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1、 4.1.1 4.1.1 总体与样本总体与样本第1页/共47页总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.6.1一、基本概念一、基本概念第2页/共47页样本样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用 表示,n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合.个体个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 表示.第3页/共47页若总体 X 的样本 满足:一般,对有
2、限总体有限总体,放回抽样放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样不放回抽样代替.而代替的条件是(1)与X 有相同的分布(2)相互独立则称 为简单随机样本.简单随机样本简单随机样本N/n 10.总体中个体总数总体中个体总数样本容量样本容量第4页/共47页设总体 X 的分布函数为F(x),则样本若总体X 的d.f.为 f(x),则样本的联合 d.f.为的联合分布函数为第5页/共47页设 是取自总体X 的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量统计量第6页/共47页例例 是未知参数未知参数,若 ,已知,则
3、为统计量是统计量,其中是一样本,则但不是统计量.第7页/共47页常用统计量常用统计量为样本均值样本均值为样本方差样本方差为样本标准差样本标准差设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量第8页/共47页为样本的k 阶原点矩原点矩例如第9页/共47页例例 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩.解解 令例例1 1第10页/共47页则则第11页/共47页 确定确定统计量的分布统计量的分布是数理统计的基是数理统计的基本问题之一本问题之一.正态总体正态总体是
4、最常见的总体是最常见的总体,本节介本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言绍的几个抽样分布均对正态总体而言.抽样分布第12页/共47页二、统计中常用分布二、统计中常用分布(1)(1)正态分布正态分布特别地特别地,则若则若若Xi相相互互独独立立中心极限定理中心极限定理第13页/共47页标准正态分布的 分位数定义定义分布的 分位数.若 ，则称u为标准正态正态分布的双侧 分位数.若 ,则称u/2为标准第14页/共47页标准正态分布的 分位数图形 u 常用数字/2/2 u/2-u/2第15页/共47页(2)(2)分布分布(n为自由度)定义定义 设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=1 时,
5、其密度函数为第16页/共47页n=2 时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.第17页/共47页一般其中，在x 0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为 n 的第18页/共47页n=2n=3n=5n=10n=15 第19页/共47页例例分布的性质分布的性质20.05(10)n=10第20页/共47页(3)(3)t t 分布分布 (Student 分布)定义定义则称 T 服从自由度为 n 的T 分布.其密度函数为X,Y相互独立,设第21页/共47页t 分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20第22页/共47页t 分布的性质分布的性质1f n(t)是偶函数,2T 分布的 分位数
6、t 与双测 分位数 t/2 均 有表可查.第23页/共47页n=10t-t第24页/共47页t/2-t/2/2/2第25页/共47页(4)F 分布分布则称 F 服从为第第一一自自由由度度为n,第第二二自自由由度度为 m 的F 分布分布.其密度函数为定义定义X,Y 相互独立，设令第26页/共47页F 分布的性质分布的性质例如事实上,故求F(n,m)第27页/共47页例例 证明证证第28页/共47页 三、抽三、抽样分布的某些结论样分布的某些结论()()一个正态总体一个正态总体与相互独立设总体,样本为()，(1)(2)第29页/共47页(II)两个正态总体两个正态总体令相互独立的简单随机样本.设与分
7、别是来自正态总体与的第30页/共47页则若则(3)第31页/共47页则相互独立的简单随机样本.设与分别是来自正态总体与的第32页/共47页与相互独立第33页/共47页(4)第34页/共47页的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例例 设设,为使样本均值大于70解解 设样本容量为 n,则故令得即所以取第35页/共47页例例 从正态总体中，抽取了 n=20的样本(1)求(2)求解解(1)即第36页/共47页故第37页/共47页(2)(2)故第38页/共47页例例 设r.v.X 与Y 相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与Y1,Y2,Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解解第39页/共47页从而第40页/共47页第41页/共47页第42页/共47页例例 在总体 中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8之间的概率.解解故例例2 2第43页/共47页例例 设总体X 的概率密度函数为为总体的样本,求(1)(1)的数学期望与方差(2)(3)解解(1)例例3 3第44页/共47页近似近似(3)由中心极限定理(2)第45页/共47页第46页/共47页谢谢您的观看！第47页/共47页