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1、高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课习题课导数的应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用1.研究函数的性态研究函数的性态:增减增减,极值极值,凹凸凹凸,拐点拐点,渐近线渐近线,曲率曲率2.解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立与简化目标函数的建立与简化 最值的判别问题最值的判别问题3.其他应用其他应用:求不定式极
2、限求不定式极限;几何应用几何应用;相关变化率相关变化率;证明不等式证明不等式(单调、凹凸、泰勒单调、凹凸、泰勒);研究方程实根等研究方程实根等.4.补充定理补充定理(见下页见下页)一、主要内容：一、主要内容：2022/11/102022/11/102 2高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课设函数设函数在在上具有上具有n 阶导数阶导数,且且则当则当时时证证 令令则则利用利用在在处的处的 n 1 阶泰勒公式得阶泰勒公式得因此因此时时定理定理定理定理 2022/11/102022/11/103 3高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课单调
3、增区间为单调增区间为 ;的连续性及导函数的连续性及导函数例例例例1 1 填空题填空题填空题填空题(1)设函数设函数其导数图形如图所示其导数图形如图所示,单调减区间为单调减区间为 ;极小值点为极小值点为 ;极大值点为极大值点为 .提示提示:的正负作的正负作 f(x)的示意图的示意图.二、例题分析二、例题分析2022/11/102022/11/104 4高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课 .在区间在区间 上是凸弧上是凸弧;拐点为拐点为 提示提示:的正负作的正负作 f(x)的示意图的示意图.形在区间形在区间 上是凹弧上是凹弧;则函数则函数 f(x)的图的图 (2)(
4、2)设函数设函数设函数设函数的图形如图所示的图形如图所示,2022/11/102022/11/105 5高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例2 2 证明证明证明证明在在上单调增加上单调增加.证证 令令在在 x,x+1 上利用上利用拉氏中值定理拉氏中值定理,得得故当故当 x 0 时时,从而从而在在上单调增上单调增.2022/11/102022/11/106 6高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例3 设在设在 上，上，证明函数，证明函数在在 上是单调增加的上是单调增加的证证 当当 时，有时，有2022/11/102022/
5、11/107 7高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课故故即即 是单调增加的是单调增加的是单调增加的因而是单调增加的因而根据拉格朗日中值定理根据拉格朗日中值定理2022/11/102022/11/108 8高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例4 4 设设设设在在上可导上可导,且且证明证明 f(x)至多只有一个零点至多只有一个零点.证证 设设则则故故在在上连续单调递增上连续单调递增,从而至多只有从而至多只有一个零点一个零点.又因又因因此因此也也至多只有一个零点至多只有一个零点.思考思考:若题中若题中改为改为其它不变时其它不变时
6、,如何设辅助函数如何设辅助函数?2022/11/102022/11/109 9高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例5 求函数求函数 的零点个数的零点个数对函数对函数 ，有，有解得解得 当当 时，时，即即 单调减少；单调减少；即即 单调增加单调增加又又 ，故当故当 时，时，在在 内，内，有且只有一个零点，有且只有一个零点，中的中的唯一零点唯一零点解解令令 时，时，当当而而此零点即为此零点即为 在定义域在定义域2022/11/102022/11/101010高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例6 6 证明证明证明证明证证
7、设设,则则故故时时,单调增加单调增加,从而从而即即思考思考:证明证明时时,如何设辅如何设辅助助函数更好函数更好?提示提示:P183 题题11(2)2022/11/102022/11/101111高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例7 设设 ，证明：当，证明：当 时时证证因为当因为当 时时，即当即当 时，时，因而当因而当 时，有时，有取取 ，即得所需要的不等式，即得所需要的不等式是单调增加的，是单调增加的，2022/11/102022/11/101212高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例8证证2022/11/102022/
8、11/101313高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例9 9 设设设设且在且在上上存在存在,且单调且单调递减递减,证明对一切证明对一切有有证证 设设则则所以当所以当令令得得即所证不等式成立即所证不等式成立.2022/11/102022/11/101414高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例9证证不妨设不妨设2022/11/102022/11/101515高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例10证法一证法一 只要证只要证2022/11/102022/11/101616高高高高 等等等等
9、 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例1010 证法二证法二 只要证只要证利用一阶泰勒公式利用一阶泰勒公式,得得故原不等式成立故原不等式成立.2022/11/102022/11/101717高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例11证证P154 题题10(3)2022/11/102022/11/101818高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例12解解极极大大值值极极小小值值 无无极极值值2022/11/102022/11/101919高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课-1
10、1234560.511.522.532022/11/102022/11/102020高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例1313 求数列求数列求数列求数列的最大项的最大项.证证 设设用对数求导法得用对数求导法得令令得得因为因为在在只有唯一的极大点只有唯一的极大点因此在因此在处处也取最大值也取最大值.又因又因中的最大项中的最大项.极大值极大值列表判别列表判别:P183 题题142022/11/102022/11/102121高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例1414 证明当证明当证明当证明当 x x 0 0 时时时
11、时,证证 令令则则法法1 由由在在处的二阶泰勒公式处的二阶泰勒公式,得得故所证不等式成立故所证不等式成立.与与 1 之间之间)2022/11/102022/11/102222高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课法法法法2 2 列表判别列表判别列表判别列表判别:即即2022/11/102022/11/102323高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课法法法法3 3 利用利用利用利用极值第二判别法极值第二判别法极值第二判别法极值第二判别法.故故也是最小值也是最小值,因此当因此当时时即即2022/11/102022/11/102424高高
12、高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例15 设函数设函数 求求 的极值的极值解解令令 ，当当 时，时，得得 单调增加；单调增加；当当 时，时，当当 时，时，得得 单调增加单调增加所以所以 ，分别为函数的极大值分别为函数的极大值和和极小值极小值因因得得得得 单调减少；单调减少；2022/11/102022/11/102525高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课如图所示，铁杆的长度为如图所示，铁杆的长度为 ，从而，从而，例例16 设有一直角弯道，入口的宽度为设有一直角弯道，入口的宽度为 ，拐弯处，拐弯处的宽的宽度为度为 ，求以水平方向通
13、过的铁杆的最长长度，求以水平方向通过的铁杆的最长长度解解其中其中2022/11/102022/11/102626高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课令令即铁杆的最大长度为即铁杆的最大长度为从而从而得得2022/11/102022/11/102727高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例17 在椭圆在椭圆 上求一点上求一点 ，使它，使它与与另两点另两点 ，所构成的三角形面积为最小所构成的三角形面积为最小解解因线段因线段 固定，故欲使面积最小，即要使点固定，故欲使面积最小，即要使点离离开线段开线段 的距离为最小的距离为最小线段线段
14、的方程为的方程为即即点点 到直线的距离为到直线的距离为xyO2aa2bbAB2022/11/102022/11/102828高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课注意到点在直线的下方，注意到点在直线的下方，即即而而代入，得代入，得 ，令令得得代入代入 的表达式，的表达式，令令即所求点的坐标为即所求点的坐标为得得 ，2022/11/102022/11/102929高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例1818 求求求求解法解法1 利用中值定理求极限利用中值定理求极限原式原式P182 题题42022/11/102022/11/10
15、3030高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课解法解法解法解法2 2 利用泰勒公式利用泰勒公式利用泰勒公式利用泰勒公式令令则则原式原式2022/11/102022/11/103131高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课解法解法解法解法3 3 利用罗必达法则利用罗必达法则利用罗必达法则利用罗必达法则原式原式2022/11/102022/11/103232高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课三、课外练习题三、课外练习题1证明方程证明方程 只有一个正根只有一个正根2设设 可导，证明可导，证明 的两个零点之间一定有的两个零点之间一定有 的零点的零点3求函数求函数 的极值的极值4在第在第象限内作象限内作 的切线，使其与两坐的切线，使其与两坐标轴所成的三角形面积最小，求切点的坐标标轴所成的三角形面积最小，求切点的坐标5设设 在点在点 的某邻域内有三阶导数，如果的某邻域内有三阶导数，如果 ，试问试问 是否为是否为极值点？又极值点？又 是否为拐点？是否为拐点？(多种方法多种方法多种方法多种方法)2022/11/102022/11/103333