二、二、导数应用导数应用习题课一、一、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用 第三三章 3lijuan 拉格朗日中值定理 一、一、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 2.微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论3.有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理罗尔定理,(2)若结
2、论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理柯西中值定理.4lijuan(3)若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用多次应用中值定理中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理.5lijuan6lijuan7lijuan8lijuan9lijuan10lijuan11lijuan12lijuan13lijuan14lijuan15lijuan16lijuan17lijuan18lijuan19lijuan20lijuan21lijuan22lijuan2
3、3lijuan24lijuan25lijuan26lijuan27lijuan28lijuan29lijuan30lijuan31lijuan32lijuan33lijuan34lijuan35lijuan36lijuan37lijuan38lijuan39lijuan40lijuan41lijuan42lijuan43lijuan44lijuan45lijuan46lijuan47lijuan补充例题补充例题.设函数在内可导,且证明在内有界.证证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.48lijuan例例.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证证
4、:问题转化为证设辅助函数显然在 0,1 上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点49lijuan例例.且试证存在证证:欲证因 f(x)在 a,b 上满足拉氏中值定理条件,故有将代入,化简得故有即要证50lijuan例例.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即51lijuan例例.设函数 f(x)在0,3 上连续,在(0,3)内可导,且 分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在 想到找一点 c,使证证:因 f(x)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在0,2上有最大值 M 与最小值 m,故由介值定理,至少存在一点 由罗尔定理知,必存在
5、 52lijuan的连续性及导函数例例.填空题填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .提示提示:的正负作 f(x)的示意图.单调增区间为 ;53lijuan .在区间 上是凸弧;拐点为 提示提示:的正负作 f(x)的示意图.形在区间 上是凹弧;则函数 f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 54lijuan例例.证明在上单调增加.证证:令在 x,x+1 上利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,从而在上单调增.得55lijuan例例.求数列的最大项.证证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大点因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值列表判别:56lijuan例例.证证:只要证利用一阶泰勒公式,得故原不等式成立.57lijuan例例.求解法解法1 利用中值定理求极限原式58lijuan解法解法2 利用泰勒公式令则原式59lijuan解法解法3 利用罗必塔法则原式60lijuan