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1、参数估计回归分析 推断 统计学假设检验其余还有：方差分析、聚类分析、因子分析等其余还有：方差分析、聚类分析、因子分析等 4.1.1 4.1.1 总体与样本总体与样本总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.一、基本概念一、基本概念样本样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用 表示,n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合.个体个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机变量
2、 X 的某个取值.用 表示.若总体 X 的样本 满足:一般,对有限总体有限总体,放回抽样放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样不放回抽样代替.而代替的条件是(1)与X 有相同的分布(2)相互独立则称 为简单随机样本.简单随机样本简单随机样本N/n 10.总体中个体总数总体中个体总数样本容量样本容量设总体 X 的分布函数为F(x),则样本若总体X 的d.f.为 f(x),则样本的联合 d.f.为的联合分布函数为设 是取自总体X 的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量统计量例例 是未知参数未知参数
3、,若 ,已知,则为统计量是统计量,其中是一样本,则但不是统计量.常用统计量常用统计量为样本均值样本均值为样本方差样本方差为样本标准差样本标准差设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量为样本的k 阶原点矩原点矩例如例例 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩.解解 令例例1 1则则 确定确定统计量的分布统计量的分布是数理统计的基是数理统计的基本问题之一本问题之一.正态总体正态总体是最常见的总体是最常见的总体,本节介本节介绍的几个抽样分布均对正态总体
4、而言绍的几个抽样分布均对正态总体而言.抽样分布抽样分布二、统计中常用分布二、统计中常用分布(1)(1)正态分布正态分布特别地特别地,则若则若若Xi相相互互独独立立中心极限定理中心极限定理标准正态分布的 分位数定义定义分布的 分位数.若 ，则称u为标准正态正态分布的双侧 分位数.若 ,则称u/2为标准标准正态分布的 分位数图形 u 常用数字/2/2 u/2-u/2(2)(2)分布分布(n为自由度)定义定义 设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=1 时,其密度函数为n=2 时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.一般其中，在x 0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为 n
5、的n=2n=3n=5n=10n=15 例例分布的性质分布的性质20.05(10)n=10(3)(3)t t 分布分布 (Student 分布)定义定义则称 T 服从自由度为 n 的T 分布.其密度函数为X,Y相互独立,设t 分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20t 分布的性质分布的性质1f n(t)是偶函数,2T 分布的 分位数 t 与双测 分位数 t/2 均 有表可查.n=10t-tt/2-t/2/2/2(4)F 分布分布则称 F 服从为第第一一自自由由度度为n,第第二二自自由由度度为 m 的F 分布分布.其密度函数为定义定义X,Y 相互独立，设令F 分布的性质分布的性质例如事实上
6、,故求F(n,m)例例 证明证证 三、抽三、抽样分布的某些结论样分布的某些结论()()一个正态总体一个正态总体与相互独立设总体,样本为()，(1)(2)(II)两个正态总体两个正态总体令相互独立的简单随机样本.设与分别是来自正态总体与的则若则(3)则相互独立的简单随机样本.设与分别是来自正态总体与的与相互独立(4)的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例例 设设,为使样本均值大于70解解 设样本容量为 n,则故令得即所以取例例 从正态总体中，抽取了 n=20的样本(1)求(2)求解解(1)即故(2)(2)故例例 设r.v.X 与Y 相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与Y1,Y2,Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解解从而例例 在总体 中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值 落在到之间的概率.解解故例例2 2例例 设总体X 的概率密度函数为为总体的样本,求(1)(1)的数学期望与方差(2)(3)解解(1)例例3 3近似近似(3)由中心极限定理(2)