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1、导数的应用习题课导数的应用习题课2021/8/9 星期一1一、知识点一、知识点1导数应用的知识网络结构图：导数应用的知识网络结构图：2021/8/9 星期一2(1)已知已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在为常数），在-2,2上有最大值上有最大值3，函数在，函数在-2,2上的最小值上的最小值_-37(2)函数函数f(x)=x3+ax+b，满足，满足f(0)=0，且在，且在x=1时取得极小值，则实数时取得极小值，则实数a的值为的值为_-3(3)已知函数已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k0)，若，若f(x)的单调减区间为的单调减区间为(0,4)，则，则k=_1202
2、1/8/9 星期一3二、例题选讲二、例题选讲例例1:讨论函数讨论函数 的单调性的单调性.例例2:已知函数已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线曲线y=f(x)过点过点P(-1,2),且在点且在点P处的切线恰好与直线处的切线恰好与直线x-3y=0垂直垂直.(1)求求a、b的值；的值；(2)若若f(x)在区间在区间m,m+1上单调递增上单调递增,求求m的取值范围的取值范围.2021/8/9 星期一4例例2:已知函数已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线曲线y=f(x)过点过点P(-1,2)且且在点在点P处的切线恰好与直线处的切线恰好与直线x-3y=0垂直垂直.(1)求求a、b的的值；值；(2)若若
3、f(x)在区间在区间m,m+1上单调递增上单调递增,求求m的取值的取值范围范围.解解:(1)由题意得由题意得:(2),解得解得x0或或x0)的极大值为的极大值为6,极小极小 值为值为2.(1)试确定常数试确定常数a、b的值的值;(2)求函数的单调递增区间求函数的单调递增区间.答案答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为单调递增区间为(-,-1)和和(1,+).2021/8/9 星期一6练习练习2:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在在x=-2/3与与x=1处都处都取得极值取得极值.(1)求求a、b的值的值;(2)若若x-1,2时时,不等式不等式f(x)c2恒成立恒成立,求
4、求c的取值范的取值范围围.答案答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用利用f(x)maxc2,解得解得c2.2021/8/9 星期一7xy例例4:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面的面积积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).令令 ,得得所以当所以当 时时,因此当点因
5、此当点B为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是2021/8/9 星期一8例例5:如图宽为如图宽为a的走廊与另一走廊的走廊与另一走廊 垂直相连垂直相连,如果长为如果长为8a的细杆的细杆 能水平地通过拐角能水平地通过拐角,问另一走问另一走 廊的宽度至少是多少廊的宽度至少是多少?aAB C8a解解:设细杆与另一走廊一边夹角为设细杆与另一走廊一边夹角为 又设另一走又设另一走 廊的宽为廊的宽为y.y令令由于由于y()只有一个极小值只有一个极小值,所以它是最小值所以它是最小值,这时这时故另一走廊的宽度至少是故另一走廊的宽度至少是2021/8/9 星期一92.用总长用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架的钢条制作一个长方体容器的框架,如如果所制作容器的底面的一边比另一边长果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为那么高为 多少时容器的容积最大多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积并求出它的最大容积.2021/8/9 星期一10